微分方程在經(jīng)濟中應(yīng)用畢業(yè)論文

1、哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題目： 微分方程在經(jīng)濟中的應(yīng)用院（系）理學(xué)院專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級2009級姓 名趙忠媛學(xué) 號09031430指導(dǎo)教師姜秀英職 稱副教授2013年05月03日 目 錄摘要.1ABSTRACT.2第一章 微分方程的基本理論.3 1.1微分方程的概念.3 1.2微分方程的解.4第二章 微分方程的經(jīng)濟模型.8 2.1 經(jīng)濟增長模型.8 2.2供需均衡的價格調(diào)整模型 . 9 2.3索洛新古典經(jīng)濟增長模型.10 2.4公司資產(chǎn)函數(shù)模型.11 2.5新產(chǎn)品的推廣模型.12 2.6人才分配模型.13 2.7價格調(diào)整模型.14第三章 微分方程在經(jīng)濟中的應(yīng)用舉例.16 3.1商

2、品的需求量(供應(yīng)量)問題.16 3.2產(chǎn)量、收入、成本及利潤問題.18 3.3國民收入問題.20 3.4國民債務(wù)問題 .21 3.5流動的收入、消費和投資問題.21 3.6商品存儲過程中的腐敗問題.22 3.7汽車中的經(jīng)濟問題.22參考文獻.25后記.26哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計) 摘 要本文首先把微分方程的基本理論進行了概述，通過對微分方程概念和解的介紹，給下文的微分方程在經(jīng)濟中的應(yīng)用做了很好的鋪墊，在介紹微分方程基本理論的基礎(chǔ)上，介紹了微分方程的七種經(jīng)濟模型，并通過對經(jīng)濟模型的求解，解釋了相應(yīng)經(jīng)濟量的意義或規(guī)律，結(jié)合具體的社會經(jīng)濟實際意義進行了分析和推斷。把微分方程應(yīng)用到社會經(jīng)濟領(lǐng)域中

3、，列舉了微分方程在經(jīng)濟中的七個方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞: 微分方程；數(shù)學(xué)模型；經(jīng)濟增長；應(yīng)用舉例； ABSTRACT In this paper,the basic theory of differential equations are summarized .Based on the differential equations to introduce the concept of reconciliation .Application to differential equation below in the economy have made the very good upholster

4、y.After introducing the basic concepts ,seven kinds of mathematical economic models are also presented.To explain the economic quantity corresponding meaning or laws through the solution. then explaining and counting the differential equations.analysis and deduce the concrete reality meaning of soci

5、al economy.Then the differential equation is applied to the field of social economy and the seven aspects in the economy of the differential equation. Key words:Differential equation;Mathematic model;Economic growth;Examples of application 第1章 微分方程的基本理論微分方程是伴隨著微積分發(fā)展起來的，微積分是它的本體，生產(chǎn)生活實踐是它的源泉。300年來，微分方

6、程誕生于數(shù)學(xué)與自然科學(xué)進行嶄新結(jié)合的16、17世紀，成長于生產(chǎn)實踐和數(shù)學(xué)的發(fā)展進程，表現(xiàn)出強大的生命力和活力，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。微分方程有著深刻而生動的實際背景，它從生產(chǎn)實踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問題與解決問題的一個強有力的工具。隨著社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)相互促進共同發(fā)展已被越來越多的人認識和接受。作為高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一的微分學(xué)，它在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用日益廣泛，也是經(jīng)濟工作者和決策者進行實踐和研究的重要工具之一。1、1 微分方程的概念 什么是微分方程？在經(jīng)濟應(yīng)用中能用到哪些關(guān)于微分方程的知識？早在一百多年前，馬克思就研究了這些問題，那么現(xiàn)在我們是怎樣給它定義的呢

7、？ 定義1 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程叫做微分方程 定義2 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元 函數(shù)，從而出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程，叫做偏微分方程。如 就是偏微分方程。 定義3 微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階。 定義4 若一個微分方程的階為，則稱這個微分方程為階微分方程。如 是一階微分方程，是二階微分方程。 定義5 如果將一個函數(shù)代入微分方程后能使方程兩端恒等，則稱此函數(shù)為 微分方程的解。 定義6 求微分方程解的過程，叫做解微分方程。 若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，且任意常數(shù)之間不能合并，則稱為通解。當(dāng)通解中的各任

8、意常數(shù)都取特定值時所得到的解，這是微分方程的特解。例如是的通解，又如（是任意常數(shù)）是的通解，而都是的特解。通常，特解都是由給定的條件代入通解，確定出任意常數(shù)的特定值后得到的，這里用來確定特解的條件，叫做初始條件。 一般地，一階微分方程的初始條件為：；二階微分方程的初始條件為： 對于形如的微分方程，只要通過逐次積分（次），便可得到通解 例1 求微分方程的通解. 解 將所給方程兩邊積分一次，得 兩邊再積分，得 第三次積分，得 因此所求的微分方程的通解為 1、2 微分方程的解微分方程通過結(jié)構(gòu)的不同，大致可以分為以下幾類：可分離變量微分方程齊次型微分方程一階微分方程一階線性齊次微分方程一階線性微分方程

9、一階線性非齊次微分方程微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程根據(jù)經(jīng)濟中所涉及到的微分方程，我們可以給出微分方程不同的解法。 可分離變量微分方程 如果一個一階微分方程能寫成的形式，那么原方程就稱為可分離變量微分方程。 稱為變量已分離方程。例如是可分離變 量方程。 設(shè)，則方程可寫成變量已分離的方程，若函數(shù)與連續(xù)，則兩邊分別對和積分，得，就為變量可分離方程的通解，其中為任意常數(shù)。 齊次微分方程 如果一階微分方程可寫成的形式，則稱原方程為齊次微分方程。例如是齊次方程。 引入新的變換，即就可將齊次方程化為變量可分離方程，因為，所以分離變量，得于是得到，將變量

10、還原，便可得原方程的通解。一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性方程。如果，則方程稱為一階線性齊次方程，否則方程稱為一階線性非齊次方程。例如是一階線性齊次方程。 是一階線性非齊次方程。 對于一階線性齊次微分方程 方程是變量可分離的方程，其通解為其中為任意常數(shù)。 對于一階線性非齊次微分方程一階線性非齊次微分方程是齊次方程的一般情況，我們 可以設(shè)想線性非齊次微分方程有形如的解，但其中為的待定函數(shù)，將與代入方程 并整理得，兩端積分，得。于是,一階線性非齊次微分方程的通解為 。二階常系數(shù)線性微分方程 形如其中和為常數(shù)，這樣的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程。 如果，則上述方程稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方

11、程，否則方程稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。例如 是二階常系數(shù)線性齊次微分方程； 是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。 求二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解的步驟為：第一步：寫出微分方程的特征方程；第二步：求出特征方程的兩個根；第三步：據(jù)特征方程的兩個根的不同情況,寫出微分方程的通解。 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程本身的一個特解之和： 。 第二章 微分方程的經(jīng)濟模型 當(dāng)今社會，隨著經(jīng)濟的全球化和世界金融市場的不斷發(fā)展，各國已經(jīng)意識到經(jīng)濟在騰飛中所產(chǎn)生的問題的嚴重性。英國石油公司曾經(jīng)在墨西哥灣的原油泄漏，導(dǎo)致附近海域的生態(tài)直線下降。曾經(jīng)美國出臺的第二輪量化寬松

12、的貨幣政策引來各國的一直聲討。再比如以前中國股市的瘋狂。事實證明各種經(jīng)濟問題的處理，或者決策的產(chǎn)生，都越來越離不開一種工具數(shù)學(xué)經(jīng)濟模型。微分方程在經(jīng)濟學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，有關(guān)經(jīng)濟量的變化、變化率問題常轉(zhuǎn)化為微分方程的定解問題一般應(yīng)先根據(jù)某個經(jīng)濟法則或某種經(jīng)濟假說建立一個數(shù)學(xué)模型，即以所研究的經(jīng)濟量為未知函數(shù)，時間為自變量的微分方程模型，然后求解微分方程，通過求得的解來解釋相應(yīng)的經(jīng)濟量的意義或規(guī)律，最后作出預(yù)測或決策，下面介紹微分方程在經(jīng)濟學(xué)中的幾個簡單模型。2、1 經(jīng)濟增長模型 國民收入通常分為消費和儲蓄兩部分，儲蓄用于投資，可以增加生產(chǎn)，生產(chǎn)增加后消費、儲蓄增加，又可以反過來促進生產(chǎn),我們記

13、國民收入為 (產(chǎn)出),消費為, 儲蓄為, 為邊際資本產(chǎn)出比 (即單位邊際產(chǎn)出所需資本)；為邊際儲蓄傾向(單位產(chǎn)出產(chǎn)生的儲蓄)；為邊際消費傾向(單位產(chǎn)出用于消費的量)；由此我們可以做出基本假設(shè)： 產(chǎn)出增長率與資本投入成正比；儲蓄全部用于投資； 消費、儲蓄比例不變； 產(chǎn)出增長速度與儲蓄成正比。 由假設(shè)就可以建立模型： 根據(jù)假設(shè),代入前式得微分方程這樣求出方程的解為：2、2 供需均衡的價格調(diào)整模型 設(shè)某種商品，它的價格主要由供求關(guān)系決定，設(shè)供給量與需求均是依賴價格的線性函數(shù)當(dāng)供求平衡時，平衡價格顯然當(dāng)供大于求即時，則價格下降；當(dāng)求大于供即時，則價格上升?，F(xiàn)若價格是時間的函數(shù)，在時間時，價格的變化率與

14、此時刻的過剩需求量成正比，即其中為大于的常數(shù)，試求價格與時間的函數(shù)關(guān)系。(設(shè)初始價格) 由已知 即 即 其通解為 這里由代入上式，得固所求價格與時間的函數(shù)關(guān)系為顯然當(dāng)，即價格趨于平衡價格。2、3 索洛新古典經(jīng)濟增長模型 假設(shè)儲蓄全部轉(zhuǎn)化為投資，即儲蓄-投資轉(zhuǎn)化率假設(shè)為，投資的規(guī)模收益是常數(shù)；該模型修正了哈羅德-多馬模型的生產(chǎn)技術(shù)假設(shè)，采用了資本和勞動可替代的新古典科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。 設(shè)為時刻的國民收入，為時刻的資本存量，為時刻的勞動力，索洛曾提出如下的經(jīng)濟增長模型：其中為儲蓄率，為勞動力增長率，為初始勞動力 為和的一次齊次函數(shù)，稱為生產(chǎn)函數(shù)。由的前兩式，可得令稱為資本勞動力比，表示單位勞

15、動力平均占有的資本將代入上式并利用可得 為了求出方程的解，需給出生產(chǎn)函數(shù)的具體形式。為此下面取生產(chǎn)函數(shù)柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，即設(shè)其中均為常數(shù)易知將其代入得2、4 公司資產(chǎn)函數(shù)模型 某公司年凈資產(chǎn)有(百萬元), 并且資產(chǎn)本身以每年的速度連續(xù)增長, 同時該公司每年要以百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資。 給出描述凈資產(chǎn)的微分方程； 求解方程, 這時假設(shè)初始凈資產(chǎn)為； 討論在三種情況下, 變化特點。 利用平衡法，即由凈資產(chǎn)增長速度資產(chǎn)本身增長速度職工工資 支付速度 得到所求微分方程 分離變量，得 兩邊積分，得 為正常數(shù)），于是 或 將代入，得方程通解： 上式推導(dǎo)過程中當(dāng)時，知 通常稱為平衡解，仍包含在通解

16、表達式中。 由通解表達式可知，當(dāng)百萬元時，凈資產(chǎn)額單調(diào)遞減，公司 將在第36年破產(chǎn)；當(dāng)百萬元時，公司將收支平衡，將資產(chǎn) 保持在600百萬元不變；當(dāng)百萬元時，公司凈資產(chǎn)將按指數(shù) 不斷增大。2、5 新產(chǎn)品的推廣模型 設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場, 時刻的銷量為由于產(chǎn)品性能良好, 每個產(chǎn)品都是一個宣傳品, 因此, 時刻產(chǎn)品銷售的增長率與成正比, 同時, 考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量, 統(tǒng)計表明與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量也成正比, 于是有其中k為比例系數(shù). 分離變量積分, 可以解得由當(dāng)時, 則有即銷量單調(diào)增加。當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時, 即當(dāng)銷量達到最大需求量N的一半時, 產(chǎn)品最為暢銷, 當(dāng)銷量不足

17、N一半時, 銷售速度不斷增大, 當(dāng)銷量超過一半時, 銷售速度逐漸減少。 國內(nèi)外許多經(jīng)濟學(xué)家調(diào)查表明。許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近。根據(jù)對曲線性狀的分析, 許多分析家認為, 在新產(chǎn)品推出的初期, 應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強廣告宣傳, 而在產(chǎn)品用戶達到到期間, 產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn)； 在產(chǎn)品用戶超過時, 應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn), 可以達到最大的經(jīng)濟效益。2、6 人才分配模型 每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實教師隊伍, 其余人員將分配到其他部門從事經(jīng)濟和管理工作。 設(shè)年教師人數(shù)為科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)目為又設(shè)位教員每年平均培養(yǎng)個畢業(yè)生, 每年在教育、科技和經(jīng)濟管理崗位退休、死亡或

18、調(diào)出人員的比率為表示每年大學(xué)畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率于是有方程 方程有通解 若設(shè)則于是得特解 將代入方程變?yōu)?求解方程得通解 若設(shè)則于是得特解 式和式分別表示在初始人數(shù)分別為情況, 對應(yīng)于的取值, 在年教師隊伍的人數(shù)和科技、經(jīng)濟管理人員人數(shù)。從結(jié)果看出, 如果取即畢業(yè)生全部留在教育界, 則當(dāng)時, 由于必有而說明教師隊伍將迅速增加。而科技和經(jīng)濟管理隊伍不斷萎縮, 勢必要影響經(jīng)濟發(fā)展, 反過來也會影響教育的發(fā)展。如果將接近于零，則同時也導(dǎo)致說明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實教師選擇好比率, 將關(guān)系到兩支隊伍的建設(shè), 以及整個國民經(jīng)濟建設(shè)的大局。2、7 價格調(diào)整模型如果設(shè)某商品在時刻的售價為,

19、社會對該商品的需求量和供給量分別是的函數(shù)則在時刻的價格對于時間的變化率可認為與該商品在同時刻的超額需求量成正比, 即有微分方程 在和確定情況下, 可解出價格與的函數(shù)關(guān)系，這就是商品的價格調(diào)整模型。假設(shè), 某種商品的價格變化主要服從市場供求關(guān)系。一般情況下,商品供給量是價格的單調(diào)遞增函數(shù), 商品需求量是價格的單調(diào)遞減函數(shù), 為簡單起見, 分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為 其中均為常數(shù), 且當(dāng)供給量與需求量相等時, 由可得供求平衡時的價格并稱為均衡價格。一般地說, 當(dāng)某種商品供不應(yīng)求, 即時, 該商品價格要漲, 當(dāng)供大于求, 即時, 該商品價格要落。因此, 假設(shè)時刻的價格的變化率與超額需求量

20、成正比, 于是有方程其中用來反映價格的調(diào)整速度。將代入方程, 可得 其中常數(shù)方程的通解為假設(shè)初始價格代入上式, 得于是上述價格調(diào)整模型的解為由于知, 時, 說明隨著時間不斷推延, 實際價格將逐漸趨近均衡價格。第三章 微分方程在經(jīng)濟中的應(yīng)用舉例 利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量(供給量)之間的函數(shù)關(guān)系，預(yù)測可再生資源的產(chǎn)量、預(yù)測商品的銷售量、分析關(guān)于國民收入、儲蓄與投資的關(guān)系等問題。商品供求狀況的變化與價格的變動是互相影響、互相制約的。商品價格與供給成反比，供給增加，價格下降；供給減少，價格上升。商品價格與需求成正比，需求增加，價格上升；需求減少，價格下降。在其他因素不變的條件下，供給

21、和需求的任何變化，都可能影響商品價格變化，一方面，商品價格的變化受供給和需求變動的影響：另一方面，商品價格的變化又反過來對供給和需求產(chǎn)生影響：價格上升，供給增加，需求減少；價格下降。供給減少，需求增加。這種供求與價格互相影響、互為因果的關(guān)系，使商品供求分析更加復(fù)雜化，即不僅要考慮供求變動對價格的影響，還要考慮價格變化對供求的反作用。3、1 商品的需求量(供應(yīng)量)問題例1 某商品的需求量對價格的彈性為。若該商品的最大需求量為1200(即時，)(的單位為元，的單位為公斤)試求需求量與價格的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)價格為1元時市場上對該商品的需求量。解 由已知 即 分離變量解此微分方程 兩邊積分得 再由得

22、當(dāng)價格為元時，市場上對該產(chǎn)品的需求量為（公斤） 例2在商品銷售預(yù)測中，時刻的銷售量用表示，如果商品銷售的增長速率正比于銷售量及與銷售接近飽和水平的程度之乘積(飽和水平)求銷售量函數(shù)。 解 據(jù)題意，可建立微分方程 其中為比例因子 分離變量： 為任意常數(shù)，從而可得通解為 例3 設(shè)消費者的需求量為，消費者的收入為，則需求量對消費者的收入的彈性為 于是有，稱為平均彈性，則 若平均彈性為定常數(shù)，解此微分方程得若彈性函數(shù)為定常數(shù)，則有解此微分方程得如某地區(qū)研究消費需求量時，發(fā)現(xiàn)在價格穩(wěn)定的條件下，需求量只與消費者的個人收入有關(guān)，經(jīng)測算：消費需求增長率對消費者個人收入增長率之比的平均彈性為，且當(dāng)消費者收入為

23、時，消費需求量，求消費需求量與個人收入之間的函數(shù)關(guān)系，并求消費者個人收入為時得消費需求量。解 由 有 由時，有： 即需求量與個人收入的函數(shù)關(guān)系為： 當(dāng)時， 即當(dāng)消費者個人收入為時，消費需求約為3、2 產(chǎn)量、收入、成本及利潤問題 例4 在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚，由于條件限制最多只能養(yǎng)條。在時刻的魚數(shù)是時間的函數(shù)，其變化率與魚數(shù)和的乘積成正比。現(xiàn)已知池塘內(nèi)放養(yǎng)魚條，個月后池塘內(nèi)有魚條，求月后池塘內(nèi)魚數(shù)的公式.問個月后池塘中有魚多少？ 解 由已知得 解此微分方程 將代入得 解得 即月后魚數(shù)與函數(shù)的時間關(guān)系為 即 當(dāng)放養(yǎng)個月后魚塘中魚數(shù)（條） 例5 已知某廠的純利潤對廣告費的變化率與常數(shù)和純利潤之差成正比，當(dāng)時

24、。試求純利潤與廣告費之間的關(guān)系。解 由題意列出方程 分離變量 ，兩邊積分（其中） 由初始條件解得 所以純利潤與廣告費的函數(shù)關(guān)系為 例6 某商場銷售成本和存儲費用均是時間的函數(shù)，隨時間的增長,銷售成本的變化率等于存儲費用的倒數(shù)與常數(shù)的和；而存儲費用的變化率為存儲費用的若當(dāng)時，銷售成本，存儲費用。試求銷售成本與時間的函數(shù)關(guān)系及存儲費用與時間的函數(shù)關(guān)系。解 由已知 由解得由時解出 于是存儲費用與時間的函數(shù)為 將上式代入方程得 解此方程得 由時解出 即銷售成本與時間的函數(shù)關(guān)系為3、3 國民收入問題 例7 在宏觀經(jīng)濟研究中，發(fā)現(xiàn)某地區(qū)的國民收入，國民儲蓄和投資均是時間的函數(shù)。且儲蓄額為國民收入的(在時刻

25、)，投資額為國民收入增長率的。若當(dāng)時，國民收入為(億元)，試求國民收入函數(shù)(假定在時刻儲蓄額全部用于投資)。解 由已知當(dāng)有 解此微分方程得由時得 即國民函數(shù)為 而儲蓄函數(shù)和投資函數(shù)為3、4 國民債務(wù)問題 例8 某地區(qū)在一個已知的時期內(nèi)國民收入的增長率為，國民債務(wù)的增長率為國民收入的，若時，國民收入為(億元)，國民債務(wù)為(億元)，試求國民收入及國民債務(wù)與時間的函數(shù)關(guān)系。解 由已知得 所以得國民收入函數(shù) 由時得 于是國民收入函數(shù)為 又由已知 解此方程得 由時得 固國民債務(wù)函數(shù)為 3、5 流動的收入、消費和投資問題 例9 某地區(qū)考察消費-投資-收入的關(guān)系時，得知消費、投資均是收入的線性函數(shù)，而收入對

26、時間的變化率正比于過度需求。若分別表示在時刻時，消費、投資、收入與它們各自均衡值的偏差。若由統(tǒng)計資料分析得知，當(dāng)時，(億元)。若此地區(qū)流動收入的均衡值億元),試求流動收入函數(shù)。解 且 于是流動函數(shù)為 此題中，若時，則流動收入（億元）時，則流動收入（億元） 顯然當(dāng)時，流動收入（億元） （這里?。?、6 商品存儲過程中的腐敗問題 例10 設(shè)在冷庫中存儲的某蔬菜有(噸)，已發(fā)現(xiàn)其中有些開始腐敗，其腐敗率為未腐敗的倍()，設(shè)腐敗的數(shù)量為(噸)，則顯然它是時間的函數(shù)，試求此函數(shù)。解 由 解此微分方程得 即 時，代入得 所以腐敗數(shù)量與時間的關(guān)系為3、7 汽車中的經(jīng)濟問題 例11某汽車公司在長期運營中發(fā)現(xiàn)每輛汽車的總維修成本隨汽車大修的時間間隔的變化率等于總維修成本的倍與大修的時間間隔之比減去常數(shù)與大修時間間隔的平方之比。已知當(dāng)大修時間間隔(年)時，總維修成本(百元)。試求每輛汽車的總維修成本與大修的時間間隔的函數(shù)關(guān)系，并問每輛汽車多少年大修一次，可使每輛汽車的總維修成本最低？解 由已知 改寫為 代入通解公式 即 又由時，解出 即總維修成本與大修的時間間隔的函數(shù)關(guān)系為 令，解得 因，固時，有最小值 即每輛汽車年大修一次可使總維修成本最低。 例12 某汽車公司的