04第四節(jié)冪級數(shù)

1、第四節(jié)幕級數(shù)分布圖示函數(shù)項級數(shù)的一般概念例1幕級數(shù)的概念收斂半徑的求法例4例2例3幕級數(shù)的收斂域求收斂域的基本步驟例5例6例7幕級數(shù)的代數(shù)運算 幕級數(shù)和分析運算性質例9例10例11例12內容小結習題12-4課堂練習返回內容要點一、函數(shù)項級數(shù)的基本概念 區(qū)域內任意一點的收斂性問題， 收斂問題.這樣，我們仍可利用常數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法來判斷函數(shù)項級數(shù)的收斂性；函數(shù)項級數(shù)在某區(qū)域的收斂性問題，而函數(shù)項級數(shù)在某點 x的收斂問題，實質上是常數(shù)項級數(shù)的是指函數(shù)項級數(shù)在該二、幕級數(shù)及其收斂性；阿貝爾定理；三、收斂半徑P及其求法：根據幕級數(shù)的系數(shù)的形式，當幕級數(shù)的各項是依幕次 n連續(xù)的時候，可用對其系數(shù)應用

2、比值判別法或根值判別法直接求出收斂半徑，即有l(wèi)im an=P 或 nj'"|anl = P；如果幕級數(shù)有缺項，如缺少奇數(shù)次幕的項等， 則應將幕級數(shù)視為函數(shù)項級數(shù)并利用比值 判別法或根值判別法其收斂域；oC四、求幕級數(shù)S anXn收斂域的基本步驟:(1)求出收斂半徑R.;3C判別常數(shù)項級數(shù) Z anRn, S an(-R)n的收斂性;n=en zQ(3)寫出幕級數(shù)的收斂域.五、幕級數(shù)的算術運算：加、減、乘、除；六、幕級數(shù)的分析運算：和函數(shù)的連續(xù)性；逐項求導公式；逐項積分公式;幾何級數(shù)的和函數(shù)2 11 +X +X2 +xn + =,(-1 V X v1)1 - X是幕級數(shù)求和中的

3、一個基本的結果.我們所討論的許多級數(shù)求和的問題都可以利用幕級數(shù)的運算性質轉化為幾何級數(shù)的求和問題來解決.例題選講函數(shù)項級數(shù)的收斂域1 ( E01)求級數(shù)n f 1、n 的收斂域.1_11+X 丿由比值判別法|Un 十(X)| _11|Un(x)| "n+1 '|1+x|1+x|(1)當一1|1+x|1當1|1 +x|O門+ x| >1,即xaO或xw_2時，原級數(shù)絕對收斂.> |1+ X|c1,即2cxc0時，原級數(shù)發(fā)散.比(1)n比1當|1 +x |=1 L A X =0或x=2, X = 0時,級數(shù)為£ 收斂；X = -2時，級數(shù)為 送心n2發(fā)散，故

4、級數(shù)的收斂域為(-CG, _2) U0, +處).例2確定級數(shù)2(1+x(1+；2)(1+xn嚴0的收斂域.處1解當X =1時，級數(shù)為2斗,此級數(shù)收斂.n昇XnUn + (X)當岡卻時，記 Un(X)=(1+x)(1+x2)r+xn)，有 n U”")=limX1+xn+=I 0,|X1= 1|X|,|X|£1由比值判別法知，此時級數(shù)絕對收斂，故級數(shù)收斂.因此，級數(shù)的收斂域為(-CC, 1)U(1，七C).處/ +、n例3 (E02)求級數(shù)2 (n J 的收斂域.n# n(n +x)n (1 +x/ n)n解 因 Un J nJ = ,當 X=0 時，Un =1( n= 1

5、,2,3),級數(shù)發(fā)散.n當xHO時，級數(shù)去掉前面的有限項(最多去掉前|X |項，它不影響級數(shù)的收斂性)后為正級數(shù),而 lim -u =lim h =lim n-?/ nxn 丿 <xIxI =e ,且p攻數(shù)丄,當X卻時收斂，X蘭1時發(fā)散.由比較判別法的極限形式知心n題設級數(shù)當X ；1時收斂，即收斂域為（1, +處）.求幕級數(shù)的收斂域處xn(1)2： ( -1)匚 n(2)Z (rx)n;n 二處xn亭川解（1）= lim 如121/ n=1 i m pen +1=1,所以收斂半徑 R = 1.例4 （ E03）求下列幕級數(shù)的收斂域處（_1）n處1當X =1時，級數(shù)成為Zn壬匕2,該級數(shù)收

6、斂；當x=-1時，級數(shù)成為£丄，該級數(shù)發(fā)散.nnmn從而所求收斂域為（-1,1. 因為P = lim ylm lim n =訟，故收斂半徑R =0,即題設級數(shù)只在x=0處收斂. nandtan= limnjqC(n +1)!1n!=1 i葉丄Tn +1=0,所以收斂半徑P =咼,所求收斂域為（=,+處）例5 （ E04）求幕級數(shù)占-1)nn :2n的收斂域2丿1 t =X -2題設級數(shù)化處2n為 Z (T)ntn,因為n#V n=2,所以收斂半徑1R=,收斂區(qū)間為2|t-,即 0<x<1.當x=0時，級數(shù)成為丄,該級數(shù)發(fā)散；當x=1時，級數(shù)成為處（1）n百,該級數(shù)收斂.從

7、而所求收斂域為（0,1.處 x2n 二例6（ E05）求幕級數(shù)£ 的收斂域.心2解 題設級數(shù)缺少偶數(shù)次幕，此時可直接利用比值判別法Un 屮（X）limUn（X）2n +=lim Xn 亨笙2n十2n2n J.X弓x2.當12當1x2>1即xa72時，級數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑r=J2.2<1即yx<42時，級數(shù)收斂；處1當X f 時，級數(shù)成為送',該級數(shù)發(fā)散；當X = J2時,nM處 _1級數(shù)成為送二，該級數(shù)發(fā)散.n 二 V 2故所求收斂域為（-72,72）.例7求函數(shù)項級數(shù)2 -n 二 n的收斂域.X _2I解 令t=一2,原級數(shù)變?yōu)? -tn,容易求得級數(shù)X

8、4Z -tn的收斂域為1蘭t<1,即nJ-1 <g <1,解此不等式得X >1,所以原級數(shù)的收斂域為X1, +處）.幕級數(shù)的運算處（ “n1 1例8（ E06）求幕級數(shù)S |匕-+丄n皐n 4nxn的收斂域.解 從例4的（1）知，級數(shù)h Uxn心 n的收斂域為（-1,1.對級數(shù)h 丄xn,有n#4n=14P = limn蟲a所以,其收斂半徑為4.易見當時，該級數(shù)發(fā)散.因此級數(shù) M 丄xn的收斂域為(_4,4)."nM由幕級數(shù)的代數(shù)運算性質，題設級數(shù)的收斂域為(1,1.求幕級數(shù)的和函數(shù)，分析運算性質的應用比1 xn例9( E07)求幕級數(shù)£ (1) 的

9、和函數(shù).nAn解 由例4(1)的結果知，題設級數(shù)的收斂域為(_1,1,設其和函數(shù)為s(x),即nn二十.n顯然 s(0) =0,且 s(x) =1 -X +x2 屮"+(_1)nxn-* +-1 (1 <xc1), 1 +xx由積分公式ex)dx=s(x)-s(。)，得xs(x) =s(0) + f s'(x)dxdx'0 1 +x=ln (1 +x).oC因題設級數(shù)在X =1時收斂，所以 送 3)2丄=1 n(1+x)(_1 CX <1). n 二noC例10( E08)求幕級數(shù)藝(n+ 1)2xn的和函數(shù).n =0解 因為an +an=5 + 2)2

10、T 1，故題設級數(shù)的收斂半徑R=1，易見當X =±1時，題設(n +1)C級數(shù)發(fā)散，所以題設級數(shù)的收斂域為(-1,1),設S(x)=送(n +1)2xn (|x|<1),則n=0X、 x=x I =11-X 丿(1-x)2,CaCJxs(x)dx =2 (n +1)xnF =x2 (xn中)=xn Tn T在上式兩端求導，得所求和函數(shù)s(x) =(1(|x|<1).(1 X)例11求級數(shù) 丄+亠+匕 屮+厶屮的和.1.32.33.34.3n.3C nac n解所求級數(shù)的和是幕級數(shù)送當X =!時的和.設S（x）=送 X引1, 1）,逐項求導，n4 n3n n1X“1,1）,

11、兩邊積分，得1 -xx x 1osYxjdx = fodx =-1 n(1_x),即 s(x) _s(0) = -1 n(1-x).、1 -x 又因s(0) =0,所以s(x) =1 n(1 X),故所求原級數(shù)的和為 sflLl nhj=l n?13丿I 3丿2處（_1）n例12求冪級數(shù)三治x2n的和.處(1) n解設 s(x)=2； qx2n (|xI <1),則nmn(2n 1)2nW 2 0)2嚴 n 呂2n1S7x4£21)n"ln經x2n -1、2n= 2 -2x2 +2x° -2x6 屮"寺心1）.將上式兩端對x積分，得x2f 0dx

12、=2arcta nx. 1 +x2=2卜rctanX： -七S'(x)-S'(0) =S"(x)dx =由 S'(0) =0,得 S'(x) =2arctanx,兩端積分得XXS(x) -S(0) = L S '(x)dx =2 arctanxdxX T22dx =2xarctanx ln(1 +x ) (| x p<1),由 S(0) =0,得S(x) =2xarctanx ln(1 +x2)處(打4無丄帛x2J2xarCtanx|n(1+x2).課堂練習1. 幕級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變c 2門2. 求所給

13、幕級數(shù)的收斂域:無” (x+1)n ;7 Jn+1處xn3. 求冪級數(shù)Z-的和函數(shù).阿貝爾(Abel,Nicls Henrik , 1802-1829)阿貝爾挪威數(shù)學家，1802年8月5日生于挪威芬島；1829年4月6日卒于挪威弗魯蘭。阿貝爾出身貧困，未能受到系統(tǒng)教育，啟蒙教育得自于他的父親。1813年，年僅13歲的阿貝爾進入奧斯陸的一所教會學校學習。起初，學校里缺乏生機的教育方法沒有引起他對數(shù)學的興趣。15歲時，他幸運地遇到一位優(yōu)秀數(shù)學教師，使他對數(shù)學產生了興趣。阿貝爾 迅速學完了初等數(shù)學課程。然后，他在老師的指導下攻讀高等數(shù)學，同時還自學了許多數(shù)學大師的著作。1821年秋，阿貝爾在一些教授

14、資助下進入了奧斯陸大學學習。1825年大學畢業(yè)后，他決定申請經費出國，繼續(xù)深造和謀求職位。在德國他結識了一 位很有影響的工程師 A.L.克雷爾，在阿貝爾及朋友的贊助下，克雷爾于1826年創(chuàng)辦了著名的數(shù)學刊物純粹與應用數(shù)學雜志，后被稱為克雷爾雜志。它的第一卷刊登了7篇阿貝爾的文章，克雷爾雜志頭三篇共發(fā)表了他的22篇包括方程、無窮級數(shù)、橢圓函數(shù)等方面的開創(chuàng)性論文。從此，歐洲大陸數(shù)學家才開始注意他的工作。1826年7月，阿貝爾從柏林來到巴黎，遇見了勒讓德和柯西等著名數(shù)學家，他寫了一 篇題為“關于一類廣泛的超越函數(shù)的一個一般性質”的文章，于1826年10月30日提交給法國科學院，不幸未得到重視，當時科

15、學院的秘書傅里葉讀了論文的引言，然后委托勒讓德和柯西對論文作出評價， 柯西是主要負責人， 這篇論文很長而且難懂，因為它飽含了許多新概念?？挛靼阉旁谝贿?，醉心自己的工作。勒讓德也把它忘記了。事實上，這篇論文直到 阿貝爾去世后的1841年才發(fā)表。1826年底，阿貝爾回到柏林。不久，他染上了肺結核，克雷爾幫助了他，請他擔任克 雷爾雜志的編輯，同時為他謀求教授職位，但未獲得成功。雙周1828勒讓1827年5月20日，阿貝爾回到奧斯陸?；貒蟾匀粵]有找到職位的期望，他 不得不靠作家庭教師維生。 在貧病交迫、茹苦含辛的逆境中，他并滑倒下去，仍然堅持研究， 取得了許多重大成果。 他定下了一系列關于橢圓函數(shù)的文章，發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的