平面、平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用(共11頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面、平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 一、平面的基本性質(zhì)回顧：包括三個(gè)公理、三個(gè)推論、其中公理3，推論1，推論2，推論3分別提供了構(gòu)造平面的四種：（1）選不共線的三點(diǎn) （2）選一條直線與直線外一點(diǎn) （3）選兩條相交直線 （4）選兩條平行直線 二、證明共面的兩種方法： 1、構(gòu)造一個(gè)平面，證相關(guān)元素在這個(gè)平面內(nèi)；2、構(gòu)造兩個(gè)平面，證能確定平面的元素同在這兩個(gè)平面內(nèi)（同一法）。 例1已知a/b, Aa, Bb, Cb. 求證：a,b及直線AB，AC共面。 思路（1）：由a/b可確定平面，再證AB，AC； 思路（2）：由a/b可確定平面，由直線AB，AC可確定平面。因?yàn)?，都?jīng)過(guò)不共線的

2、三點(diǎn)A、B、C，所以，重合。 思路（3）：在思路（2）中的平面，還可以由不共線的A，B，C三點(diǎn)來(lái)構(gòu)造，或者由點(diǎn)A與直線b來(lái)構(gòu)造。 另外，同學(xué)們?cè)跁?shū)寫(xiě)證明過(guò)程的時(shí)候，一定要把公理及推論的題設(shè)交待清楚，建議同學(xué)們書(shū)寫(xiě)時(shí)注明理由，如下所示： 寫(xiě)法（一）： 證明： a/b（已知） a,b確定一個(gè)平面（推論3） Aa, bb, cb（已知） A，B，C 直線AB，直線AC（公理1） a,b,AB,AC共面。 寫(xiě)法（二）： 證明： a/b（知） a,b確定一個(gè)平面（推3） A，Bb, Cb（已知） a經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)， ABAC=A 直線AB，AC確定一個(gè)平面（推論2） 經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)， Aa,Bb

3、, Cb, a/b（已知） A，B，C不共線 與重合（公理3） a, b，AB，AC共面。 關(guān)于同一法證題的思路，請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏匆坏览}。 例2如果三條互相平行的直線和同一條直線相交，求證：這四條直線共面。 分析：這是一個(gè)文字命題，要求畫(huà)圖，寫(xiě)出已知，求證，然后進(jìn)行證明。另外，在寫(xiě)已知，求證時(shí)，要盡量忠實(shí)原文的意思。 已知：a/b/c, ad=A ，bd=B ，cd=C 求證：a,b,c,d共面。 分析 由a/b可確定一個(gè)平面；由b/c可確定一個(gè)平面。因?yàn)?，都?jīng)過(guò)兩條相交的直線b和d,所以由推論2可知，與重合。（注意：和都經(jīng)過(guò)的元素，還可有其它的選取辦法，請(qǐng)同學(xué)們自己試一試）。 證明： a/b（

4、已知） a,b確定一個(gè)平面（推論3） b/c（已知） b,c確定一個(gè)平面（推論3） Aa,Bb, A, B, 直線AB即d（公理1） 同理可證：d, ，都經(jīng)過(guò)b和d， bd=B 與重合（推論2）。 三、證明三線共點(diǎn)，三點(diǎn)共線的方法 1三線共點(diǎn)：證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上； 2三點(diǎn)共線：證三點(diǎn)都是兩平面的公共點(diǎn)。 例3：已知如圖，=l, a, b, ab=A. 求證：Al（或者a,b,l共點(diǎn)） 分析：只需證明A為，的公共點(diǎn)。 證明： ab=A, a, b, Aa, Ab, 即A為，的一個(gè)公共點(diǎn)， l是和的交線， Al. 例4 ：如圖，已知延長(zhǎng)ABC三邊，AB=D，BC=E，AC=F。 求

5、證：D，E，F(xiàn)共線。 證明： ABC頂點(diǎn)不共線， A，B，C可確定平面, D且DAB, D是，的公共點(diǎn)。 同理可證：E，F(xiàn)也是，的公共點(diǎn)， D，E，F(xiàn)都在，支線上，即D，E，F(xiàn)共線。 典型例題 一求證兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi). 已知:直線AB、BC、CA兩兩相交,交點(diǎn)分別為A、B、C。 求證:直線AB、BC、CA共面。 證明: 直線AB和AC相交于點(diǎn)A, 直線AB和AC確定一個(gè)平面(推論2). BAB,CAC, BC(公理1). 因此直線AB、BC、CA都在平面內(nèi),即它們共面. 說(shuō)明:證明幾條直線共面,就是要找到一個(gè)平面,使得它們都在這個(gè)平面內(nèi),關(guān)鍵是如何找到這個(gè)平面。也就

6、是如何確定這個(gè)平面。(由公理3及它的三個(gè)推論我們知道確定平面有四種方法).當(dāng)平面確定以后,再證明都在這個(gè)平面內(nèi),即完成了這個(gè)證明. 二.證明:如果一條直線和三條平行直線都相交,那么這四條直線在同一平面內(nèi). 已知:直線a、b、c、l,abc,la=A,lb=B, lc=C. 求證:a、b、c、l共面。 證明: ab. a與b確定一個(gè)平面(推論3). la=A,lb=B, A,B, 直線AB,即l. 也就是a、b、l共面于。 同法可證明b、c、l共面于. 這就是說(shuō)b、l既在平面內(nèi)又在平面內(nèi). 而lb=B. 由公理3的推論2可知,是同一個(gè)平面. a、b、c、l在同一平面內(nèi). 說(shuō)明:當(dāng)確定一個(gè)平面后,

7、說(shuō)明其余直線也在這個(gè)平面內(nèi)發(fā)生困難后,往往可采用“間接法”證明.本題采用了“同一法”,也可采用“反證法”來(lái)證明. 三已知:延長(zhǎng)ABC三邊.AB=P,BC=Q,AC=R. 求證:P、Q、R共線。 證明: ABC三頂點(diǎn)為不共線的三點(diǎn). A、B、C三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面. PAB,AB, P. 又 AB=P,即P。 P=l. 同理可證Ql, Rl,即P、Q、R共線。 說(shuō)明:在空間幾何中,證明幾點(diǎn)共線.往往要用到公理2. 四.證明:三個(gè)平面兩兩相交得到三條直線. (1)如果其中兩條直線交于一點(diǎn),那么第三條直線也過(guò)這點(diǎn). (2)如果其中兩條直線平行.那么第三條直線也和它們平行. 已知: =a,=b,=c。

8、 (1)若ab=0,求證:0c. (2)若ab,求證:ac, bc。 證明:(1) =a,=b,ab=0。 0，0。 而=c. 0c(公理2)。 (2) =a,=c， a,c,即a、c共面于。 a或c成平行或相交. 假設(shè)ac=P,則由(1)的結(jié)論可知Pb. 即ab=P,這與ab矛盾, 假設(shè)不成立，故ac, 同理可知 bc。 說(shuō)明:本題的結(jié)論是對(duì)三個(gè)平面兩兩相交,交線的位置關(guān)系的判定,它對(duì)今后的畫(huà)圖有著很重要的作用.應(yīng)給予重視. 習(xí)題： 1 a,b,c交于同一點(diǎn)O，直線d與a,b,c分別交于A，B，C三點(diǎn)。 求證：a,b,c,d共面。 2已知：平面， =a, =b, =c,且a/b=M。 求證：

9、a,b,c三線共點(diǎn)。 3.已知:=l, a,b,ab=A. 求證:Al. 4.如圖:=l,A,B,c.試在內(nèi)找一點(diǎn)D.使A、B、C、D四點(diǎn)為一梯形的四個(gè)頂點(diǎn),這樣的點(diǎn)D共有幾個(gè)？ 1（提示：由a與d相交可知，a,d確定一個(gè)平面 ，再證：b,c在內(nèi)） 2 提示：由于a,b的交點(diǎn)已經(jīng)存在，所以只需證M點(diǎn)在C上即可。要證M在C上， 由于C是 ，的交線，所以只需證M同在，內(nèi) 3.證明: ab=A,a,b. A且A, 又 =l, Al. 4.分析:因?yàn)樘菪问瞧矫鎴D形,所以D在A、B、C三點(diǎn)確定的平面內(nèi),但D又在內(nèi),所以D在平面與的交線上,因?yàn)榕c的交線AB與l交于點(diǎn)P,易知與的交線也過(guò)P點(diǎn),連CP, 則D

10、在直線CP上。連BC,在平面內(nèi)過(guò)A作ADBC交CP于D.連AC,在平面內(nèi)過(guò)B作BDAC交CP于D,D與D即為所求.這樣的點(diǎn)只有兩個(gè)。 在線測(cè)試窗體頂端選擇題1 A, B, C為空間三點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)（ ） A能確定一個(gè)平面 B能確定無(wú)數(shù)個(gè)平面 C能確定一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)平面 D能確定一個(gè)平面或不能確定平面 窗體底端窗體頂端2空間交于一點(diǎn)的四條直線最多可以確定平面（ ） A4個(gè)B5個(gè)C6個(gè)D7個(gè) 窗體底端窗體頂端3空間不共線四個(gè)點(diǎn) A, B, C, D, 在同一平面內(nèi)的射影A', B', C', D'在同一條直線上，那么A, B, C, D可確定平面?zhèn)€數(shù)為（ ） A1個(gè)B

11、2個(gè)C3個(gè)D4個(gè) 窗體底端窗體頂端4四個(gè)平面互不平行，也不重合，則它們交線的數(shù)目不能是（ ） A6B4C2D1 窗體底端窗體頂端5過(guò)直線l外兩點(diǎn)作與直線l平行的平面，可以作（ ） A0個(gè)B1個(gè)C無(wú)數(shù)個(gè)D0個(gè)，1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè) 窗體底端窗體頂端6空間四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面？ A 1個(gè)B 4個(gè)C無(wú)數(shù)個(gè)D以上情況都可能 窗體底端窗體頂端7三條直線兩兩相交，最多可以確定幾個(gè)平面？ A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè) 窗體底端窗體頂端8三條直線兩兩平行，最多可以確定幾個(gè)平面？ A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 1個(gè)或3個(gè) 窗體底端窗體頂端9下列幾種說(shuō)法中，正確的是： A空間的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 B四邊形一定是平面圖形

12、 C六邊形一定是平面圖形 D梯形一定是平面圖形窗體底端答案與解析 解析：1如果這三點(diǎn)不在一條直線，則可以確定一個(gè)平面；如果這三點(diǎn)在一條直線上，則不能確定平面。故本題應(yīng)選（D）。 2確定最多平面的情況應(yīng)是每?jī)蓷l直線所確定的平面都不重合，這樣若把四條直線依次編號(hào)，則相鄰兩號(hào)碼（1與4也看成相鄰）共確定4個(gè)平面，而相對(duì)兩號(hào)碼共確定2個(gè)平面，最多時(shí)能確定6個(gè)平面。故本題應(yīng)選（C）。 3四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)的射影若在一條直線上，則這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，故這四個(gè)點(diǎn)所確定的平面是一個(gè)。故本題應(yīng)選（A）。 4若四個(gè)平面交于一條直線，則交線有一條，若四個(gè)平面中每三個(gè)平面共點(diǎn)，則共有交線C=6條。若四個(gè)平面交于一點(diǎn)

13、，但無(wú)公共交線，則共有交線四條，所以不可能有2條交線。故本題應(yīng)選（C）。 5.若兩點(diǎn)連線與l相交，則可以作O個(gè)；若兩點(diǎn)連線與l平行，則可以作無(wú)數(shù)個(gè)；若兩點(diǎn)連線與l異面，則可以作1個(gè)。故本題應(yīng)選（D）。6.四點(diǎn)若在同一直線上，經(jīng)過(guò)這四點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)多個(gè)平面；四點(diǎn)若在同一平面內(nèi)，不論是否有三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，都只能確定一個(gè)平面；不在同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)可以確定四個(gè)平面，因此四個(gè)點(diǎn)確定平面的個(gè)數(shù)可能是1個(gè)、4個(gè)或無(wú)數(shù)多個(gè),故本題應(yīng)選（D）。 7.三條直線兩兩相交，若共點(diǎn)且在同一平面內(nèi)，只能確定一個(gè)平面；若共點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，能確定三個(gè)平面。若不共點(diǎn)，兩兩相交有三個(gè)公共點(diǎn)，只能確定一個(gè)平面。故最多可以確定

14、三個(gè)平面，故本題應(yīng)選（C）。 8.三條直線兩兩平行，如果一條直線在其他兩平行直線確定的平面內(nèi)，這三條直線只能確定一個(gè)平面；如果三條平等線不在同一平面內(nèi)，則可以確定三個(gè)平面，故最多可以確定三個(gè)平面,故本題應(yīng)選（C）。 9.若三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，則可以有無(wú)數(shù)個(gè)平面，所以（A）不對(duì)。四邊形、六邊形不一定是平面圖形，所以（B）、（C）不對(duì),故本題應(yīng)選（D）。 事實(shí)上，由于梯形的一組對(duì)邊互相平行，所以確定一個(gè)平面，于是得四個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，從而推知梯形的兩腰也在這個(gè)平面內(nèi)，即梯形是一個(gè)平面圖形。 評(píng)注：從上述的分析和解答中可以看出，由已知條件找出確定平面的個(gè)數(shù)問(wèn)題，其依據(jù)是確定平面的條件。分析問(wèn)題時(shí)，

15、首先要在空間中考慮問(wèn)題，并全面考慮所有可能出現(xiàn)的情況。平面的基本性質(zhì) 平面的概念：是一個(gè)不加定義的基本概念，對(duì)于平面概念的理解主要應(yīng)注意兩個(gè)基本特征，即很平和可以無(wú)限延展。平面通常用一個(gè)平行四邊形來(lái)表示，畫(huà)兩相交平面時(shí)，一定要畫(huà)出它們的交線，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，要把被遮住的部分的線段畫(huà)成虛線或不畫(huà)，以增強(qiáng)立體感。 平面的基本性質(zhì)： 1.如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 該性質(zhì)是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)，用集合符號(hào)表示為： l。 依據(jù)直線在平面內(nèi)，可以判斷點(diǎn)在平面內(nèi)，即Al, lA. 2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這

16、個(gè)點(diǎn)的公共直線。 該性質(zhì)是判定兩平面有交線以及確定交線位置的依據(jù)，用集合符號(hào)表示為： A，A=且A。 由此易知，如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面相交于由這兩點(diǎn)確定的一條直線，即 =AB。 依據(jù)兩平面相交的意義，可以判斷點(diǎn)在直線上，即A，A，=A。 3經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 4經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 5經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。 6經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。 上述四個(gè)性質(zhì)是確定一個(gè)平面的依據(jù)，確定平面是建立空間圖形的基礎(chǔ)，確定平面的條件對(duì)解題時(shí)引入輔助平面及作幾何體的截面起著重要作用。 重點(diǎn)問(wèn)題剖析 如果直線上所有的點(diǎn)

17、都在某一個(gè)平面內(nèi)，那么就稱這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，其判斷的依據(jù)是只要直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，這條直線上所有的點(diǎn)就都在這個(gè)平面內(nèi)，從而這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)。這是性質(zhì)1給出的平面的一個(gè)基本性質(zhì)。 利用性質(zhì)2可以判定兩個(gè)平面是否相交或證明若干個(gè)點(diǎn)共線，其他性質(zhì)用于確定平面。確定平面是將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題來(lái)解決的重要條件。 準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)中的字母和符號(hào)，可以使命題的敘述和證明顯得簡(jiǎn)捷明快，符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言間的相互轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)能力的組成部分和重要體現(xiàn)。另外還要理解用反證法證明命題的思路，并會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單命題。 典型例題 例題一：不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交，求證這四條直線在同

18、一平面內(nèi)。 分析 不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交 ，是指這四條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，但其中每?jī)蓷l直線都有一個(gè)交點(diǎn)，可分兩種情況來(lái)考慮。第一種情況，有三條直線共點(diǎn)，第二種情況沒(méi)有任何三條直線共點(diǎn)，證明這四條直線在同一平面內(nèi)，應(yīng)根據(jù)已知條件先確定一個(gè)平面，然后證明所有四條直線都在這個(gè)確定平面內(nèi)，文字?jǐn)⑹龅拿}應(yīng)先寫(xiě)出已知和求證。 已知 直線a、b、c、d不共點(diǎn)，且兩兩相交，求證：a、b、c、d在同一平面內(nèi)。 證明：第一種情況： a、b、c、d中有三條共點(diǎn)的情況，設(shè)直線a、b、c相交于一點(diǎn)Q, Q不在d上，直線d與直線a、b、c分別相交于M、N、P，如圖1. Qd, 點(diǎn)Q與直線d確定一個(gè)平面a. Md, M,

19、又 Q, a. 同理可證b, c. a、b、c、d在同一平面內(nèi)。 第二種情況： a、b、c、d中沒(méi)有三條直線共點(diǎn)的情況。 設(shè)直線c與直線a、b分別交于M、N，如圖2 a、b是相交直線。 a、b確定一個(gè)平面a. Ma, Nb, M, N, Mc, Nc, c . 同理可證d, a、b、c、d在同一平面內(nèi)。 注意 證明幾條直線在同一平面內(nèi)，應(yīng)先由已知的直線或點(diǎn)，根據(jù)確定平面的條件確定一個(gè)平面，再由公理1證明其余直線都在所確定的平面內(nèi)。 例題二：已知直線a/b，直線a與平面相交于點(diǎn)A，求證b與平面必有一個(gè)公共點(diǎn)。 分析 利用a/b，巧妙地構(gòu)造輔助平面b，把有關(guān)元素集中使用，不僅創(chuàng)造了新的線面關(guān)系，而

20、且將三維降至二維，使得平面幾何知識(shí)有了用武之地。 證明 a/b, 可設(shè)直線a、b確定一個(gè)平面. 又 a=A且a， A，由公理2知，c, 即有a、b、c， 在平面內(nèi)， a/b, ac=A, b與c必相交于一點(diǎn)，設(shè)為B（平面幾何知識(shí)的應(yīng)用），又 c， B, b與有一個(gè)公共點(diǎn)B。 例題三：已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面體，G是三角形A1BD的重心，求證：A、G、G1三點(diǎn)共線。 分析：要證三點(diǎn)共線，只要證明G在AC1上，進(jìn)一步證明平行六面體對(duì)角線AC1與三角形一條中線的交點(diǎn)就是重心即可。 證明：連AC交BD于O，則O為BD的中點(diǎn)，重心G必在A1O上，在平行六面體的對(duì)角面AA1C1C中，A1O

21、與AC1必相交，設(shè)交點(diǎn)為G'，如圖1-11，由于對(duì)角面AA1C1C是平行四邊形，故可證得：AG'OA1G'G1，且有 ，即. G'與G重合，故A、G、C1三點(diǎn)共線。 注意在證明若干點(diǎn)共線的時(shí)候，一般方法有： 根據(jù)平面的基本性質(zhì)作出輔助平面，并找出輔助平面與已知平面的交線，然后再判定這些點(diǎn)在交線上。 第三點(diǎn)在前兩點(diǎn)所確定的直線上。 例題四： 平行六面體AC'中，ACBD=M, DB'截面AD'C=N.求證：M、N、D'三點(diǎn)在同一條直線上。 分析 分別證M、N、D'是截面ACD和截面BD'的公共點(diǎn)。 證明 ACBD=M

22、, AC截面ACD'，BD截面BD'， M是截面AD'C=N， N截面AD'C，又 DB'截面BD'， N截面BD'，N是兩截面的公共點(diǎn)， 又 D'也是截面ACD'和截面BD'的公共點(diǎn)， M、N、D'三點(diǎn)在截面ACD'和截面BD'的交線D'M上。 因此，M、N、D'三點(diǎn)在同一條直線上。 例題五：已知在四面體ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H、M、N分別為AB、BC、CD、DA、AC、BD的中點(diǎn)。 求證：EG、FH、MN三線共點(diǎn)。 分析本題先證EFGH是平行四邊形，故EG與HF的交點(diǎn)

23、為O，最后證MN也過(guò)O點(diǎn)。 連結(jié)EF、FG、GH、HE。 EHBD. 同理FGBD. EHFG. 故EFGH是平行四邊形，設(shè)EG與FH相交于O。所以EG經(jīng)過(guò)HF的中點(diǎn)O。 連結(jié)MF、FN、NH、HM。同理：MN經(jīng)過(guò)FH的中點(diǎn)O。故EG、FH、MN相交于一點(diǎn)O。 課外練習(xí) 判斷題答案正確的在括號(hào)內(nèi)打“”，不正確的在括號(hào)內(nèi)打“×”號(hào)。 （1）兩條直線確定一個(gè)平面。（ ） （2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的三條直線可以確定一個(gè)平面。（ ） （3）點(diǎn)A在平面內(nèi)，也在直線上，則直線在平面內(nèi)。（ ） （4）平面和平面相交于不同在一條直線上的三個(gè)點(diǎn) A、B、C。（ ） （5）兩兩相交的三條直線不共面。 分析與解答：

24、 （1）兩條直線能否確定平面，應(yīng)看這兩條直線的位置，不給出位置關(guān)系要分情況討論后，得出結(jié)論。 兩條相交直線可確定一個(gè)平面，兩條平行直線可確定一個(gè)平面，除此之外的任何兩條直線 ,不能確定平面。所以，“兩條直線確定一個(gè)平面”這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)當(dāng)畫(huà)“×”號(hào)。 （2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面，三條直線不能確定平面，應(yīng)畫(huà)“×”號(hào)。 （3）根據(jù)命題的條件，直線上只有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，而根據(jù)公理1，直線上必須有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，直線才能在平面內(nèi)，這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)畫(huà)“×”號(hào)。 （4）平面和平面的公共點(diǎn)一定在一條直線上，所以，平面和平面相交于不同在一直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C是錯(cuò)

25、的，應(yīng)畫(huà)“×”號(hào)。 （5）三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時(shí)這三條直線必共面，應(yīng)畫(huà)“×”號(hào)。高考題萃 例1用集合符號(hào)看圖填空： （1）如圖1-1，A_m, A_a, B_l, B_a, l_a, m_a=_. （2）如圖1-2，A_a, A_b, A_l, a_b=_, AB_b=_. 分析：本例是圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言間的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題，認(rèn)真觀察圖形，用準(zhǔn)確的符號(hào)表示其意義。 解：（1）Am, Aa, Bl, Ba, la, ma=B. （2）Aa, Ab, Al, ab=l, ABb=B. 評(píng)注：用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表示圖形的實(shí)際意義是邏輯推理的基礎(chǔ)，同時(shí)它可以使推理過(guò)程十分簡(jiǎn)捷。 例2

26、判斷題（正確在括號(hào)內(nèi)打“”號(hào)，不正確的在括號(hào)內(nèi)打“×”號(hào)） （1）兩條直線確定一個(gè)平面。（ ） （2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的三條直線可以確定一個(gè)平面。（ ） （3）點(diǎn)A在平面a內(nèi)，也在直線l上，則直線l在平面a內(nèi)。（ ） （4）平面a和平面b相交于不同在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C。（ ） （5）三條直線兩兩相交則不共面。（ ） （6）任何三個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上的四點(diǎn)必不共面。（ ） 分析與解答： （1）應(yīng)對(duì)兩條直線的位置關(guān)系進(jìn)行討論。當(dāng)兩條直線相交或平行時(shí)可確定一個(gè)平面，除此之外的任何兩條直線不能確定平面。所以，“兩條直線確定一個(gè)平面”這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)打“×”號(hào)。 （2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的

27、兩條直線確定一個(gè)平面，三條直線不能確定平面，應(yīng)打“×”號(hào)。 （3）由公理1知，一條直線上必須具備有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線才能在這個(gè)平面內(nèi)，而命題的條件是直線a上只有一個(gè)點(diǎn)在平面a內(nèi)，所以這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)打“×”號(hào)。 （4）若平面a和平面b相交，則其公共點(diǎn)一定在一條直線上，所以，平面a和平面b相交于不同在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C是錯(cuò)的，應(yīng)打“×”號(hào)。 （5）三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時(shí)這三條直線必共面，應(yīng)打“×”號(hào)。 （6）如矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，沒(méi)有任何三點(diǎn)在一條直線上，但四個(gè)頂點(diǎn)是共面的，故應(yīng)打“×”號(hào)。 評(píng)注：平面的基本性質(zhì)是學(xué)習(xí)

28、立體幾何的基礎(chǔ)，必須準(zhǔn)確地掌握這些性質(zhì)的條件和結(jié)論，并能靈活運(yùn)用性質(zhì)分析解答有關(guān)問(wèn)題。 例3已知直線a/b/c，直線d和直線a、b、c分別相于點(diǎn)A、B、C（如圖），求證： 四條直線a、b、c、d共面。 分析：要證明a/b, a,b確定一個(gè)平面，記為a, Aa, Bb, Aa, Ba, 又 Ad, Bd, da, Cd, Ca, 且Ca, 平面a也是直線a和點(diǎn)C確定的平面 Cc且c/a, ca, 故直線a、b、c、d都在同一個(gè)平面a內(nèi)，即四條直線a、b、c、d共面。 評(píng)注：通過(guò)上述的證明，可以把命題推廣為：與同一條直線相交的所有平行線都在同一個(gè)平面內(nèi)。 例4已知空間四點(diǎn)A、B、C、D不在同一個(gè)平

29、面內(nèi)，求證：直線AB和直線CD既不相交也不平行。 分析：要證明直線AB和直線CD既不相交也不平行，可借助于反證法，利用公理3的推論2、3來(lái)證明出矛盾即可。 證明：（反證法） 假設(shè)直線AB和直線CD相交或平行，由公理3的推論2和推論3知，這兩條直線確定一個(gè)平面。 設(shè)這個(gè)平面為a，于是得ABa，CDa。 由公理1知Aa，Ba，Ca，Da，即四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D同在平面a內(nèi)，這與已知矛盾。 從而假設(shè)不成立，故AB和CD既不相交也不平行。 評(píng)注：在利用反證法證明問(wèn)題時(shí)，要注意原結(jié)論相反的方面是只有一種情況還是有若干情況。如果只有一種情形，那么只需就這種情形導(dǎo)出矛盾；如果有若干情形，那么必須針對(duì)每一種情

30、形分別去導(dǎo)出矛盾。由此可知，若命題結(jié)論的反面情形多于兩種時(shí)，用反證法就不適宜了。 例5已知空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，并且EFGH是平面圖形，試判斷EH和FG相交的交點(diǎn)位置。 分析：由已知條件EFGH是平面圖形且EH和FG相交，依據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷交點(diǎn)的位置。 解： ABCD是空間四邊形， A、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上，可以確定一個(gè)平面ABD 同理，B、C、D三點(diǎn)也可以確定平面BCD B、D是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)， 平面ABD和平面BCD相交于過(guò)B、D的一條直線， 即直線BD 由于EH和FG相交，設(shè)交點(diǎn)為P。 E、H兩點(diǎn)分別在AB、DA上，

31、EH在平面ABD內(nèi) 交點(diǎn)P也在平面ABD內(nèi)， 同理，交點(diǎn)P也在平面BCD內(nèi)，即交點(diǎn)P是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)， 點(diǎn)P在BD上。 評(píng)注：在上述解答過(guò)程中，利用了平面的基本性質(zhì)。由公理2，兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)都在同一條相交直線上，由公理1，分別在這兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條相交直線的交點(diǎn)必是兩平面的公共點(diǎn)。因此，分別在兩相交平面內(nèi)的兩相交直線的交點(diǎn)必在兩平面的交線上，同時(shí)解答中要特別注意平面的無(wú)限延展性。課內(nèi)拓展 題目一：三個(gè)正方形兩兩垂直，求過(guò)這三個(gè)正方形的中心的平面與三個(gè)正方形的交線。 分析1 連O1O2，由于O1、O2皆為正方形的中心，兩個(gè)正方形又都垂直于面DF，所以可猜想O1O2/平面D

32、F。為了證明這個(gè)猜想，以便進(jìn)一步分析，不妨在平面AC內(nèi)作O1MDC，則O1M=CB, O1M平面DF。同樣，可作出O2M=CB, O2N平面DF。于是得到矩形O1O2NM.進(jìn)而得O1O2/MN，又能推出O1O2/平面DF。根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理知，過(guò)O1、O2、O3的平面與平面DF的交線過(guò)O3且與O1O2平行，這樣的直線只能是DF，其它兩條顯然是BD、BF。 分析2 許多人在解此題時(shí)，未必作過(guò)前面所做的詳細(xì)分析。人的思維是很“怪”的，在許多情況下，直覺(jué)將幫我們很大的忙，就以本題而言，當(dāng)人們看到已知的是這樣三個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)，就很容易產(chǎn)生一個(gè)念頭：另外三個(gè)點(diǎn)也可能是特殊點(diǎn)。而圖中正好就有與O1、

33、O2、O3關(guān)系比較近的三個(gè)點(diǎn)B、D、F。對(duì)于平面幾何知識(shí)較熟的人來(lái)說(shuō)，自然會(huì)正確地把它們連起來(lái)，從而得到解法。 分析3 前兩種分析，本質(zhì)上是一樣的：都是在面DF內(nèi)找到一條交線，一下子便把問(wèn)題解決了。所以不同的是，一個(gè)通過(guò)分析，一個(gè)通過(guò)“猜測(cè)”?，F(xiàn)在我們給自己提出任務(wù)：用其它方法試著在某個(gè)面內(nèi)再找一個(gè)除中心外的公共點(diǎn)。 假定我們想在面BF上找另一個(gè)公共點(diǎn)，這并不難，只要在O1O2上任取一點(diǎn)S（除O2），過(guò)O3S的直線與平面BF的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)。這種想法很好，但實(shí)際難以操作。主要是因?yàn)镾是任取的點(diǎn)，所以無(wú)法確定直線O3S與平面BF交點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。要解決這個(gè)問(wèn)題，關(guān)鍵在要在O1O2上找一個(gè)特殊的S點(diǎn)。可以考慮，將O1O2的