全面完整學(xué)習(xí)拉氏變換計(jì)算

1、2010-10-71五、拉氏變換和拉氏反變換拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)(t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正常數(shù)，使得 則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j(, 均為實(shí)數(shù))2010-10-72拉氏反變換 L-1為拉氏反變換的符號(hào)。稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f (t)稱為F(s) 的原函數(shù)；L為拉氏變換的變換符號(hào)。幾種典型函數(shù)的拉氏變換單位階躍函數(shù)1（t）2010-10-74指數(shù)函數(shù)f(t)=e-at (a為常數(shù))2010-10-75正弦函數(shù)和余弦函數(shù)由歐拉公式，有： 2010-10-76從而2010-10-77單位

2、脈沖函數(shù)（t）由洛必達(dá)法則：2010-10-78單位速度函數(shù)2010-10-79單位加速度函數(shù)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。2010-10-710拉氏變換的主要定理 在某些情況下，函數(shù)f(t)在t=0處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須確定拉氏變換的積分下限是0還是0，并記為：2010-10-711疊加定理 齊次性：Lf(t)=Lf(t),為常數(shù) 疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bf2(t) a,b為常數(shù)； 顯然，拉氏變換為線性變換。2010-10-712實(shí)微分定理證明：由于2010-10-713所以：同樣有： 式中，f(0),f”(0),為f

3、(t)的各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值2010-10-714 當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：2010-10-715復(fù)微分定理若Lf(t)=F(s),則除了F(s)的極點(diǎn)之外，有：2010-10-716積分定理當(dāng)初始條件為零時(shí)：2010-10-717證明：2010-10-718同樣當(dāng)初始條件為零時(shí)2010-10-719延遲定理設(shè)當(dāng)t0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意0，有：2010-10-720位移定理2010-10-721初值定理 初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。2010-10-722終值定理若sF(s)的所有極點(diǎn)位

4、于左半s平面，即：Limtf(t)存在。則：2010-10-723又由于 終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同2010-10-724卷積定理 其中，f(t)*g(t)表示f(t)和g(t)的卷積。 若tp=1 -12 0 25 126p=1 -12 0 25 1262010-10-749 用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項(xiàng)式,即：num=bo b1bm den=a0 a1 an MATLAB提供函數(shù)residue用于實(shí)現(xiàn)部分分式展開，其句法為： r,p,k=residue(num,den) 其中，r，p分別為展開后的留數(shù)及極點(diǎn)構(gòu)成的列向量、k為余項(xiàng)多項(xiàng)式行向

5、量。2010-10-750若無重極點(diǎn)，MATLAB展開后的一般形式為：若存在q重極點(diǎn)p(j)，展開式將包括下列各項(xiàng)2010-10-7512010-10-7522010-10-753應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閟的代數(shù)方程； 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變化表達(dá)式； 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。2010-10-7542010-10-755實(shí)例1設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi(t)=1(t),初始條件分為xo(0)，xo(0),試求xo(t)解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換：2010-10-7562010-10-757對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：從而2010-1

6、0-7582010-10-759所以：查拉氏反變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：2010-10-760實(shí)例22010-10-7612010-10-7622010-10-763P27 例2142010-10-764由上述實(shí)例可見：應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始條件已自動(dòng)包含在微分方程得拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可以得到微分方程的全解。如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。系統(tǒng)響應(yīng)可以分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)2010-10-765四、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的概念和定義傳遞函數(shù) 在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與

7、引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。 零初始條件： 在t0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零； 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也為零。2010-10-766傳遞函數(shù)的求解實(shí)例： 質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為： 按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2010-10-767R-L-C無源電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) 所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：2010-10-768幾點(diǎn)結(jié)論：傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其 參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系

8、統(tǒng)內(nèi)在的國有動(dòng)態(tài)特性。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部輸入輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。2010-10-769傳遞函數(shù)的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：2010-10-770特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 N(s)中s的最高次等于系統(tǒng)的階次。2010-10-771當(dāng)s=0時(shí)：G(0)=bm/an=K式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比

9、值。2010-10-772零點(diǎn)和極點(diǎn) 將G(s)寫成下面的形式： 式中，分子M(s)=0的根s=zi(i=1、2、 、 m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)； 分母N(s)=0的根s=pj(i=1、2、3、n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。 2010-10-773零、極點(diǎn)分布圖將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“”表示。2010-10-774傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量于輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于定常線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)是s的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；2010-10-775傳遞函數(shù)是零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡點(diǎn)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律；傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況；一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)。2010-10-776脈沖響應(yīng)函數(shù) 初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為： g