留數(shù)定理與幾類積分的計(jì)算

1、留數(shù)定理與幾類積分的計(jì)算中文摘要本文主要總結(jié)幾類可用留數(shù)定理計(jì)算的積分的特征并給出對(duì)應(yīng)的用留數(shù)定理算積分的步驟以及可行性說明。其中類型3是對(duì)文獻(xiàn)1中給出的結(jié)論的推廣，類型3中的引理2是筆者對(duì)文獻(xiàn)1的一道習(xí)題的推廣并給出了證明。接著筆者補(bǔ)充了參考文獻(xiàn)2中多值函數(shù)積分部分4個(gè)引理的證明并給出相應(yīng)的應(yīng)用例子，類型7筆者根據(jù)個(gè)人理解將分成瑕積分和黎曼積分兩類給出計(jì)算方法。 關(guān)鍵詞：留數(shù)定理，積分計(jì)算，單值函數(shù)，多值函數(shù) 正文（一）單值函數(shù)類型1：形如的實(shí)積分，其中是有理函數(shù)，并且在圓周上分母不為零。解決技巧：令，將實(shí)積分轉(zhuǎn)化為單位圓周上的復(fù)積分。由可得：其中，是在單位圓周內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)，在單位閉圓盤

2、除去外的其他點(diǎn)都解析。例子：類型2：形如的實(shí)反常積分，其中是有理函數(shù)，在實(shí)軸上分母不為零，并且分母的次數(shù)至少比分子次數(shù)高2。計(jì)算公式為（其中為R(z)在上半平面的所有孤立奇點(diǎn)，R(z）在上半平面除去這些點(diǎn)外的其他點(diǎn)解析）解決技巧：圍道積分法。添加圓弧將實(shí)反常積分轉(zhuǎn)化到計(jì)算留數(shù)和半徑趨向于無窮的圓弧積分，其中取逆時(shí)針方向。如圖所示：圖1可行性分析：由留數(shù)定理可得當(dāng)時(shí)，有于是只要圓弧積分在半徑趨于無窮時(shí)存在極限則可以算出原反常積分。要求分母的次數(shù)至少比分子次數(shù)高2可使得半徑趨向于無窮的圓弧積分為零。證明：，由于分母次數(shù)至少比分子次數(shù)高2，因而必有，證得。令可得例子：類型3：形如的積分，其中在上可能

3、有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外，在其余點(diǎn)解析，而且，在實(shí)軸上的孤立奇點(diǎn)只能是可去奇點(diǎn)或者一階極點(diǎn)。 從對(duì)于類型2的可行性分析可知留數(shù)定理計(jì)算反常積分的可行性關(guān)鍵在于圓弧積分當(dāng)半徑趨于無窮時(shí)的極限好算，最好是為零。為了用留數(shù)定理解決類型3的積分需用Jordan引理。引理1（Jordan引理）:若函數(shù)在上連續(xù)，且，則對(duì)任意正的常數(shù)，都有，其中 用此引理可知滿足引理要求的與的乘積做被積函數(shù)的圓弧積分當(dāng)半徑趨于無窮時(shí)極限為零，可用留數(shù)定理計(jì)算反常積分。類型3.1形如的積分，其中在上半平面上可能有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外,分母在實(shí)軸上沒有零點(diǎn)，在其余點(diǎn)解析，而且解決技巧：圍道積分法。與類型2的解決技巧相同。計(jì)算公式及推導(dǎo)：

4、若在上半平面除去等所有孤立奇點(diǎn)外連續(xù)，在連續(xù)，且，則可得，分離實(shí)部和虛部可得：例子：類型3要求分母在實(shí)軸上不為零，此時(shí)我們會(huì)提出疑問如果被積函數(shù)在實(shí)軸上有有限個(gè)點(diǎn)使得分母為零，此時(shí)能否使用留數(shù)定理？為簡單起見，只討論這些實(shí)值均是f(x)的一階極點(diǎn)的情況。解決技巧：采用選取合適的積分閉路繞過奇點(diǎn)。如圖2所示： 圖2可行性分析：由留數(shù)定理可得：由此式我們可知計(jì)算關(guān)鍵在于小圓弧積分當(dāng)r趨于零時(shí)是否容易求極限。直觀判斷：時(shí)，可用替代，近似于。由于z=0只是一階極點(diǎn)，可存在，用其替代分子的位置。猜想，證明兩者相等的方法是作差，然后對(duì)作差結(jié)果的模進(jìn)行合適放大來說明模必定為零。文獻(xiàn)2對(duì)以上猜想的一般化是下面

5、的引理2，此處略去證明。引理2：函數(shù)在區(qū)域D：上連續(xù)，且則（）含實(shí)值一階極點(diǎn)的類型3積分計(jì)算公式：其中是在實(shí)軸上的所有一階極點(diǎn)且除此之外無其他奇點(diǎn)。證明：不妨設(shè)在實(shí)軸上只有兩個(gè)一階極點(diǎn)，取積分閉路,其中分別以為中心，以r為半徑的半圓周，取順時(shí)針方向。（r足夠小，保證兩半圓周無交）由留數(shù)定理可得：+由Jordan引理得，由引理2得=令可得=最后用歸納法可證得f(z)有個(gè)實(shí)值一階奇點(diǎn)時(shí)成立。例子：（二）多值函數(shù)類型4：形如的反常積分，在上除去外解析，這些點(diǎn)均不在包括原點(diǎn)的正實(shí)軸上，是的m階零點(diǎn)（）解決技巧：做積分閉路C(R,r)如圖3所示： 圖3可行性分析：利用多值函數(shù)在正實(shí)軸下沿是上沿的取值乘上

6、一個(gè)不為1的常數(shù)，用留數(shù)定理可得,將轉(zhuǎn)換到大圓弧積分，小圓弧積分和留數(shù)的計(jì)算。引理3：若單值函數(shù)在上除去外解析，這些點(diǎn)均不在包括原點(diǎn)的正實(shí)軸上，是f(z)的m階零點(diǎn)（）則有（在正實(shí)軸上取實(shí)值的一個(gè)單值解析分支內(nèi)算留數(shù)）證明：考慮多值函數(shù)。在復(fù)平面上取正實(shí)軸作為割線，得一區(qū)域，再去掉后得到的區(qū)域D內(nèi)可以分解成單值解析分支。取在割線上沿取實(shí)值的分支，記為，做積分閉路如圖3所示，其中R足夠大，使得均在的內(nèi)區(qū)域。以原點(diǎn)為圓心，r為半徑。在實(shí)軸下沿，因?yàn)樵趯?shí)軸上沿要取實(shí)值，可取k=0。在下沿有。由留數(shù)定理可得先計(jì)算。,因?yàn)槭莊(z)的m零點(diǎn)（），故存在常數(shù)c,當(dāng)R足夠大時(shí)有,此時(shí)有;得再計(jì)算。由在z=0

7、處解析得存在使得在原點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)，故可得。由得。令可得：例子：類型5:形如的積分。若單值函數(shù)在上除去外解析，這些點(diǎn)均不在包括原點(diǎn)的正實(shí)軸上，此外是的m階零點(diǎn)，。解決技巧：所做的積分閉路與類型4一樣?？紤]多值函數(shù)，因?yàn)槲覀儫o法得到的等式，可以保證不被抵消而得到便于計(jì)算的等式。引理4：若函數(shù)滿足類型5的要求，則有證明：考慮多值函數(shù)，在復(fù)平面上取正實(shí)軸作為割線，得一區(qū)域，在這一區(qū)域除去后得的區(qū)域D內(nèi)可將分成解析函數(shù)分支。取在割線上沿取實(shí)值的分支，記為。做積分閉路如類型4，由留數(shù)定理可得在正實(shí)軸下沿，?？傻茫?。由是的階零點(diǎn)知:必定存在常數(shù)，當(dāng)R足夠大時(shí)，故可得。（）下面估算小圓弧積分。（），在原點(diǎn)解

8、析，由局部保號(hào)性知存在.由于可知令可得分離實(shí)部和虛部可得：例子：類型6：形如的反常積分，f(x)是x的偶函數(shù)，在上半平面除去外是解析的，在除去外連續(xù)，并且當(dāng)z的模充分大時(shí)，有是常數(shù)。解決技巧：做積分閉路如下圖所示。圖4引理5：若滿足類型6的要求，則有：證明：考慮多值函數(shù)，在復(fù)平面上取正實(shí)軸為割線，得一區(qū)域，去掉外得到的區(qū)域D內(nèi)可以分解成單值連續(xù)分支。取在割線上沿取實(shí)值的一支，記為.做積分閉路如圖4所示，由留數(shù)定理可得。由引理4的證明可以看出大圓周積分當(dāng)R趨于無窮時(shí)為零，小圓周積分當(dāng)r趨于0時(shí)為零，該分支中負(fù)半軸取值，于是可得。分離實(shí)部和虛部則得：例子：計(jì)算類型7：形如的黎曼積分。單值函數(shù)在實(shí)軸

9、上取實(shí)值在上除去外解析，且不在上，的分母至少比分子高3次。解決技巧：做積分閉路如下圖所示。分別是以原點(diǎn),z=1為圓心,r為半徑的圓周。圖5引理6：若f(z)滿足類型7的要求，則有：（為某一單值連續(xù)函數(shù)，該分支在割線上沿取實(shí)值）證明：考慮多值函數(shù)。由支點(diǎn)的定義可知均是h(z)的支點(diǎn)，無窮原點(diǎn)不是支點(diǎn)。取線段作為割線，可得一區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)再除去后得到區(qū)域D，在D內(nèi)可把h(z)分解成單值解析分支。取在割線上沿取實(shí)值的一支，記為，在下沿，根據(jù)幅角的變化可得?？傻?R,f(z)的分母至少比分子高3次，可知存在常數(shù)當(dāng)R足夠大時(shí)，于是可得.仿照引理5也易得。取極限可得證得例子：類型8：形如的瑕積分，若單值

10、函數(shù)在實(shí)軸上取實(shí)值，在上除去外解析，且不在上，是的可去奇點(diǎn)。解決技巧：作積分閉路C(R,r)如下圖所示，其中均在的外區(qū)域，在的內(nèi)區(qū)域。圖6引理7：若滿足類型8的要求，則有：證明：作積分閉路如圖6所示，考慮多值函數(shù)。由支點(diǎn)的定義知只有均是h(z)的支點(diǎn)，取線段作為割線，可得區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)再除去后得到區(qū)域D，在D內(nèi)可把h(z)分解成單值解析分支。取在割線上沿取正值的一支，記為，在下沿由幅角的變化知；由，的定義以及多連通區(qū)域Cauchy積分定理可知有： 再由無窮原點(diǎn)的留數(shù)的定義可得故因?yàn)榫谕?，所以由留?shù)定理可得： ，因?yàn)椋梢?可知。由易得。令可得：例子：總結(jié)：對(duì)于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)

11、或者很難求解出原函數(shù)的積分，數(shù)學(xué)分析往往采用含參變量積分的技巧處理，然而這種處理技巧一般比較復(fù)雜。用留數(shù)定理求解積分簡便巧妙，把積分轉(zhuǎn)化到解析函數(shù)在某些孤立奇點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算，降低運(yùn)算量。本文通過將具體的習(xí)題結(jié)論抽象成一般性的結(jié)論，加以證明并給出相應(yīng)的計(jì)算公式，一方面可以揭示留數(shù)定理解決類型1類型8積分的原理，一方面當(dāng)遇到這八類積分時(shí)可以省下很多工作量，因?yàn)橹灰?jì)算相應(yīng)的留數(shù)然后代入對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式變得積分結(jié)果。用留數(shù)定理算積分，關(guān)鍵在于選取合適的輔助函數(shù)和積分閉路，將實(shí)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化到留數(shù)的計(jì)算還有添加的路線上的積分估計(jì)。留數(shù)定理解決積分計(jì)算的可行性取決于添加路線上的積分，由前面的證明可以看得出來。有些積分的輔助函數(shù)和積分閉路的選擇就不像本文提到的幾種類型規(guī)則，比如選取和扇形周線，選取和長方形周線。具體參見文獻(xiàn)4（248251）可見積分閉路具體選擇時(shí)形狀是多種多樣的。輔助函數(shù)和閉路選擇的原則是添加的路線上的積分容易估計(jì)并且不能將我們關(guān)心的積分抵消掉，最后