第2章導(dǎo)數(shù)與微分

1、高等數(shù)學(xué)教案第二章導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組第二章第三章第四章第五章第六章導(dǎo)數(shù)與微分 教學(xué)目的:1理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的 切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函 數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù) 的微分。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的 n階導(dǎo)數(shù)。 會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、 二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)。3、4、5、教學(xué)重點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)和微分的

2、概念與微分的關(guān)系；2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；4、高階導(dǎo)數(shù)；6、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。里.1導(dǎo)數(shù)概念、引例1. 直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng)、時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為ss是t的函數(shù):s=f(t)、求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻to的速度. 考慮比值SS)二f(t)-f(to) _no'to的速度.但這樣做是不精確的、更確地這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t-to內(nèi)的平均速度.如果時(shí)間間隔選較短、這個(gè) 比值在實(shí)踐中也可用來說明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的

3、極限.如果這個(gè)極限存在.設(shè)為V.即t-to應(yīng)當(dāng)這樣：令t -tw 0 *取比值f一f(to)v lim f(t)-f(to) v=lim氣t=ot -to這時(shí)就把這個(gè)極限值V稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻2. 切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M '在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N *作割線MN .當(dāng)點(diǎn) N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí).如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置 MT r直線M T就稱為曲線C有點(diǎn)M處的切線.設(shè)曲線C就是函數(shù)y-f(x)的圖形.現(xiàn)在要確定曲線在點(diǎn) M(xo, yo)(yo=f(xo)處 的切線、只要定出切線的斜率就行了 .為此、在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(x, yb于是 割線MN的斜率為tan= .xx

4、ox-xo其中®為割線MN的傾角.當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí)xo.如果當(dāng)心o時(shí)*上 式的極限存在 '設(shè)為k .即XF x-xo存在、則此極限k是割線斜率的極限、也就是切線的斜率.這里kUan a、其中G是 切線MT的傾角.于是、通過點(diǎn)M(xo, f(xo)且以k為斜率的直線MT便是曲線C 在點(diǎn)M處的切線.yyo f(x)f(xo)、導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個(gè)問題看出、非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié) 為如下的極限：f(X)-f(Xo)l I m.xoX Xo令也x=x-xo * 則Ay=f(xo+Ax)-f(xo) = f(x)-f(xo)

5、*4 xo相當(dāng)于 Axt 0* 于是 llm fg-fg)xoX Xo成為II4 或 II 口仏+-定義 設(shè)函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)自變量x在xo處取得增 量也x(點(diǎn)xo+Ax仍在該鄰域內(nèi))時(shí)、相應(yīng)地函數(shù)y取得增量也y=f(xo+也X)-f(xo)；如果 也y與穌之比當(dāng)Axt O時(shí)的極限存在、則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)、并稱這個(gè)極 限為函數(shù)y#(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)、記為yix爭(zhēng)，即dydx X=X0(X0巴喘姿f(X0Sf(X0)也可記為y|x»o *或業(yè))dx函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)有時(shí)也說成f(x)在點(diǎn)xo具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不

6、同的形式.常見的有f (xoHl IThf(Xo) = lIm 咖一愀)To XXo在實(shí)際中、需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題、在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問題.導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述 .f (Xo+也x)-f(Xo)二竺如果極限四f(X0十史f(X0)不存在、就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處不可導(dǎo).如果不可導(dǎo)的原因是由于JxLJAx '也往往說函數(shù)y#(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.如果函數(shù)y#(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)、就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)*這時(shí).對(duì)于任一 X曰.都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.這樣就構(gòu)成了一個(gè) 新的函數(shù)、這個(gè)函

7、數(shù)叫做原來函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)、記作(X)、5 r或峻dXdX導(dǎo)函數(shù)的定義式：yim f(xF)f(x)=iim f(x+h)f(x).ZThf '(xo)與f -(X)之間的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (x)就是導(dǎo)函數(shù)f lx)在點(diǎn)x=xo處的函數(shù)值、即f (X0)=f(X)XzXQ導(dǎo)函數(shù)f '(X)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)、而f (xo)是f(x)在X0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f '(X)在X0處的值.左右導(dǎo)數(shù)：所列極限存在.則定義f(x)在 Xq 的左導(dǎo)數(shù)：口XQ)=lim f(XQ+h)f(XQ)'h-jQ f(x)在 Xq 的右導(dǎo)數(shù)：fXo)潮+ f(XQ 中 h

8、)"力-如果極限I i mf(XQ+h)f(XQ)存在、則稱此極限值為函數(shù)在X0的左導(dǎo)數(shù).如果極限Hrmf(XQ+h)-f(XQ)存在,則稱此極限值為函數(shù)在X0的右導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:f (Xq) =A口滄)=以滄)=A .2.求導(dǎo)數(shù)舉例例1.求函數(shù)f(x)=C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù). 解：f(X)=iim f(x 巴-f(x)=iim ¥ =q .h “hhj h即(C) 'O例2 求f(X)J的導(dǎo)數(shù).X11解flX)-十 海咼一_11(x+ h)xX2高等數(shù)學(xué)教案第二章導(dǎo)數(shù)與微分解f（x2緇今土器氣h11例3.求f（X）掙的導(dǎo)數(shù).=lim f1= =lim

9、 尸尸 .Th(后h +VX) hTpQ+VX 2 丘例2.求函數(shù)f(x)=xn(n為正整數(shù))在 x=a處的導(dǎo)數(shù).解 f 2)= lim f(x)f(a)=iim=lim f+ax” 七心)=2心X -a3a X -a把以上結(jié)果中的a換成x得f Yx)=nxn二即(xn)Fxn1(CO.(仮)'總、(X片7x2 .更一般地*有*其中為常數(shù).例3.求函數(shù)f(x)=sin x的導(dǎo)數(shù).解：f (x) = lim f(x+h)f(x)=lim sin(x+m-sinx-PhhT1hh=lim "Zcosd +)si n h-P h22h sinh=lim cos(x)，一； =cos

10、x .T2 h2即(sin x)' =cosx .用類似的方法*可求得(cosx )'ssin X.例4.求函數(shù)f（x）=a x（a>0*aH1）的導(dǎo)數(shù).解：帥悔竿嚴(yán)H嗎忖持<忸罟令£壬尹忸詁兩1=ax=ax|na .logae特別地有(ex)=ex .例 5.求函數(shù) f(x)=logax (a>0 .a -1)的導(dǎo)數(shù).加.、f(x+h)f(x)loga(x+h)-logaX角軍：f(X)=lim =lim hThhT昶hloga（F）=Xhimo和gaO+fXhimogo+驢高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組解：f (x) dim ggx+hZogaX =lim

11、丄logad) ThTh 八 X=l|imloga(1+)h Jlogae=- . xhTX Xxl na特殊地(lx)+(log a x-，(1 nx)1 .xinax3. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)：極限lim f(x加)f(x)存在的充分必要條件是M0hlim - h-fi h都存在且相等.f(x+h)-f(x)及 f(x+h)-f(x)hT+ hf(x)在 xo處的左導(dǎo)數(shù):fj(xo)=lim f(x+h-f(x) hThf(x)在 xo處的右導(dǎo)數(shù):f衣o)=h哩+"x+hj"x)導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f Jxo)和右導(dǎo)數(shù)f xo

12、)都存在且相等.如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)、且右導(dǎo)數(shù)f '4<a)和左導(dǎo)數(shù)f'_(b)都存在、 就說f(x)有閉區(qū)間a, b上可導(dǎo).例6.求函數(shù)f(x)=x|在x=0處的導(dǎo)數(shù).解：口0)譜 y+hjf® 譜甲=-1 -f細(xì)譜苗軒八因?yàn)閒 '_(0)H f豈0)*所以函數(shù)f(x)=xi在x=0處不可導(dǎo).四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)f '(X0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(xo, f(xo)處高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第二章導(dǎo)數(shù)與微分的切線的斜率.即f，(x o)=tan g、其中a是切線的傾角.如果

13、y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)為無窮大、這時(shí)曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸 的直線X=xo為極限位置、即曲線y=f(x)在點(diǎn)M(xo, f(xo)處具有垂直于x軸的切線x=xo.:由直線的點(diǎn)斜式方程、可知曲線 戸f(x)在點(diǎn)M(xo, yo)處的切線方程為y-yo=f (xo)(xxo)|過切點(diǎn)M(xo, yo)且與切線垂直的直線叫做曲線 y=f(x)在點(diǎn)M處的法線如果 f '(xo)#o、法線的斜率為-£、從而法線方程為f (Xo)y-yo=-y(x-xo).f (xo)例8.求等邊雙曲線yJ在點(diǎn)(1, 2)處的切線的斜率、并寫出在該點(diǎn)處的切線x2方程和法線方程.解：y

14、=-4、所求切線及法線的斜率分別為xki=(£)lxgfk2+#所求切線方程為y-2=Y(xW)、即4x+y-4=0.所求法線方程為y-2#(x-2)、即2x-8y+15=o.例9求曲線y=x辰的通過點(diǎn)(0、-4)的切線方程.解設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo則切線的斜率為331f (xo) =(X2)'=3x2于是所求切線的方程可設(shè)為y-xojxo=2、&(x-xo).根據(jù)題目要求、點(diǎn)(-4)在切線上.因此0=*i/x0(0 -x0) r解之得Xo4.于是所求切線的方程為y 広 今74(X 旳即 3x-y-4=0四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)、即

15、 鸚2x = f (xq)存在-貝Ulim by = lim 黑 Z= lim 學(xué) ”lim Kx = f '(x0) 0=0 .這就是說*函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處是連續(xù)的.所以、如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo). 則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).另一方面* 一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo).例7.為函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)f(x)弘在區(qū)間(-,+x=0處導(dǎo)數(shù)為無窮大 f(0+h)-f(0)=|im 屈十T h)內(nèi)連續(xù).但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo).這是因limM0h高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組§2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)r那么它

16、們的和、差、積、 商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)并且u(x)珊x)W(x) V(x)u(x) v(x)r=U(x)v(x)+u(x)V(x)：u(x)T3(x)v(x)-u(x)v'(x)v2(x)證明u(x)執(zhí)呵=四用+6±*+6 -陽(yáng)土*)Hv(x)h=limhT嚴(yán)+2 期土如?*)® Yx)±V(x).法則(1)可簡(jiǎn)單地表示為(u ±v)'p Wu(x) v(x)耳m u(x +h)v(x+h) (xNx)=lim u(x +h)v(x +h) -u(x)v(x +h) + u(x)v(x +h) u(x)v(x) h_ h

17、lim 甲(x+h)-u(x)g+h)-*)hT Ihh J=limdim u(x+h)T(x) lim v(x +h)加(x)加嗆加)一*) hjhh_jP ''' '=u'(x)v(x)+u(x)V(x)、其中l(wèi)im v(x+m=v(x)是由于v(x)存在、故v(x)在點(diǎn)x連續(xù).法則(2)可簡(jiǎn)單地表示為(uv)T V切v'.u(x +h) u(x)v(x+h) v(x) _lim u(x+h)v(x)-u(x)v(x +h) hTv(x +h)v(x)h=|im u(x +h) u(x)v(x) u(x)v(x +h) v(x) hm0v(x

18、 +h)v(x)hu(x+h) -u(x)v(x)(x) Wx 卄)一v(x) =limhTv(x+h)v(x)u(x)v(x) -u(x)v(x)v2(x)法則(3)可簡(jiǎn)單地表示為u、' uv-uvP v2(u±v)F3、(ugVuvl (步 弋1皿-定理1中的法則 、(2)可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形u=u(x)、VF(X)、w=w(x)均可導(dǎo)則有(u+v-w) =u W-W(uvw) T( uv)w' =(uv) W( uv)w'=(u V+uv)w+uvw" =u vwuv'w+uvw".即(uvwr =u Vw+uv

19、wuvw".在法則中如果v(C為常數(shù)b則有(CupCu例 1. y=2x 3-5x 2+3x-7* 求 y'解：yW2x 35x 2+3x7)' = (2x 3)飛 5x 2)飛 3x)l( 7)' = 2 (x 3)'- 5( x 2)' + 3( x)'例如 設(shè)高等數(shù)學(xué)教案第二章導(dǎo)數(shù)與微分=2 3x 2-5 2x+3=6x 2-10x+3.例 2 . f(X)=x3 +4C0SX -sin_2 、求 f (x)及 f (歲.解：f(X)=(x3) '+(4cosx)'-(sin 歲'=3x2 4 sinx 、

20、f (歲 dh2-4.例 3. y=eX(sin x+cosx)、求ylxx解：y千e )'(sin x+cosx)+ e (sin x+ cosx)， =ex (sin x+cosx)+ ex (cosx -sin x) =2e cosx.例 4. y=tan x，求 y'.加、，sin X、，(sin x)'cosxsin x(cosx)cos2xcos2 x+s in2x解：y =(tanxTcos) =I'-2=sec2 x .cos2xcos2 x即(tan x)'=secx .例 5. y=secx、求 y解：y =(secx)=()戸=_廠

21、=secx tan x .cosxcos2xcos2 x即(secx) =secx tan x .用類似方法、還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(cot x)Jcscx .(cscx) 亠cscx cot X .二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù)x#(y)在某區(qū)間ly內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f'(y)H0*那么它的反函數(shù) y#'(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間ix=xx#(y)y引y內(nèi)也可導(dǎo)、并且fj(x)l'=或業(yè)=丄f (x) f(y)或 dx dxdy簡(jiǎn)要證明：由于xh(y)在I y內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù)) 所以x=f(y)的反函數(shù) y# '(X)存在且f'(x)在I

22、x內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)任取X引X給x以增量 x(AxH0x+Ax引x) 由y=f '(X)的單調(diào)性可知1 1Ay-f (x+Ax)f (x)H0于是勿=11因?yàn)閥=f(X)連續(xù)故鳴創(chuàng)=0從而f(x)=lim 理= lim 丄=_ .以jp & 屆P £x f (y)上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說成反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)例6.設(shè)x=sin yy司一2, -2為直接函數(shù)則y=arcsin x是它的反函數(shù)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且函數(shù)x=sin y在開區(qū)間(號(hào)(sin yf =cosy>0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則在對(duì)應(yīng)區(qū)間lx=(-11)內(nèi)有(a r c sx) n1i =1 = .1=

23、 . 1(s iyn coy / _s i Fiy1x2類似地有：(arccosx)'=-1.J1X2例7.設(shè)xNan y聲(一2, y)為直接函數(shù)則y=arctan x是它的反函數(shù)函數(shù)x-tan y在區(qū)間(-才，2(tan y)'=sec y 丸因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則在對(duì)應(yīng)區(qū)間1111內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)I x=(Y母)內(nèi)有(arctxa'n(t ay) s eby 1+t a務(wù)y 1 +x2類似地有：(arccotx)'=-#x?-例8設(shè)x=ay(a>0a =1)為直接函數(shù)y在區(qū)間lyY畑)內(nèi)單調(diào)、(ay)Fy In a 和因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則(log a

24、x_1 =(ay) ayl na xl na到目前為止.所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來了.那么由基本初等函數(shù)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組可導(dǎo) 且在對(duì)應(yīng)區(qū)間1則y=loga X是它的反函數(shù)函數(shù)x=aI x=(0址)內(nèi)有構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)Intan x、ex3、的導(dǎo)數(shù)怎樣求?三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3如果u=g(x)在點(diǎn)X可導(dǎo)*函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo).則復(fù)合函數(shù) y甘g(x)在點(diǎn)X可導(dǎo).且其導(dǎo)數(shù)為字f(u)g(x)或半罟半.dxdx du dx證明：當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時(shí).y=fp(x)也是常數(shù)、此時(shí)導(dǎo)數(shù)為零、 結(jié)論自然成立.當(dāng)u=g(x)在x的某鄰

25、域內(nèi)不等于常數(shù)時(shí) 30 此時(shí)有曲 _fg(x+&)-fg(x) _fg(x +)-fg(x) g(x +3-g(x)Z&g(x+Ax)-g(x)Z二f(u 林u)-f(u) g(x+ Ax)g(x)f(U +加)-f(u)伽 g(x電)-g(x)= f -(u)g (x)."suzx'孚= limdx£x 也 T簡(jiǎn)要證明：字=lim A 學(xué)dx 心T Ax 應(yīng)T加d 例9 yd、求律.=鸚筈蚪瞥口皿(X)函數(shù)yqx3可看作是由u ywu=x3復(fù)合而成的因此dx du dx3x2 =3x2ex310 y=sin函數(shù)y=sin畚是由y=sin u因此dy

26、 dy du:、，、dx du dx(1 +x2)2對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后例 11. Insin X* 求一.dx2(1 +x2) -(2x)2u復(fù)合而成的2(1/) 2x(1+x2)2 COS1+x2、就不必再寫出中間變量、解 黔(|nsinx)'喘x(sinx)J1COSXPOtX . sinx高等數(shù)學(xué)教案第二章導(dǎo)數(shù)與微分例 12. y-2x2 求學(xué).dx-4x1 2解；2x2)飛(12x(d)'_3j . dx(sin X)Nosxr (cosx)'Kin X、2 (tan X) =secx、 (cot X)hscx、 (secx) =secx tan x.

27、(cscx) hscx cot X、 (aXEX In a. (eX)QX* (iogaX)'=_、xl na33(1 2x2 )2例如 設(shè)y=f(u)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形 u= (v)v= (X)貝 Udy 少 du 竺 du dvdx du dx du dv dx例 13. Bncos"求5,解譽(yù)1 nc昨心為的r1二COSeZn(ex)(ex)yxtanx). 例14. yw叫，求字.dxsin11, sin1:'=e x (sin ) =e X cos-x:解：譽(yù)=(評(píng)2) dx1 sin-1=2 e X cos.x2x例15設(shè)x&g

28、t;0 (X r=1日證明幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 -Jln Xln XX解因?yàn)閄 =(e ln x) =eIn x所以(X y=(e ln x)' = eln x( In x)' = eln x-Jx-Jx四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組(12)(13)(14)(arcsin x) j,X2(arccosx)'=1:-x2(15)(16)(arccot x)'=去-2. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x) ;v=v(x)都可導(dǎo)-則(1)(u ±v)'勺如(C u)，£ul(u v)'=

29、u'v切 v(4)(»評(píng).vv23. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)X#(y)在區(qū)間ly內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f '(y)H0、則它的反函數(shù)y=f'(x)在lx=f(ly) 內(nèi)也可導(dǎo)、并且1戶(X)心帀或dHdy4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y#(x)r而U電(X)且f(u)及g(x)都可導(dǎo)-則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)為diX 喘製或 y(x)f(u)gg 例16.求雙曲正弦sh X的導(dǎo)數(shù). 解：因?yàn)閟h 1(ex -e).所以(s hx)號(hào)-e j)號(hào)(ex +e j) =c hx .即(sh x)'=ch X.類似地*有(ch x)'=sh x.例17.求雙曲正

30、切th x的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)閠h x¥、所以ch x(th x)，_ch2x -sh2x _ 1ch2x(x)而c -例18.求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?arsh x=ln(x+J +x2)、所以(a r Sx) '=x+x2 (1 F曰-由 a r chrn nx+Jx2 _1)、可得(arch x)'=1.Jx21由 arth xln 巳-可得(arth x：!* -類似地可得(arch X)亠 J 1, (arth x) _7x2 -11 一 X例19. y=sin nxsiJx (n為常數(shù)幾 求y.解：yWsin nx)' sinnx +

31、sin nx - (sinnx)'=ncosnx sinnx+sin nx n ” sinn x (sin x ) n丄 n n-J丄八=ncosnx sin x+n sin x ” cosx=n sin x ” sin(n+1)x .§2. 3高階導(dǎo)數(shù)一般地、函數(shù)y#(x)的導(dǎo)數(shù)y# '(X)仍然是x的函數(shù).我們把y# '(x)的導(dǎo)數(shù)叫 做函數(shù)y#(x)的二階導(dǎo)數(shù)、記作y '、f "(x)或gj.dx2即y=y)f(x)f(x)需總(孰相應(yīng)地-把y#(x)的導(dǎo)數(shù)f '(X)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).類似地、二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)、叫做

32、三階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)、一 般地、(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)、分別記作V- VV (n)或業(yè)也”業(yè)y、y、'v 或 dx3 ' dx4 '' dxn 函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù)、也常說成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo).如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 處具有n階導(dǎo)數(shù)、那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于 n階的導(dǎo) 數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù).y'稱為一階導(dǎo)數(shù)jy(n都稱為高階導(dǎo)數(shù).例 1. y=ax +b '求 y 解：yFV'O例 2. s=sin oU 求 s".2解：sQ cos©tS&

33、#39;=© sin o t.例3.證明：函數(shù)y=72口2滿足關(guān)系式y(tǒng) Vf=0.證明：因?yàn)閥'TS廠;-J2x X2 (1 X)c 22x 2 (2X-X2)J(2X-X2)(2x -x2)號(hào)2x-x22x+x2(1-x)2所以 y 3y'F=0.例4.求函數(shù) 解y事寸全y=ex一般地.可得(n) xy =e .即(ex)(n)vx .例5.求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).解：y=sin X、y =c 0 s =s i rx-2-)、yx 的 ny ”=c 0 sxys i nx埠+寺)=s i nx廣2 2)=c 0 sx佗 ”2)=s i n<(+2 y

34、號(hào))=s i nx曠3 y) *y(4) =co 5X(3 y) =s i rxM 號(hào))、一般地.可得y(n)=si rxn 2)、即(sinx)(n)=sin(x +n 寺).用類似方法-可得(cosx)(n) =cos(x+n y) 例6.求對(duì)函數(shù)ln(1+x)的n階導(dǎo)數(shù) 解：y=ln(1+x) V=(1+x)= yl+x)"2、y 化(-1)( -2)(1+x) .ySq -1)(-2)(-3)(1+x)二 一般地*可得yj-1)(-2)(-n+1)(1+x)%(T)n/nT)!(1 +x)nIn(l+x)(n)-例6 .求幕函數(shù)y=xhP是任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)公式.解:y7x

35、巴y7(»1)x2*1)(42)x3*y ( 4)=艸卩1)(卩2)(卩 7)xZ、一般地、可得y (n)=4(41)(42)(4"1)x1、即(X節(jié))=4(卩-1)(卩-2)(4-n+1)xP.當(dāng)卩=n時(shí)、得到(xn)(n)=出 41)(卩2)3 - 2 - 1=n!.而(xn)(申=0 .如果函數(shù)u=u(x)及vi(x)都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)、那么顯然函數(shù)u(x) v(x) 也在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù).且(uv)(n)=u(n)W(n) (uv)，=u V切V(uv)''=u"vH2uVPvS(uv)'iu”VH3u"V£

36、;uV'V".用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n(UV)(n)=送上)v(k)rk=0這一公式稱為萊布尼茨公式.例 8. x2e2x、求 y(20).解：設(shè) u=e2x*v=x2* 則(u)(k)=2ke2x(k=1, 2,20)、 v=2x 7、么(v)(k) =0 (k=3, 4,，20).代入萊布尼茨公式.得(20)(20)(20) S 1 (19)2 (18)“y=(u v)=uvP 20 u v 七 20 u v=220e2x ”x2+20 - 219e2x 220 218e2x 22!20 2x - 2," s»-=2 e (X +20x+95).里.4隱

37、函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)：形如y斗（X）的函數(shù)稱為顯函數(shù)例如y=sin x ry=ln x+ex . 隱函數(shù)：由方程F(x*y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù). 例如、方程x3 4=0確定的隱函數(shù)為y y=yiM .如果在方程F(x* y)=0中*當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí),相應(yīng)地總有滿足這方 程的唯一的y值存在、那么就說方程F(xyT在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù).把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)、叫做隱函數(shù)的顯化.隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難 的、甚至是不可能的.但在實(shí)際問題中.有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、因此、我們 希望有一種方法、不管隱函數(shù)能否顯化、都能直接由方程算

38、出它所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)來.例4 .求由方程ey+xyY=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).解：把方程兩邊的每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得(ey)Txy)Te)yO八ey y 勺+xy'=O *從而y 亠占(x+ey0)-例2.求由方程y5+2y-x-3x7=O所確定的隱函數(shù)y=f(x)在 x=0處的導(dǎo)數(shù)ylx.解：把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得5yy'y'424x 0.由此得y丄1t21X6.y 5/ +2因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)、從原方程得y=0*所以y 心一5y4+2 心"2 -例3.求橢圓芻+"2=1在(2,弓薦)處的切線方程.1692解：把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)、得X

39、+2yy'=0 .8 9 y從而y丄一916y當(dāng)x=2時(shí).3=瀘.代入上式得所求切線的斜率k=y|x 孑-所求的切線方程為y-3J3 =-(x2)、即 73x+4y-8島=0 .24解：把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)*得廿9八八0將X=2、y =3 J3 '代入上式得21 14V3于是k=y"|xA = -.4y -3 扌 3 =-2例4.求由方程xy+s in y=0所確定的隱函數(shù)y 的二階導(dǎo)數(shù).解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)、得1 導(dǎo) Tcosydy=0、dx 2 dx所求的切線方程為 (2)、即 73x +4y 873 =0 .4于是dy 二 2dx 2 -cos y &#

40、39;上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)、得d2y29n y dX = _4sjn ydx2(2-cosy)2 (2-cosy)3 '對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對(duì)數(shù).然后再求出y的導(dǎo)數(shù).設(shè)y#(x) r兩邊取對(duì)數(shù).得In y = In f(x)、兩邊對(duì)x求導(dǎo)、得1/4ln f(x)' r yyT(x)ln f(x)l對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求幕指函數(shù)y=u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之 積和商的導(dǎo)數(shù).例5 .求y=x sinx (x>0)的導(dǎo)數(shù).解法一：兩邊取對(duì)數(shù).得In y=sin x - In x.上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)、得11y'=cosxl nx+si nx、 yx

41、1 于是y'=y(cosxl nx+si nx )x=Xsinx(C0SX l.x解法二：這種幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求 sin xsin x In xy=x=e、esinxlnx(sin x In xxsinx(cosx Inx例6 .求函數(shù)y嚴(yán)恥一2)的導(dǎo)數(shù). V(Xd)(X*)解：先在兩邊取對(duì)數(shù)(假定x>4) *得In y 弓ln(x1)+ln(x2)ln(x3)ln(xr)h上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)、得ly J(丄+1匚y 2 x7 X2 X3 x*于是y號(hào)(古+是"肖"士)-當(dāng) XV1 時(shí) r y=J(1-x)(2-X);當(dāng) 2<x<3 時(shí)

42、，y=J(x-1)(x-2)； V(3-x)(4-X)y Y(3-x)(4-X)用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果.注：嚴(yán)格來說 '本題應(yīng)分x>4*x<1* 2<x<3三種情況討論.但結(jié)果都是一樣的.、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程卩霧確定的.則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的ly(t)函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).在實(shí)際問題中、需要計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).但從參數(shù)方程中消去參數(shù)t有時(shí)會(huì)有困難.因此、我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).設(shè)x/(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=w(x)、且此反函數(shù)能與函數(shù)y理(t)構(gòu)成復(fù)合

43、 函數(shù) 尸屮嚴(yán)J(x)、若x/(t)和y4(t)都可導(dǎo).則dy =dy .dt =dy 丄dx dt dx dt dx W'(t) 'dtdy dy _屮(t)或些=雖 靈藥)或dxdx dt若x/(t)和yA(t)都可導(dǎo).則業(yè)=彈. dx 理(t)例7.求橢圓=acost在相應(yīng)于T點(diǎn)處的切線方程.y=bsi nt4解：Jbsint)j = _bcott ._badx (acost)-asl nta所求切線的斜率為 孚|t=dx =4切點(diǎn)的坐標(biāo)為 xo=acos-4 =a普* yo =bs泊鄉(xiāng)二匕羋切線方程為小警一a(xa即bx+ay運(yùn) ab=0.例8.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程

44、為1y Ft "2 gt求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.y-V2t-gt 2 解：先求速度的大小.速度的水平分量與鉛直分量分別為x (t)=vi y(t)=v2-gt、所以拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小為v=x(t)2 +y(t)2 =Jv2 + (V2gt)2 .再求速度的方向、設(shè)a是切線的傾角、則軌道的切線方向?yàn)閠an。導(dǎo)哉=7 . dx x (t)V,已知x=®(t), y=W(t)、如何求二階導(dǎo)數(shù)y"? 由xTt)取-也由 x (t)'dx珂)'必二叫=_d (恤沖dx2 dx(dx) dt(t) dx_屮 “(ta(t)N'

45、;(t)t) 1一 申2(t)珂)例9.計(jì)算由擺線的參數(shù)方程駕雹；）所確定 的函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù).解；dy _y(t) _a(1cost) asint'dx _x(t) _a(tsint)'_a(1-cost)=sint =cot (t2n.n 為整數(shù)).1 -cost2dx2 -dx(dxdt(cot 2) dx1 12sin2上 a（1-cost） a（1cost）2（t 2ngn為整數(shù)）.三、相關(guān)變化率設(shè)x=x（t）及y=y（t）都是可導(dǎo)函數(shù)而變量x與y間存在某種關(guān)系從而變化率dx與dy間也存在一定關(guān)系這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率dt dt以便從其中一個(gè)變

46、化率求出關(guān)變化率問題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系 另一個(gè)變化率例10 一氣球從離開觀察員500f處離地面鉛直上升其速度為140m/min（分）當(dāng)氣球高度為500m時(shí)觀察員視線的仰角增加率是多少？觀察員視線的仰角為解設(shè)氣球上升t（秒）后其高度為htan a=-h-500t求導(dǎo)其中及h都是時(shí)間t的函數(shù)上式兩邊對(duì)se&u胞亠如dt 500 dt已知dh40 (米/秒)又當(dāng) h=500(米)時(shí)dttan=1sec=2代入上式得2躋謚140所以晉=500=°14（弧度/秒）即觀察員視線的仰角增加率是每秒 014弧度里.5函數(shù)的微分、微分的定義引例函數(shù)增量的計(jì)算及增量的構(gòu)成.一塊正方形

47、金屬薄片受溫度變化的影響.其邊長(zhǎng)由xo變到Xo+也X、問此薄片的 面積改變了多少？設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為X、面積為A則A是x的函數(shù)：A-xl金屬薄片的面積改 變量為2 2 2iAWxo+也X) -(xo) =2xoAx +(Ax).幾何意義：2xoAx表示兩個(gè)長(zhǎng)為xo寬為Ax的長(zhǎng)方形面積；9x)2表示邊長(zhǎng)為也X 的正方形的面積.數(shù)學(xué)意義：當(dāng)也Xo時(shí)、(Ax)2是比AX高階的無窮小、即9x)2=a也X)； 2x必X是也X的線性函數(shù)、是U的主要部分、可以近似地代替AA.定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義.xo及xo+也X在這區(qū)間內(nèi)、如果函數(shù)的 增量也 y =f(xo+也 x)f(xo)可表示為A

48、y=AAx+o(心 X)、其中A是不依賴于Ax的常數(shù).那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo是可微的 '而Mx叫做函 數(shù)y#(x)在點(diǎn)xo相應(yīng)于自變量增量Ax的微分r記作dy即dy =A Ax.函數(shù)可微的條件：函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微的充分必要條件是函數(shù) f(x)在點(diǎn)xo可 導(dǎo)、且當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微時(shí).其微分一定是dy# '(xo)也X.證明：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微r則按定義有iy=AKx+o(ix)、上式兩邊除以Ax、得3 _A+o(制ZAx 于是*當(dāng)Axo時(shí).由上式就得到簽"*)因此-如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微、則f(x)在點(diǎn)xo也一定可導(dǎo)-且Ah '

49、;(xo).反之、如果f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo)、即鸚鮎(x0)存在.根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系,上式可寫成其中a0(當(dāng)也x0)*且A=f(X0)是常數(shù)衛(wèi)心X Rx).由此又有Ay =f '(X0)ix+aAx .因且f '(X0)不依賴于 X 故上式相當(dāng)于y=Aix+o(ix)、所以f(x)在點(diǎn)X0也是可導(dǎo)的.簡(jiǎn)要證明：一方面別一方面螞冬=f (xoM ；=f(X0)= 3=f(X0)AX如ix .以微分dy近似代替函數(shù)增量Ay的合理性： 當(dāng)f 1x0)0時(shí).有l(wèi)irn 型= iimf 一Llirn 魚=1 .3dy 4f(X0)Ax f(X0)Sdx衛(wèi)y1Ay=dy+o(d y).結(jié)

50、論：在f '(X0)0的條件下、以微分d尸f '(xo)Ax近似代替增量Ay#(xo+Ax)-f(xo)時(shí)、其誤差為o(dv) 因此在px很小時(shí)有近似等式y(tǒng)Zy .函數(shù)y#(x)在任意點(diǎn)x的微分 '稱為函數(shù)的微分.記作dy或df(x)、即dy# '(x)心 X *例女口d cosx =(cosx)Fx =-sin x 也x ； de=(exf A=exx .例1 求函數(shù)y2在x=1和x=3處的微分.解函數(shù)y=x2在x=1處的微分為2dy=(x )xAx=2Kx ；函數(shù)y=x2在x=3處的微分為dy=(x2)1xMx=6Ax .例2.求函數(shù)y=x3當(dāng)x=2*Ax=

51、0. 02時(shí)的微分. 解：先求函數(shù)在任意點(diǎn)x的微分dy=(x3)他x=3x2Ax .再求函數(shù)當(dāng)x=2 0x=0. 02時(shí)的微分2 2dy|x=2 £02 =3x I x=2, &£02 =護(hù)2 X0.02=0.24. 自變量的微分：因?yàn)楫?dāng)y=x時(shí)、dy=dx=(x)，&泌X*所以通常把自變量x的增量 x稱為自變量 的微分,記作dx即dx=Ax.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f gdx.從而有 字=f (x).dx這就是說、函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此、導(dǎo)數(shù) 也叫做“微商”.、微分的幾何意義當(dāng)Ay是曲線y#(x)上的點(diǎn)的

52、縱坐標(biāo)的增量時(shí)、dy就是曲線的切線上點(diǎn)縱坐標(biāo)的相 應(yīng)增量.當(dāng)Qx很小時(shí)"y-dyl比Qx|小得多.因此在點(diǎn)M的鄰近、我們可以用切線 段來近似代替曲線段.三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分的表達(dá)式dy =f '(x)dx可以看出.要計(jì)算函數(shù)的微分r只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù).再乘以自變量的微分.因此 .可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則.1 基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式：(xTxZ微分公式：d (xAxdx(sin x)'=cosxd (sin x)=cosxd X(cosx)'Fin xd (cosx)=-sin x dx(tan xf 毛ec2

53、x2d (tan x)=sec x dx(cot x)'fsc2x2d (cot x)=-cscx dx(secxf =secx tan xd (secx)=secx tan xdx(cscx) cscx cot xd (cscx)=-cscx cot xd x(ax )'=axln ad (ax )=axln adx彳 x、x(e )=e(lOgaX-L1d(logaX)dxd (exex dxaa(In x)'=丄 X(arccosx)，=-丄/ x21(arCtad(ln X)=- dxx1d(arcsin x) =dx* I x21d (arccosx)= ,

54、dx“一X21d(arcta n x) _! dx1 +x21 d(arccotx) =dx 1+x2積、商的微分法則(arccotx：鳥2 .函數(shù)和、差、微分法則： d(u±v)=du±dv d(Cu)=Cdu d(u v)=vduudv./U vdu-udv . ( ，cd 2dx(v HO)v v2求導(dǎo)法則：(u±v)7±V (Cu)'£u， (u v)' = u'v+uv'/Uj uvuv；，c(-)p(vHO)vv2證明乘積的微分法則：根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式、有d(uv)=(uv)'dx.再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則.有(uv) '=uSuvl于是d(uv) =( u V切v)dx=u vdxuv dx.由于