《常微分方程》答案習題2.2

1、習題2.2word求下列方程的解1.虬 y+sinx dx解:dxy=e (Jsin x e1=eX- - e A(sin x + cosx)+c 2(sin X + COSX)是原方程的解。x 1=c e -22.dr+3x=e2t解:原方程可化為:3.解:4.所以：x=e Pdt( J e2t e_Jdtdt +c)3., 1 5t , =e (-e +c)51=c e t + ' e2t是原方程的解。5ds1=-s cost + 一 sin 2tdt2f-costdt1fsdts=e ( f-sin2t e，dt +c )，2=e sint ( Jsintcostesintdt

2、+c)-si nt z I si nt=e (si nte -eSi nt I 丄=ce +si nt-1sint +c )是原方程的解。業(yè)-Xy=eXxndx nn為常數(shù).解：原方程可化為:dydxx I X n y +e Xnpdx-pdxy =e'x ( feXxne x dx + c)= xn(eX +C)是原方程的解.5. dy + iy + Odx x2解：原方程可化為:dy _ 1 -2xdx2x管dx=ey +1(In x2(e'b dx + c)Jn x2 J.xdx + c)= x2（1+ceX）是原方程的解.6.dydx解:dydx=u因此:x"

3、 +x32xyxx32xydu+ x dxdudxy = uxu2du1 3-u3=dx=x +cg+x屯dxdx(*)=u帶入 （* ）中得:34y -3x= cx3是原方程的解.7.尋 £=(x+1)3dx X +1解:=空+(x+i)3dx X +1P(x)=二,Q(x)=(x+1)3X +1方程的通解為：y=e=(x+1)(=(x+1)(=(x+1)P(x)dx_P(x)dx(JeQ(x)dx + c)2 f*(x+1)dx+c)(x+1)22 J(x+1)dx+c)2佇+c)即：8.dydx2y=c(x+1)2+(x+1)4為方程的通解。=y丄 3x + yx+y 1 亠

4、2=X + yy y則 P (y)= -,Q(y) =y2yp(y)dye -=e方程的通解為：1 2x=e=y(p(y)dy-fP(y)dy仃eQ(y)dy + c)1 2J-*y dy+c)y3+cy2即亡+cy是方程的通解'且y=0也是方程的解。9.也+口,a為常數(shù) dx x xax +1解：Rx)=-,Q(x)=xxP(x)dxdxae=e =x=x方程的通解為：y= eNx)dx(e-Hx)dxQ(x)dx + c) a( f丄 dx+c)x x當a=0時，方程的通解為y=x+In /x/+c當a =1時，方程的通解為y=cx+x ln/x/-1當a工0,1時，方程的通解為y

5、=cxa + H1- a a10. x + y =x3dx解:也一1y+x3 dx x1P(x)=，Q(x)xP(x)dx-伽e =e 方程的通解為:y=方程的通解為:P(x)dx-|P(x)e(Je13一(fx* x dx +c) x .34 x3_ x c y + 4 xdxQ(x)dx +c)11. 理+xy =x3ydx解:理一xy + xydx兩邊除以y 3dy2,3一xy +x y dxdy-223=2(xyf3)dx令y =z2(-xz + x3)dxpxdx= ex2P(x) =2x,Q(x) = 2x3 e JPf dx = e 方程的通解為：z=e=x故方程的通解為:e d

6、x( JeRx dxQ(x)dx + c)X2x23(Je (-2x3)dx + c)2 +cex2 +1y2(x2 ce" +1)=1,且y =0也是方程的解。c、 ，, c 2 I n X 112. (ylnx-2)ydx = xdy x +424解:dx XX兩邊除以y2dy Inx 2yy2dx X X dy _ In X 2y dx X 令y zdz 2Inx=z dx X XP(x)=2,Q(x)X方程的通解為：p(x)dx_fP(x)dxz =e(Je Q(x)dx + c) z =e £dx( r+dqJjdx +c) =x2( f4r(-M)dx + c)

7、x、X X方程的通解為：y（cx2 +罟 三）=1,且y=0也是解。132xydy =(2y2 -x)dx2dy 2y -x y 1dx 2xy x 2y這是n=-1時的伯努利方程。1兩邊同除以丄,yydy2 + 3 -y -X 十X e =cdx x令 y2 =z匚y0d x d x2dz _2ydx xP(x)=1 xQ(x)=-1由一階線性方程的求解公式zdx(*dxdx + c)_ 2 =X +x cy2 =x +x14 巴=ey+3xdx兩邊同乘以eyeydydxx2令eyy d y1 dxd z一 =e dxdz2z +3xzdxx2x2這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以z2dT

8、dxP (x)丄dzz2 dx-31 dz2 zdTdxdx=+丄令-=Tz2xz x-3Tx-1 Q(x)= -x由一階線性方程的求解公式匸3dx_1 pdxT 9x (dx+c)X=x"2x2+c)1 -1 .-3=一一 X +cx21-12z( -X +cx )=12+ cx) =1y .1-4-e (-x21 2 y , y 3 一 x e 中ce =x215理=dx xy +x ydx3 3=yx + y x這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以x3晉£ + y3x dy xdz_ 2J dy" x2y3= -2yz-2y3P(y )=-2yQ(y)= -

9、2y3由一階線性方程的求解公式z =eJNydy( j_2y3epydyd y +c)2 3 2=ej (-J2y ey dy +c)=_y2 +1 +ce-y2x 2 2x2ey (-y2 +1+ceT ) =ey (-y2 +1 +ceT )=1ey2(1X2 +x2y2)= cx2x16 y=ex+ .0 y(t)dtyX + y(x) dxdy , x=y +e dxP(x)=1Q(x)=ex由一階線性方程的求解公式fldx x fldxy =e(Je edx +c)=ex( fexxdx +c)=eX(x + c)Xxx xe (x +c) =e + 0 e (x +c)dxc=1y

10、= eX(x +c) 17設(shè)函數(shù)(t)于-OVtV + O上連續(xù)，Cp' (0)存在且滿足關(guān)系式申(t+s)= ® (t)® (s)試求此函數(shù)。令 t=s=O 得申(0+0)= W(O)W(O)即 w (0)=護(O)2 故 w (0)=0 或 w (0)=1(1) 當 W (0)=0 時 W(t )= W t + 0卜® t(勺(即W (t)=0/t 巳OO，+ OO) 當申(0) =1 時 e(t)=iim 半化+：； I=iim申(t)d(At)-(t)itAt于是 普沁'(0)®(t)變量分離得 vM'(0)dt積分W=c

11、e®(0t)由于 W(0)=1，即 t=0 時 W =1 仁 ce0= c=120試證:(1) 一階非齊線性方程(2 .28)的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程(2.3)之解;（2）若y=y（x）是（2.3）的非零解，而y-'d）是（2.28）的解，則方程（2.28）的通解可表為y =cy（x） + y（x），其中c為任意常數(shù).（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的證明:巴=P(X)y + Q(x) dx(2.28dy 存 P (x)y(2.3)(1)設(shè)y , y是（2.28）的任意兩個解d%p(x)vi+qx ) dx學=P( x)v2 +

12、Q(x)dx(1)（1）-（ 2）得d (% - 丫2 )(x)(yi-y2)dx即y = % -y2是滿足方程（2.3）所以，命題成立。(2)由題意得:(3)dy( P(x)ydxL(4)d v(x)L-7 = P(x)v(x)+Q(x) dxL1）先證丫=。丫+丫是（2.28的一個解。于是c%(3)+(4)得Lcdy +d vdx dxLd (cy + v)dxL= cP(x)y + P(x) y+Q(x)L=P (x)(cy + y)+Q(x)故y=cy + y是（2.28）的一個解。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成cy + y的形式設(shè)yi是（2.28的一個解于是(x)yi+Q x )

13、dx(4') -(4)得(4')從而LP(x)dx% -y =ce.=cyLd (% - y)Ldx(yi y = P(x)(yi-y)yi =嚴 cy所以，命題成立。(3)設(shè)y3，y4是（2.3）的任意兩個解dy3則N=p (x)y3dx瞥P (x)y4dx(5)(6)于是（5） Xc得c?3 =c P(x)y3dx讐-(x)(cy3)其中c為任意常數(shù)也就是y =cy3滿足方程（2.3）(5) ±(6)得字土警=P(x)y3 土 p(x)y4 dx dx日仃 d(y3±y4)»、/+、即 J=P (x)(y3±y4)dx也就是y =y3

14、 ±y4滿足方程（2.3）所以命題成立。21試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。(5)曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方;(6)曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標和縱坐標的等差中項;解：設(shè)p(x,y)為曲線上的任一點，則過P點曲線的切線方程為Y-y = y'(X -X)從而此切線與兩坐標軸的交點坐標為(X- ,0),(0, y-xy') y'即橫截距為寺縱截距為y - xy'。由題意得:(5)y - X y=方程變形為2=y -Xxdydx dy 1一 =y -xdx X1f 1十口f dxf-)dx于是 y=e'

15、;X( J(_x)e' x dx + c)ue1 叫 J (-x e"dx+c )= x(-x +c)=之2+c X所以，方程的通解為y=-x2+cx。(6) y-xy 沖方程變形為X吐dx 22dy 1dx=2xy1"2于是 y = e kdx1 P)dx(J(-2)e2x dx + c)2ln|x1 :中=e= /x2 -1/2 J-( H)e 2 dx +c)21 1十|2仃(三|)*= x2(J(護1P )dx + c)1 1= X2(-X2 +C)1=-x +cx1所以，方程的通解為y=_x + cx2。22求解下列方程。(1)(X2 -1)W-xy+=O的，xy 11解："八Kf x1.dx-x2ar_ dxf)1= /x2 -1/2 J-1 dx + c