空間立體體積計(jì)算方法(1)

1、1數(shù)學(xué)積分求體積方法概述摘 要：定積分在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及應(yīng)用中起著非常重要的作用，一直以來定積分問題就是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是本科及研究生入學(xué)考試重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一，在我們的生活中起著很重要的作用！空間立體體積的計(jì)算在日常生活和學(xué)習(xí)中是十分重要的,對于規(guī)則的立體,中學(xué)里已有一些求解公式,對于不規(guī)則的立體,則需要用高等數(shù)學(xué)積分法加以解決。本文總結(jié)了幾種常見的利用積分求立體體積的方法及案例,通過所學(xué)積分學(xué)知識(shí)建立了更為普遍的立體體積的求解方法和計(jì)算公式,同時(shí)也介紹了相關(guān)的物理方法,并從具體的例題入手充分挖掘了空間立體體積計(jì)算的一些思想和方法。關(guān)鍵詞：積分; 空間立體體積; 積分區(qū)域; 被積函數(shù) 引

2、言 空間立體體積的計(jì)算是生活中常見的問題,對于規(guī)則的空間立體體積的計(jì)算在中學(xué)時(shí)就有具體的計(jì)算公式,但對于不規(guī)則的空間立體體積則難以計(jì)算。本文就主要針對各種形狀的空間立體研究計(jì)算其體積的簡便方法。 其實(shí)很多文獻(xiàn)對空間立體體積的計(jì)算問題都進(jìn)行了討論,文獻(xiàn)1就基本上包括了此問題的所有積分計(jì)算方法,并給出了相應(yīng)的計(jì)算公式。文獻(xiàn)2-9分別從不同方面對各種方法進(jìn)行了細(xì)致說明,并對個(gè)別特例進(jìn)行了深入分析,給出了特殊的積分計(jì)算方法。文獻(xiàn)10則主要是對部分方法做出了總結(jié),并列出了大量相關(guān)例題輔助理解。以上文獻(xiàn)充分體現(xiàn)出積分思想在解題中應(yīng)用廣泛,特別是在計(jì)算空間立體體積領(lǐng)域。如果我們能夠在積分學(xué)的基礎(chǔ)上掌握空間立

3、體體積的計(jì)算方法,則能使一些復(fù)雜的問題簡單化,還易讓人接受。所以我們要分析掌握積分法,以便于解決與此相關(guān)的各種復(fù)雜問題,特別是各種空間立體體積的計(jì)算問題。 空間立體體積的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)積分法在幾何上的主要應(yīng)用,其主要思想是將體積表示成定積分或重積分,研究空間立體,確定積分區(qū)域及被積函數(shù),然后綜合考慮立體特征、積分區(qū)域及被積函數(shù)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)姆e分方法,使空間立體體積的計(jì)算簡單明了。本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,總結(jié)了中學(xué)常見的空間立體體積的計(jì)算方法。同時(shí)又探討了它們和其它不規(guī)則立體的多種積分計(jì)算方法,最后還介紹了求解空間立體體積的物理方法,充分展示了空間立體體積計(jì)算方法的多樣性及靈活性,特別是積分思

4、想在此領(lǐng)域的運(yùn)用,有力地拓展了求解立體體積的思路。1 用定積分計(jì)算空間立體的體積 當(dāng)空間立體是旋轉(zhuǎn)體或垂直于坐標(biāo)軸的截面面積已知時(shí),可用定積分計(jì)算其體積,分下面幾種情形。1.1 已知平行截面面積的立體體積的計(jì)算對于空間一個(gè)立體,如果用垂直與某一定軸的 任意平面去截立體,得到的截面面積都是已知的 （即可以用學(xué)過的知識(shí) ,公式計(jì)算),由于這些截面都是互相平行的，則稱為平行截面面積為已知的立體。用類似求圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積,常見的已知幾何體的截面積求幾何體的體積,另一種是求旋轉(zhuǎn)體的體積,解此類題常用的方法是我們將此物體劃分成許多基本的小塊。設(shè)為三維空間中的位于上的立體,若的平

5、行截面面積函數(shù)為,在區(qū)間連續(xù)，則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為，則的體積為 例1 把長方體看作已知平行截面面積的立體運(yùn)用定積分法計(jì)算例1中長方體的體積。 解 如圖一所示對長方體建立三維直角坐標(biāo)系,則以平面截長方體截面即為以長,以為寬的長方體,則其面積。故由公式(1)求得長方體體積為 圖一例2 把橢球體看作已知平行截面面積的立體運(yùn)用定積分法計(jì)算例2中橢球的體積。 解 所給橢球,其橢球面方程為,以平面截橢球面,得橢球在平面上的正投影：。化橢球?yàn)閰?shù)方程則由曲線所圍圖形的面積公式，求得此橢圓所圍面積為 。故其截面面積函數(shù)為于是由公式求得橢球體積為。顯然,當(dāng)時(shí),這就等于球的體積。例3 把圓柱體看作已知平行截

6、面面積的立體運(yùn)用定積分法計(jì)算例3中圓柱體的體積。解 如圖二所示以圓柱體底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),以底面兩互相垂直方向分別為軸及軸方向,以下底面圓心到上底面圓心方向?yàn)檩S方向,建立三維直角坐標(biāo)系。則以平面截圓柱體,得截面即為以為半徑的圓,故截面面積為故由公式(1)求得圓柱體體積為 圖二例4 把圓錐體看作已知平行截面面積的立體運(yùn)用定積分法計(jì)算例4中圓錐體的體積。解 如圖三所示,若以平面截取圓錐體,得截面即為以為半徑的圓,故截面面積為故由公式(1)求得圓柱體體積為 圖三1.2旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù),是由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體,那么易知截面面積函數(shù)為故旋轉(zhuǎn)體的體積公式為 。例5 把圓柱體

7、看作旋轉(zhuǎn)體運(yùn)用定積分法計(jì)算圓柱體的體積。解 如圖四所示,此圓柱體可由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得。故由公式(2)知其體積為 。 圖四例6 把圓錐體看作旋轉(zhuǎn)體運(yùn)用定積分法計(jì)算例4中圓錐體的體積。解 如圖五所示,這圓錐體可由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得,所以由公式知其體積為 又因同底同高的兩個(gè)圓錐,在相同高度處的截面為相同的圓,即截面面積函數(shù)相同,所以任一高為,底半徑為的圓錐（正或斜）,其體積恒為。 圖五2用二重積分計(jì)算空間立體的體積由二重積分的幾何意義知,當(dāng)時(shí),二重積分在幾何上表示以為曲頂,為底的曲頂柱體的體積。其中二重積分計(jì)算時(shí)可根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn),把積分區(qū)域化為型區(qū)域或型區(qū)域,即把二重積分化為累次積

8、分直接計(jì)算,或利用對稱性簡化積分區(qū)域,或根據(jù)被積函數(shù)特點(diǎn)對二重積分進(jìn)行變換后計(jì)算。當(dāng)曲頂柱體關(guān)于坐標(biāo)軸對稱時(shí),可直接利用對稱性,簡化積分區(qū)域,進(jìn)而使計(jì)算更簡便。 例7 用二重積分法計(jì)算長方體的體積。解 此長方體如圖一所示,可看作以為頂?shù)牧Ⅲw,以長方形區(qū)域?yàn)榈椎闹w。故其體積為 例8 用二重積分計(jì)算例2中橢球體的體積。解 由對稱性,橢球體的體積是第一卦限部分體積的8倍,這一部分是以為曲頂,以四分之一圓域?yàn)榈椎那斨w,所以應(yīng)用廣義極坐標(biāo)變換,由于,故由公式知 顯然當(dāng)時(shí)，則得球的體積為例9 用二重積分計(jì)算例3中圓柱體的體積。解 以如圖二所示此圓柱體可看作以為頂, 為底的柱體。故 例10 用二重積分

9、計(jì)算例4中圓錐體的體積。解 以如圖三所示此圓錐體可表示為。此圓錐體在平面上的投影為這是平面上的圓,故積分區(qū)域?yàn)?。被積函數(shù)為故所求體積為 若被積函數(shù)在積分區(qū)域上可積,變換滿足變換條件,則 其中為經(jīng)變換后的平面上的積分區(qū)域,且。 例11 設(shè)為定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),且為平面曲線所圍成的有界閉區(qū)域。求以曲面為頂,為底的空間立體的體積。 解 如圖六陰影部分即為區(qū)域,則所求體積令 則變?yōu)楣视晒降?。 圖六 當(dāng)立體體積的積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分,或者被積函數(shù)的形式為時(shí),采用極坐標(biāo)變換往往能達(dá)到簡化計(jì)算方法的目的。此時(shí),變換的函數(shù)行列式為。則 。 如例12中所示便是運(yùn)用了此方法,

10、此處便不再舉例。 3 用三重積分計(jì)算空間立體體積由三重積分或的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí),公式 在幾何上表示的體積,表示積分區(qū)域。用三重積分計(jì)算空間立體體積,可將三重積分化為累次積分計(jì)算,對于一般區(qū)域上的三重積分,常把它分解成有限個(gè)簡單區(qū)域上的和來計(jì)算?；蛘呃脫Q元法對三重積分進(jìn)行變換從而計(jì)算空間立體體積,常用的變換有柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換。 例14 用三重積分計(jì)算例1中的長方體的體積。解 由體積計(jì)算公式(5)知所求體積為 例15 用三重積分計(jì)算例2中的橢球體體積。解 首先作廣義球坐標(biāo)變換于是在上述廣義球坐標(biāo)變換下,的原象為故由公式(8)有 例16 用三重積分求半徑為的球體的體積。解 作球坐標(biāo)變換則故由

11、公式(8)知球體的體積為 例17 用三重積分計(jì)算例3中圓柱體的體積。解 如圖二所示在平面上的投影區(qū)域?yàn)榘粗鴺?biāo)變換來算,區(qū)域可表示為故由公式(7)知 例18 用三重積分計(jì)算例4中圓錐體的體積。解 如圖三所示可看作由曲面與為界面的區(qū)域,在面上的投影區(qū)域?yàn)榘粗鴺?biāo)變換區(qū)域得,其可表示為故由公式(8)知 當(dāng)把立體的積分區(qū)域投影到平面或平面平面上時(shí)?？蓪⑷胤e分化為相應(yīng)的累次積分從而簡化其計(jì)算。如例16所用便是。與二重積分一樣,某些類型的三重積分作適當(dāng)?shù)淖儞Q后能使計(jì)算方便。設(shè)變換滿足相應(yīng)的條件,則 其中 例19 用三重積分計(jì)算下面曲面所圍成圖形的體積:解 由體積公式知令則故由公式知 若積分函數(shù)中含有,

12、或積分區(qū)域?yàn)橹w或柱體的一部分時(shí),就可用柱面坐標(biāo)變換,且柱面坐標(biāo)變換為變換的函數(shù)行列式則三重積分的柱面坐標(biāo)換元公式為 這里為在柱面坐標(biāo)變換下的原像。 如例19和例20便是運(yùn)用的此方法,此處便不再舉例。若立體為球體或球體的一部分時(shí),可用球坐標(biāo)變換,且則三重積分的球坐標(biāo)變換公式為 其中為在球坐標(biāo)變換的原像。如例17和例18運(yùn)用的便是此方法。例20 求由半徑為的球面與頂點(diǎn)在球心,頂角為的圓錐面所圍成的區(qū)域（如圖四）的體積。解 如圖建立坐標(biāo)系,則球面方程為 錐面方程為 取球坐標(biāo)變換,由公式知區(qū)域體積為 圖七4.論文小結(jié)本文從總結(jié)中學(xué)常見立體體積的計(jì)算方法開始,依次列舉了計(jì)算空間立體體積的各種方法。首先

13、介紹了求已知平行截面面積的立體體積和旋轉(zhuǎn)體體積的定積分法,然后又依次分析總結(jié)了計(jì)算空間立體體積的二重積分法和三重積分法。其中對于具有某些特征的立體,介紹了特殊的極坐標(biāo)變換法、柱坐標(biāo)變換法和球坐標(biāo)變換法。對于中學(xué)時(shí)已經(jīng)學(xué)過的常見立體體積的計(jì)算,像長方體體積、橢球體體積體積、圓柱體體積、圓錐體體積，文中分別利用定積分法、二重積分和三重積分法重新進(jìn)行了計(jì)算。對于特殊立體球體在討論橢球體時(shí)附帶著加以了討論,另外又單獨(dú)運(yùn)用三重積分法進(jìn)行了計(jì)算。雖然它們的計(jì)算簡單,但在這里卻顯得獨(dú)到新穎。對于其它多種不規(guī)則立體體積的計(jì)算也都給予相應(yīng)的積分方法,并附有典型例題輔助理解。最后又介紹了一種求立體體積的物理方法,

14、此方法更是簡易方便。這些內(nèi)容充分展示出空間立體體積計(jì)算方法的靈活性和多樣性,有力地拓展了此領(lǐng)域的解題思路。參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。 數(shù)學(xué)分析（第三版）上冊、下冊M。 高等教育出版社, 2005，（04）。2 歐乾忠。 計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的一般公式J。 桂林師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào), 1999,(01) 。 3 聶智。 旋轉(zhuǎn)曲面面積與旋轉(zhuǎn)體體積的積分公式J。 渝西學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2003,(13)。 4 趙春紅。 利用二重積分計(jì)算空間立體體積的一個(gè)簡便方法J。 沙洲職業(yè)工學(xué)院學(xué)報(bào), 2003,(01)。5 楊春雨,姜德龍,李彥文。 關(guān)于幾個(gè)重要積分的計(jì)算方法J。 吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào)， 2004,(02)。6 徐玉名,陳懷琴。 淺