南京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)-ch1-10ppt課件

1、n一、最值定理一、最值定理 n二、有界性定理二、有界性定理n三、介值定理三、介值定理n四、內(nèi)容小結(jié)四、內(nèi)容小結(jié)一、最值定理一、最值定理 定理定理1 1 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxf那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.在該區(qū)間上一定有最大(證明略)的的條條件件能能否否放放寬寬？定定理理思思考考： 1 yx0ab12)(xfy 例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy

2、 12mM由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè)設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 二、有界性定理二、有界性定理 三、介值定理三、介值定理定理定理3 ( 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 證明略 )設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn), ),(baAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有推論推論:在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大

3、值之間的任何值 .的的正正根根。過過有有不不超超證證明明三三次次代代數(shù)數(shù)方方程程例例 1 0 1 23xx1驗(yàn)證根存在。找隔根區(qū)間；作輔助函數(shù)；方法： 3 2 1 oooxy0ab)(xfy 1 23 xxxf)(令令證：證：上連續(xù)，上連續(xù)，在在顯然顯然 10 ,)(xf0 11 0 10 )()(ff，且且0 10 )(),(f使使，則則由由零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理知知，。即為方程滿足題意的根即為方程滿足題意的根 x0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,)(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()(

4、)(212xfxfxfxF, 那么,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當(dāng))()(21xfxf時(shí), 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:四、內(nèi)容小結(jié)四、內(nèi)容小結(jié)則設(shè), ,)(baCxf在)(. 1xf上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)0)()(bfaf時(shí), ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba1. 任給一張面積為任給一張面積為 A 的紙片的紙片(如圖如圖), 證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.xoy則面積函數(shù),)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff一點(diǎn)設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn), ),(ba使.)(Cf至少有證證