線面垂直與面面垂直

1、第3講線面垂直與面面垂直考試要求 1.空間中線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，B級(jí)要求；2.運(yùn)用線面垂直、面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題，B級(jí)要求.知識(shí)梳理1 .直線與平面垂直(1) 直線和平面垂直的定義如果一條直線I與一個(gè)平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線I與平面a互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一條直線與一個(gè)平 面內(nèi)的兩條相交直 線都垂直，則該直線 與此平面垂直1丄a1丄ban b= O ?1 丄 aa? a込兩直線垂直于同一a丄a,?a / b性質(zhì)定理個(gè)平面，那么這兩條b丄a直線平行2.平面與平面垂直(1)平面

2、與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直I丄a? a丄31?3性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一 個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直 線垂直于另一個(gè)平面aX 3aP 3= a?1丄aIX aJ2J診斷自測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“2”或“X”)(1)直線I與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則1丄口()(2) 垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()(3) 若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()(4)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面

3、P內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則a丄3()2給出下列命題：如果平面a丄平面 ft 那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面ft如果平面a不垂直于平面ft那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 ft如果平面a丄平面 Y平面ft丄平面Y aP ft= l，那么I丄平面y如果平面a丄平面ft那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面 ft其中錯(cuò)誤的命題是3. （2016浙江卷改編）已知互相垂直的平面a，ft交于直線I，若直線m, n滿足m/ a, n丄ft給出下列結(jié)論:m/I :m/ n；n丄I :m丄n.其中正確的是4.（2017鹽城模擬）設(shè)a, ft Y為互不重合的三個(gè)平面，I為直線，給出下列命題:若all ft a丄Y貝U

4、ft丄Y若a丄Y肚Y且aP A I，則I丄Y若直線I與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線I與平面a垂直;若a內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到 ft的距離相等，則平面a平行于平面ft其中真命題的序號(hào)為（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào) ）若PA= PB=PC,則點(diǎn)0是 ABC的心.5.（必修2P42習(xí)題16）在三棱錐P ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)0,心.若PA丄PB, PB丄PC, PC丄FA,則點(diǎn)O是厶ABC的考點(diǎn)一 線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐P ABCD中，PA丄底面ABCD,AB丄AD, AC 丄 CD,/ ABC= 60° PA=AB= BC, E 是 PC 的中點(diǎn).證明:(

5、1)CD 丄 AE;(2)PD丄平面ABE.規(guī)律方法 （1）證明直線和平面垂直的常用方法有:判定定理；垂直于平面的傳遞性（a/ b， a丄a?b丄a;面面平行的性質(zhì)（a丄a all保a丄9；面面垂直的性質(zhì)（a丄B,川 匸a, I丄a, I?保I丄a （2）證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性 質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.【訓(xùn)練1】（2017泰州期末）如圖所示，已知AB為圓0的直徑，點(diǎn)D為線段AB1上一點(diǎn)，且 AD = 3DB，點(diǎn)C為圓0上一點(diǎn)，且BC/SAC，PD丄平面ABC,aPD= DB.求證：PA丄CD.考點(diǎn)二面面垂直的判

6、定與性質(zhì)【例2】(2015山東卷)如圖，三棱臺(tái) DEF ABC中，AB = 2DE, G , H分別為AC, BC的中點(diǎn).(1)求證：BD/平面FGH ;(2)若CF丄BC, AB丄BC,求證：平面 BCD丄平面EGH.規(guī)律方法 (1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的 判定定理.(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】如圖，在三棱錐P ABC中，平面PAB丄平面ABC，F(xiàn)AXPB, M，N分別為AB，PA的中點(diǎn).(1)求證：PB/平面 MNC;若AC= BC,求證：PA丄平面MNC.考點(diǎn)

7、三平行與垂直的綜合問(wèn)題(多維探究) 命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明【例3- 1】(2016江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D ,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D丄A1F, A1C1丄A1B1.求證:(1)直線 DE /平面 A1C1F;(2)平面B1DE丄平面A1C1F.規(guī)律方法 (1)三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面 垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.命題角度二 平行垂直中探索性問(wèn)題ABCD為矩形，BC=Cfc-【例3-2】 如圖所示，平面ABCD丄平面BCE，四邊形CE,點(diǎn)F為C

8、E的中點(diǎn).(1)證明：AE/平面BDF;(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段 AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM丄BE?若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.規(guī)律方法(1)求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件， 再證明充 分性.(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索 點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).【訓(xùn)練3】(2017南通調(diào)研)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB/ CD , AC=V3, AB = 2BC=

9、 2, AC丄 FB.(1)求證：AC丄平面FBC;求四面體FBCD的體積;線段AC上是否存在點(diǎn) M，使EA/平面FDM ?若存在, 請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.思想方法1證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線都垂直？&丄a；m, n?a, mn n= A判定定理1： IXm, IX n?l J (3)判定定理2: a/ b, a丄a?b丄a； (4)面面垂直的性質(zhì)：a丄B, an 3= l, a? a, a丄l?a丄B； 2證明面面垂直的方法 (1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a? a a丄保a丄B 3轉(zhuǎn)化

10、思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化易錯(cuò)防范 1證明線面垂直時(shí)，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件2面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視3面面垂直的性質(zhì)定理在使用時(shí)易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤4.在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化 .基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時(shí)： 40 分鐘）、填空題1. （2017南京調(diào)研）對(duì)于直線I,m,平面a m?a,貝U“I丄m”是“I丄a”成立的條件（從“充分不必要”選填一個(gè) ）.必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中2. （2017深圳四校聯(lián)考）若平面a p

11、滿足 a丄 B, aP 3= I, P a, P?l，給出下列命題：過(guò)點(diǎn)P垂直于平面a的直線平行于平面B；過(guò)點(diǎn)P垂直于直線I的直線在平面a內(nèi);過(guò)點(diǎn)P垂直于平面P的直線在平面a內(nèi);過(guò)點(diǎn)P且在平面a內(nèi)垂直于I的直線必垂直于平面 B其中假命題為3.如圖，已知 PA丄平面 ABC, BC丄AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為4.在正三棱錐（底面為正三角形且側(cè)棱相等）P- ABC中,D, E分別是AB, BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷： AC丄PB;AC/平面PDE;AB丄平面PDE.其中正確論斷的序號(hào)為5. （2017蘇北四市聯(lián)考）已知a P是兩個(gè)不同的平面，I,I丄a, m?B給出下列命題：m是兩條不同的直線

12、,all聞丄m；a丄何/ m；m /0?1丄B;I丄曰m /其中正確的命題是6.如圖所示，在四棱錐P ABCD中，PA丄底面ABCD, 是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足且底面各邊都相等，M時(shí)，平面 MBD丄平面PCD（只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）C7.（2017徐州檢測(cè)）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕, 把 ABD和 ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：BD丄AC;BAC是等邊三角形;三棱錐D ABC是正三棱錐;平面ADC丄平面ABC.其中正確的是n是兩條直線，有下列四個(gè)命題:8 （2016全國(guó)n卷改編）a，p是兩個(gè)平面，m，如果m丄n,m 丄a,

13、n / B 那E么a丄B如果n / a, 那么m丄n；如果m? a，那么 m / B；如果ml n,allB,那么m與a所成的角和n與P所成的角相等.其中正確的命題有二、解答題9. （2017蘇州調(diào)研）如圖， ABC和 BCD所在平面互相垂直，且 AB= BC= BD = 2,/ ABC=/ DBC= 120°, E, F, G 分別為 AC, DC, AD 的中點(diǎn).求證：EF丄平面BCG;(2)求三棱錐D BCG的體積.10. (2017鹽城模擬)如圖，四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，AB = 2AD,能力提升題組（建議用時(shí)：20分鐘）11. （2017 蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研）設(shè)m, n是兩條不同的直線，a p是兩個(gè)不同的平面:若m丄n,n/a,若m / B,n丄a,貝U m丄a；若m丄n, 上述命題中為真命題的是12. （2017南京師大模擬）如圖，在正方形ABCD中，E,點(diǎn)，沿AE, AF, EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B, C,F分別是BC, CD的中D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 P, P點(diǎn)在 AEF內(nèi)的射影為O,給出下列結(jié)論: O是 AEF的垂心；O是 AEF的內(nèi)心;O是 AEF的外心；O是 AEF的重心.其中結(jié)論正確的是13.如圖，已知六棱錐 P ABCDEF