2.1級(jí)數(shù)概念正項(xiàng)級(jí)數(shù).ppt課件

1、第九章第九章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)202102169.1 9.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 一、無(wú)窮級(jí)數(shù)一、無(wú)窮級(jí)數(shù) 1nna無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)nnaaaS 21.;,lim否則稱發(fā)散否則稱發(fā)散稱級(jí)數(shù)收斂稱級(jí)數(shù)收斂若若SSnn 個(gè)個(gè)部部分分和和第第 n:例例.1| ,0時(shí)時(shí)收收斂斂只只有有等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) qqnn.1 ,1 ,10時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散時(shí)收斂時(shí)收斂當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn naaa21 級(jí)數(shù)收斂的必要條件：級(jí)數(shù)收斂的必要條件：.0lim1 nnnnaa 收收斂斂，則則若若 （反之不對(duì)）（反之不對(duì)）證明：證明：, ,lim1 nnnnnSSaSS存存在在設(shè)設(shè)等價(jià)敘述為：等價(jià)敘述為：.,

2、0lim1發(fā)發(fā)散散則則若若 nnnnaa. 0lim SSann故故:例例. 1sin ,)1(10發(fā)發(fā)散散 nnnnn二、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)：二、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)： 線性性質(zhì)：線性性質(zhì)：.,111也也收收斂斂則則都都收收斂斂設(shè)設(shè) nnnnnnnbaba添加、去掉、改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)添加、去掉、改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng), ,不不改變級(jí)數(shù)的收斂性改變級(jí)數(shù)的收斂性. .111 nnnnnnnbaba且且取取極極限限有有限限和和 則則收收斂斂若若,1 nna任意任意“加括號(hào)加括號(hào)后組成后組成的的且和不變且和不變. .的新級(jí)數(shù)也收斂的新級(jí)數(shù)也收斂; ;反之不真：反之不真：“加括號(hào)后收斂加括號(hào)后收斂, , 原級(jí)數(shù)不一定

3、收斂原級(jí)數(shù)不一定收斂” 11)1(nn逆否：逆否： 加括號(hào)后發(fā)散加括號(hào)后發(fā)散, ,則原級(jí)數(shù)發(fā)散則原級(jí)數(shù)發(fā)散. .實(shí)質(zhì)：實(shí)質(zhì)：加法結(jié)合律的推廣加法結(jié)合律的推廣收斂級(jí)數(shù)有結(jié)合率收斂級(jí)數(shù)有結(jié)合率. .但是，但是，如果括號(hào)中各項(xiàng)符號(hào)相同如果括號(hào)中各項(xiàng)符號(hào)相同, ,且加括號(hào)且加括號(hào)后收斂后收斂, ,則原級(jí)數(shù)必收斂則原級(jí)數(shù)必收斂. .且和不變且和不變. .證明：證明： )()(211121kkkaaaaa )(11nnkkaa部分和：部分和：,21nAAA原級(jí)數(shù)部分和：原級(jí)數(shù)部分和：,21nSSS nknnknASAASA11SSkn lim,limSAnn 設(shè)設(shè)有有時(shí)時(shí)變變到到由由則則,11nnkkk

4、：柯柯西西收收斂斂準(zhǔn)準(zhǔn)則則)(Cauchy*Np .1 pnnkka恒有恒有證明：證明： 存在存在收斂收斂1limnnnnSa, 0*NpNnNN 對(duì)對(duì)一一切切時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) . npnSS收斂收斂 1nna, 0*時(shí)時(shí)使使NnNN .1 pnnkka即即202102179.2 9.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 0,1 nnnaa正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)一、特點(diǎn)一、特點(diǎn).lim ,lim , nnnnnnnSSSSS無(wú)界無(wú)界若若存在存在有界有界若若定理：定理： .1有界有界收斂收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)nnnSa 例例. , 012收收斂斂求求證證級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) nnnnSaa證明：證明：. 0, 02 nnnnnSauS

5、a, 3 , 2 ,1111121 nSSSSSSSSSunnnnnnnnnnnuuu 32)11()11()11(13221nnSSSSSS .11111aSSn . ,1*收斂收斂有界有界的部分和的部分和 nnnnuSu二、比較判別法二、比較判別法 比較法：比較法：則則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè) ,0 , ,nnbaNnN .1111發(fā)散發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則若若收斂收斂收斂，則收斂，則若若nnnnnnnnbaab:分分析析,和和分分別別表表示示兩兩級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的部部分分設(shè)設(shè)nnBA.nnBA 易見易見?1 有界有界有界有界收斂收斂nnnnABb. .比較法極限形式：比較法極限形式：則則如如,limlban

6、nn ;,011同同斂斂散散與與則則若若 nnnnbal, 0 l若若,11 nnnnba 和和對(duì)對(duì)兩兩個(gè)個(gè)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù);11收收斂斂收收斂斂則則 nnnnab, l若若.11發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散則則 nnnnab證明：證明：), 0(lim lbannn,2, 0,2llbaNnNlnn 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)取取 .232lbalbnnn 即即.,23 ,收收斂斂收收斂斂則則收收斂斂若若 nnnablb.,2,發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散若若 nnnablb.,0nnbaNnl 時(shí)時(shí)知知時(shí)時(shí).,nnbaNnl 時(shí)時(shí)知知時(shí)時(shí). . Cauchy積分判別法積分判別法,0)(,1且且遞遞減減時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) xfx.d)

7、(1同同斂斂散散與與無(wú)無(wú)窮窮積積分分 xxf證明：證明：)1(d)()(1 kfxxfkfkk-xxfkffSnkkknknd )()()1(212 121)1(d )( nnknSkfxxf,d)(1收斂收斂若若 xxf.)(,)1(1收收斂斂 nnnffS,d)(1 發(fā)散發(fā)散若若xxf.)(,11發(fā)發(fā)散散 nnnfS 1)(nnf則則無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)三、判別法的應(yīng)用：三、判別法的應(yīng)用：例例1.1.的斂散性的斂散性級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 11npnp解：解： 1 ,1 ,d11ppxxp發(fā)發(fā)散散收收斂斂由由. , 1 , 111 收收斂斂發(fā)發(fā)散散知知ppnnp其它方法：其它方法：. 3, 2 ,27例例例

8、例參參考考教教材材p例例2.2.的的斂斂散散性性 2)(ln1npnn解：解： 考慮考慮)(lnd)(ln1d)(ln122xxxxxpp 1 ,1 ,pp發(fā)散發(fā)散收斂收斂.)(ln12散散同樣的條件下收斂或發(fā)同樣的條件下收斂或發(fā)所以所以 npnn常用于比較的個(gè)級(jí)數(shù)常用于比較的個(gè)級(jí)數(shù) ： 等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù).1 ,1 ,1發(fā)發(fā)散散收收斂斂 rrrnn.1 ,1 ,11收收斂斂發(fā)發(fā)散散 ppnnp ,)ln(lnln1 ,)(ln2 knpnpnnnnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)P例例. . 121nnn.,112發(fā)散發(fā)散 nnnan.,112發(fā)散發(fā)散 nnnan ,1sin1 nn, )11ln(12 nn ,3

9、112 nnnn. ,1發(fā)散發(fā)散nan. ,12收收斂斂nan. ,1 發(fā)發(fā)散散nan0 ,11ln)1(1 npnannnn.)1()11()1(pppnnnnn .1)121ln(11lnnnnn .121pnna 211limpnnna.21 p .收收斂斂 na 1)11ln(1nnn)(2)1ln(22xoxxx )(2ln22xxxx 2210)11ln(1nannann且且 故收斂故收斂例例. .nnnn 112nnnnnna 32220故收斂故收斂例例. .)0(111 aann011lim nnaa時(shí)時(shí)，0211lim nnaa時(shí)時(shí)，nnnaaaa 111時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散收斂收斂例例. . 13)1(3nnn收斂收斂,340nna 例例. . 的的收收斂斂性性？有有界界，設(shè)設(shè) 120nnnnanaa解：解：,Mnan 22200nManMann 故收斂故收斂例例. .)0()1()1)(1(12 xxxxxnnn解：解：nnxax 010時(shí)時(shí)，故收斂故收斂1121)1()1(101 nnnxxax時(shí)時(shí)，故收斂故收斂作業(yè)作業(yè) (數(shù)學(xué)分析習(xí)題集數(shù)學(xué)分