本科“統(tǒng)計學(xué)”——第六章 參數(shù)估計

1、2 - 2 - 2 - 1 1 18 - 8 - 8 - 1 1 1第一節(jié)第一節(jié) 參數(shù)估計的一般問題參數(shù)估計的一般問題 第二節(jié)第二節(jié) 總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)的區(qū)間估計第三節(jié)第三節(jié) 樣本容量的確定樣本容量的確定2 - 2 - 2 - 2 2 28 - 8 - 8 - 2 2 21.估計量與估計值的概念估計量與估計值的概念2.點估計與區(qū)間估計的區(qū)別點估計與區(qū)間估計的區(qū)別3.評價點估計量優(yōu)良性的標準評價點估計量優(yōu)良性的標準4.總體參數(shù)的區(qū)間估計方法總體參數(shù)的區(qū)間估計方法5.樣本容量的確定方法樣本容量的確定方法2 - 2 - 2 - 3 3 38 - 8 - 8 - 3 3 3參數(shù)估計參數(shù)估計假設(shè)

2、檢驗假設(shè)檢驗統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計n參數(shù)估計參數(shù)估計就是用就是用樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量去估計去估計總體參數(shù)總體參數(shù)。2 - 2 - 2 - 4 4 48 - 8 - 8 - 4 4 4參數(shù)參數(shù) 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 xsp2 - 2 - 2 - 5 5 58 - 8 - 8 - 5 5 51.參數(shù)參數(shù) (parameter)u描述總體特征的概括性數(shù)字度量，是描述總體特征的概括性數(shù)字度量，是研究者想要了解的總研究者想要了解的總體的某種特征值體的某種特征值u所關(guān)心的參數(shù)主要有總體均值所關(guān)心的參數(shù)主要有總體均值( )、標準差、標準差( )、總體比例、總體比例( )等等u總體參數(shù)通常用希臘字母

3、表示總體參數(shù)通常用希臘字母表示 2.統(tǒng)計量統(tǒng)計量 (statistic)u用來描述樣本特征的概括性數(shù)字度量，它是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)用來描述樣本特征的概括性數(shù)字度量，它是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的一些量，是樣本的函數(shù)計算出來的一些量，是樣本的函數(shù)u所關(guān)心的樣本統(tǒng)計量有樣本均值所關(guān)心的樣本統(tǒng)計量有樣本均值( x)、樣本標準差、樣本標準差(s)、樣本、樣本比例比例(p)等等u樣本統(tǒng)計量通常用小寫英文字母表示樣本統(tǒng)計量通常用小寫英文字母表示 2 - 2 - 2 - 6 6 68 - 8 - 8 - 6 6 6樣樣本本總體總體樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量如：樣本均值如：樣本均值、比率、方差、比率、方差 總體均值、比率總體

4、均值、比率、方差等、方差等2 - 2 - 2 - 7 7 78 - 8 - 8 - 7 7 7一、估計量與估計值一、估計量與估計值二、點估計與區(qū)間估計二、點估計與區(qū)間估計三、評價估計量的標準三、評價估計量的標準2 - 2 - 2 - 8 8 88 - 8 - 8 - 8 8 81. 估計量估計量：用于估計總體參數(shù)的：用于估計總體參數(shù)的隨機變量隨機變量u如樣本均值，樣本比率、樣本方差等如樣本均值，樣本比率、樣本方差等u例如例如: 樣本均值就是總體均值樣本均值就是總體均值 的一個估計量的一個估計量2. 參數(shù)用參數(shù)用 表示，估計量表示，估計量用用 表示表示3. 估計值估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計

5、量的：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值具體值u如果樣本均值如果樣本均值 x = 80，則，則80 就是就是 的估計值的估計值2 - 2 - 2 - 9 9 98 - 8 - 8 - 9 9 9參數(shù)估計方法參數(shù)估計方法點點 估估 計計區(qū)間估計區(qū)間估計2 - 2 - 2 - 1010108 - 8 - 8 - 1010101.用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值u例如：用樣本均值直接例如：用樣本均值直接作為作為總體均值的估計總體均值的估計u例如：用兩個樣本均值之差直接例如：用兩個樣本均值之差直接作為作為總體均值總體均值之差的估計之差的估計2.沒有沒有給出估

6、計值與總體參數(shù)真實值的給出估計值與總體參數(shù)真實值的接近程度接近程度信息信息2 - 2 - 2 - 1111118 - 8 - 8 - 111111參數(shù)參數(shù) 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 xsp2 - 2 - 2 - 1212128 - 8 - 8 - 1212121. 優(yōu)點：優(yōu)點：u 點估計直觀、自然，估計結(jié)果是一個具體的值，在依點估計直觀、自然，估計結(jié)果是一個具體的值，在依據(jù)估計值制定計劃和行動方案時，可以減少許多麻煩據(jù)估計值制定計劃和行動方案時，可以減少許多麻煩；2. 缺點：缺點：u 沒有給出估計值與總體參數(shù)真實值的接近程度信息。沒有給出估計值與總體參數(shù)真實值的接近程度信息。l 由于隨機因素的作用，樣本統(tǒng)

7、計量恰與總體參數(shù)相符是偶由于隨機因素的作用，樣本統(tǒng)計量恰與總體參數(shù)相符是偶然的，而差異則是大量存在、甚至是必然的。然的，而差異則是大量存在、甚至是必然的。l 因此，有效的統(tǒng)計估計一般要求不僅要給出估計的具體結(jié)因此，有效的統(tǒng)計估計一般要求不僅要給出估計的具體結(jié)果，而且還要說明估計結(jié)果的精度及其可靠程度果，而且還要說明估計結(jié)果的精度及其可靠程度區(qū)間區(qū)間估計估計的提出。的提出。2 - 2 - 2 - 1313138 - 8 - 8 - 1313131.無偏性無偏性2.有效性有效性3.一致性一致性2 - 2 - 2 - 1414148 - 8 - 8 - 141414無偏性：無偏性：樣本統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期

8、望等于被估計的總樣本統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)的值，則稱該樣本統(tǒng)計量是相應(yīng)體參數(shù)的值，則稱該樣本統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計量?？傮w參數(shù)的無偏估計量。2 - 2 - 2 - 1515158 - 8 - 8 - 151515例如例如:)(xEx具有無偏性。具有無偏性。 ，對于對于 22)(11xxnsi22)(sE，2s，則，則 具有無偏性具有無偏性注：注：樣本方差樣本方差S2要除以自由度要除以自由度(n-1)而不是樣本數(shù)而不是樣本數(shù)n，其原因可從多方面來解釋，其原因可從多方面來解釋，但關(guān)鍵原因是但關(guān)鍵原因是:E( S2)= 2 （即，從實際應(yīng)用角度看，在抽樣估計中，此時（即，從實際

9、應(yīng)用角度看，在抽樣估計中，此時的樣本方差的樣本方差S2才是總體方差的無偏估計量）才是總體方差的無偏估計量）2 - 2 - 2 - 1616168 - 8 - 8 - 161616有效性：有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計 量，有更小標準差的估計量更有效量，有更小標準差的估計量更有效 注：正態(tài)總體中，總體均值與總體中位數(shù)相等，但中位數(shù)的標準注：正態(tài)總體中，總體均值與總體中位數(shù)相等，但中位數(shù)的標準誤差大約比確立均值誤差大約比確立均值 的標準誤差大將近的標準誤差大將近25%，所以，本章，所以，本章中突出均值來體現(xiàn)集中趨勢。中突出均值來體現(xiàn)集中趨勢。 2 - 2 -

10、2 - 1717178 - 8 - 8 - 171717一致性：一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)，則稱該點估計是一致的。計的總體參數(shù)，則稱該點估計是一致的。2 - 2 - 2 - 1818188 - 8 - 8 - 1818181.在點估計的基礎(chǔ)上在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量加減加減抽樣誤差抽樣誤差而得到的而得到的2.根據(jù)根據(jù)樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量的的抽樣分布抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出

11、一個的接近程度給出一個概率度量概率度量u比如某班級平均分數(shù)在比如某班級平均分數(shù)在7585之間，置信水平是之間，置信水平是95% 2 - 2 - 2 - 1919198 - 8 - 8 - 191919n由樣本的抽樣分布可知，在重復(fù)抽樣或無限總體抽樣的情況下，由樣本的抽樣分布可知，在重復(fù)抽樣或無限總體抽樣的情況下，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為、方差為2/n的正態(tài)分布的正態(tài)分布，即，即u由此可知：由此可知：樣本樣本均值均值落在落在總體總體均值均值的的兩側(cè)兩側(cè)各為一個抽樣標準各為一個抽樣標準差范圍內(nèi)的概率為差范圍內(nèi)的概率為0.6827, 落在兩個標準差范圍

12、內(nèi)的概率為落在兩個標準差范圍內(nèi)的概率為0.9545，落在三個標準差范圍內(nèi)的概率為，落在三個標準差范圍內(nèi)的概率為0.9973等等。等等。n實際上，我們可以求出樣本均值落在總體均值兩側(cè)任何一個抽樣實際上，我們可以求出樣本均值落在總體均值兩側(cè)任何一個抽樣標準差范圍內(nèi)的概率。標準差范圍內(nèi)的概率。n但實際估計時，情況恰好相反。樣本均值已知而總體均值未知但實際估計時，情況恰好相反。樣本均值已知而總體均值未知。2 - 2 - 2 - 2020208 - 8 - 8 - 202020n由于樣本均值與總體均值的距離是由于樣本均值與總體均值的距離是對稱對稱的，的，如果某個樣本均值如果某個樣本均值落在總體均值的兩個

13、標準差以內(nèi)，反過來，總體均值也被包括落在總體均值的兩個標準差以內(nèi)，反過來，總體均值也被包括在以樣本均值為中心的兩個標準差的范圍之內(nèi)。在以樣本均值為中心的兩個標準差的范圍之內(nèi)。n因此，說因此，說95%的樣本均值會落在總體均值的兩個標準差的范圍的樣本均值會落在總體均值的兩個標準差的范圍之內(nèi)，也就之內(nèi)，也就等于說等于說，約有，約有95%的樣本均值所構(gòu)造的兩個標準差的樣本均值所構(gòu)造的兩個標準差的區(qū)間會包括總體均值。的區(qū)間會包括總體均值。n通俗地說，如果我們抽取通俗地說，如果我們抽取100個樣本來估計總體均值，由個樣本來估計總體均值，由100個樣本所構(gòu)造的個樣本所構(gòu)造的100區(qū)間中，約有區(qū)間中，約有95

14、個區(qū)間包含總體均值，而個區(qū)間包含總體均值，而另外另外5個區(qū)間則不包含總體均值。個區(qū)間則不包含總體均值。n在區(qū)間估計中，由在區(qū)間估計中，由樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量所所構(gòu)造構(gòu)造的的總體參數(shù)的估計區(qū)間總體參數(shù)的估計區(qū)間，稱為稱為置信區(qū)間置信區(qū)間。2 - 2 - 2 - 2121218 - 8 - 8 - 212121n但在但在實際實際問題中，我們往往問題中，我們往往只抽取只抽取一個一個樣本樣本，所構(gòu)，所構(gòu)造的是造的是與與該該樣本樣本相相聯(lián)系的聯(lián)系的95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間。n由于該樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，無法由于該樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間知道這個樣本所產(chǎn)

15、生的區(qū)間是否包含是否包含總體參數(shù)的真總體參數(shù)的真值。值。n所以，我們只能所以，我們只能希望希望這個區(qū)間這個區(qū)間是是大量包含總體參數(shù)大量包含總體參數(shù)真值區(qū)間中的一個，但本質(zhì)上說，它真值區(qū)間中的一個，但本質(zhì)上說，它也可能也可能是少數(shù)是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個。幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個。2 - 2 - 2 - 2222228 - 8 - 8 - 222222n之所以這樣來表述置信區(qū)間，原因是：之所以這樣來表述置信區(qū)間，原因是：u總體參數(shù)總體參數(shù)的真值是的真值是固定的固定的、未知的未知的；u樣本樣本構(gòu)造的區(qū)間雖然構(gòu)造的區(qū)間雖然可求可求，但卻是，但卻是不固定的不固定的，即，抽取，即，

16、抽取不同的樣本時，用該方法可以等到不同的樣本時，用該方法可以等到不同的不同的區(qū)間；區(qū)間；l從這個意義上，從這個意義上，置信區(qū)間置信區(qū)間是一個是一個隨機區(qū)間隨機區(qū)間，它會因樣本，它會因樣本的不同而不同，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)的的不同而不同，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)的真值。真值。l例如，用例如，用95%的置信水平得到某班學(xué)生考試成績的置信的置信水平得到某班學(xué)生考試成績的置信區(qū)間為（區(qū)間為（60，80），這時，不能說（），這時，不能說（60，80）這個區(qū)間）這個區(qū)間以以95%的概率包含全班學(xué)生平均成績的真值，只是知道的概率包含全班學(xué)生平均成績的真值，只是知道，在多次抽樣中在多次抽樣

17、中，有，有95%的樣本的樣本得到的區(qū)間得到的區(qū)間包含包含全班學(xué)全班學(xué)生平均考試成績的生平均考試成績的真值真值。2 - 2 - 2 - 2323238 - 8 - 8 - 2323231.從估計效果來看，區(qū)間估計只給出總體參數(shù)的可能取值范圍從估計效果來看，區(qū)間估計只給出總體參數(shù)的可能取值范圍，并沒有明確指出總體參數(shù)究竟會取哪一個具體的值。，并沒有明確指出總體參數(shù)究竟會取哪一個具體的值。u從這一點來看，區(qū)間估計似乎沒有點估計那樣清晰；從這一點來看，區(qū)間估計似乎沒有點估計那樣清晰；u但點估計的好處是，它能夠說明估計結(jié)果的把握程度，但點估計的好處是，它能夠說明估計結(jié)果的把握程度，并能把估計的置信度與估

18、計誤差有機地聯(lián)系起來。并能把估計的置信度與估計誤差有機地聯(lián)系起來。2.區(qū)間估計的基本特征是，它根據(jù)樣本資料給總體參數(shù)劃區(qū)間估計的基本特征是，它根據(jù)樣本資料給總體參數(shù)劃出一個大致的范圍，以期望該范圍能覆蓋著參數(shù)的真實出一個大致的范圍，以期望該范圍能覆蓋著參數(shù)的真實值值估計估計信度信度與與估計估計精度精度的的矛盾統(tǒng)一體矛盾統(tǒng)一體。2 - 2 - 2 - 2424248 - 8 - 8 - 2424242 - 2 - 2 - 2525258 - 8 - 8 - 252525圖圖6-12 常用的正態(tài)概率值常用的正態(tài)概率值（在（在一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布及標準正態(tài)分布中）及標準正態(tài)分布中） -3 -2

19、-1 0 +1 +2 +3 z -3 -2 - + +2 +3 x99.73%95.45%68.27%1.|X| 3 的概率很小，因此可認為正態(tài)隨機變量的取值的概率很小，因此可認為正態(tài)隨機變量的取值幾乎幾乎全部集中全部集中在在 - 3，+ 3 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)但要記住，但要記住，沒有哪組資料是百分之百用正態(tài)分布描述的，沒有哪組資料是百分之百用正態(tài)分布描述的， 68-95-99.7規(guī)則只是大體正確。規(guī)則只是大體正確。2 - 2 - 2 - 2626268 - 8 - 8 - 2626261. 由由樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的所構(gòu)造的總體參數(shù)的總體參數(shù)的估計估計區(qū)間區(qū)間稱為稱為置信區(qū)間置信區(qū)間2. 統(tǒng)

20、計學(xué)家統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上在某種程度上確信確信這個區(qū)間會包含真正這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間置信區(qū)間 2 - 2 - 2 - 2727278 - 8 - 8 - 2727271.將構(gòu)造將構(gòu)造置信置信區(qū)間區(qū)間的步驟的步驟重復(fù)重復(fù)很多次很多次，置信區(qū)間，置信區(qū)間包包含含總體參數(shù)總體參數(shù)真值真值的次數(shù)的次數(shù)所占的所占的比率比率稱為稱為置信置信水平水平，也稱置信系數(shù)，也稱置信系數(shù)，表示為表示為 1 - 。2.常用的常用的置信水平置信水平值有值有 99%, 95%, 90%u相應(yīng)的相應(yīng)的 為為0.01，0.05，0.10u （00 1), 1), 是區(qū)間

21、估計的是區(qū)間估計的顯著顯著性水平，性水平，是事是事先所確定的一個概率值，也稱先所確定的一個概率值，也稱風險值風險值，是總體，是總體參數(shù)參數(shù)不被包括不被包括在置信區(qū)間內(nèi)的在置信區(qū)間內(nèi)的概率概率。 2 - 2 - 2 - 2828288 - 8 - 8 - 2828282 - 2 - 2 - 2929298 - 8 - 8 - 2929291.根據(jù)置信區(qū)間和置信水平的概念，根據(jù)置信區(qū)間和置信水平的概念，區(qū)間估計區(qū)間估計的定義的定義可表述為：可表述為：n在給定信度在給定信度 1-下，尋找估計量下，尋找估計量1 1和和2 2 ，使，使得下式成立。得下式成立。n此時，此時，1 1，2 2 為為的的 1-

22、 的估計區(qū)間，的估計區(qū)間，或或的估計區(qū)間的估計區(qū)間1 1，2 2 2 - 2 - 2 - 3030308 - 8 - 8 - 3030301.明確待估參數(shù)和置信水平；明確待估參數(shù)和置信水平；2.根據(jù)問題的要求，構(gòu)造出如下概率事件：根據(jù)問題的要求，構(gòu)造出如下概率事件：3.進行轉(zhuǎn)化處理，以期找出估計量及其分布類型；進行轉(zhuǎn)化處理，以期找出估計量及其分布類型；4.由給定的置信水平，從相應(yīng)的概率分布表中查出估計量的由給定的置信水平，從相應(yīng)的概率分布表中查出估計量的理論值，并根據(jù)樣本資料計算出樣本的指標值；理論值，并根據(jù)樣本資料計算出樣本的指標值；5.求出估計區(qū)間，并做出說明和解釋。求出估計區(qū)間，并做出說

23、明和解釋。2 - 2 - 2 - 3131318 - 8 - 8 - 3131311. 與與總體總體數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的離散程度離散程度有關(guān)，有關(guān)，用用 來測度，來測度， 越越大大，樣本，樣本之間的變異性就越大，估計的準確度之間的變異性就越大，估計的準確度下下降降。2. 樣本均值樣本均值抽樣分布抽樣分布的標準差與樣本容量容量有關(guān)，樣本容量的標準差與樣本容量容量有關(guān)，樣本容量越大，抽樣分布的標準差越?。涸酱?，抽樣分布的標準差越小：3.置信水平置信水平 (1 - )，影響，影響 z 的大小。的大小。u通常，置信水平只取接近于通常，置信水平只取接近于 1 的值，實際應(yīng)用時，往的值，實際應(yīng)用時，往往只給出一些

24、比較特殊的值，比如：往只給出一些比較特殊的值，比如：90%、95%、95. 45%、99. 73%等，它們可作為置信水平低、中、高三等，它們可作為置信水平低、中、高三個檔次的代表。個檔次的代表。2 - 2 - 2 - 3232328 - 8 - 8 - 323232一、總體均值的區(qū)間估計一、總體均值的區(qū)間估計二、總體比率的區(qū)間估計二、總體比率的區(qū)間估計三、總體方差的區(qū)間估計三、總體方差的區(qū)間估計2 - 2 - 2 - 3333338 - 8 - 8 - 333333總體參數(shù)總體參數(shù)樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量均值均值比率比率方差方差2 - 2 - 2 - 3434348 - 8 - 8 - 34343

25、4根據(jù)概率知識：根據(jù)概率知識：1. 如果如果總體總體服從服從正態(tài)分布正態(tài)分布，則無論樣本容量如何，則無論樣本容量如何，樣本均值樣本均值的的抽樣分布都服從抽樣分布都服從正態(tài)分布正態(tài)分布；2. 如果如果總體總體不是不是正態(tài)分布正態(tài)分布，但樣本容量很大（通常，但樣本容量很大（通常n30），此），此時，時，樣本均值樣本均值的抽樣分布也可視為的抽樣分布也可視為正態(tài)分布正態(tài)分布。2 - 2 - 2 - 3535358 - 8 - 8 - 3535351.假定條件假定條件u總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u如果如果不是不是正態(tài)分布，可由正正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似態(tài)分布來

26、近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z)(未知 已知意謂著在估計總體已知意謂著在估計總體均值之前，我們可以利均值之前，我們可以利用歷史數(shù)據(jù)或者其他信用歷史數(shù)據(jù)或者其他信息得到總體標準差息得到總體標準差 的的 一個好的近似一個好的近似2 - 2 - 2 - 3636368 - 8 - 8 - 363636注意：注意：對于給定的置信度對于給定的置信度(1 - )，置信區(qū)間置信區(qū)間并不是唯一的，應(yīng)盡量并不是唯一的，應(yīng)盡量選取選取長度最小長度最小的作為所求的置信區(qū)間。對于標準正態(tài)分布而的作為所求的置信區(qū)間。對于標準正態(tài)分布而言，易知選擇上述對稱于原點的區(qū)間是最小的。言，易知選擇

27、上述對稱于原點的區(qū)間是最小的。2 - 2 - 2 - 3737378 - 8 - 8 - 373737【 例例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g。試估。試估計該批產(chǎn)品平均重量的

28、置信區(qū)間，置信水平為計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.32 - 2 - 2 - 3838388 - 8 - 8 - 383838該食品平均重量的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28g2 - 2 - 2 - 3939398 - 8 - 8 - 393939【例】【例】36個投保人年齡的

29、數(shù)據(jù) 2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322 - 2 - 2 - 4040408 - 8 - 8 - 404040解：解：已知已知n=36, 1- = 90%，z /2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：計算得： 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信區(qū)間為置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲歲41.63歲歲2 - 2 - 2 - 4141418 - 8 - 8 - 4141412 - 2 - 2 - 4242428 -

30、 8 - 8 - 4242421.假定條件假定條件u總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u小樣本小樣本 (n 30)2.使用使用 t 分布統(tǒng)計量（分布統(tǒng)計量（小樣本小樣本時，樣本方差與總體方差的時，樣本方差與總體方差的差異顯著，不宜簡單套用正態(tài)分布）差異顯著，不宜簡單套用正態(tài)分布）3. 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為2 - 2 - 2 - 4343438 - 8 - 8 - 434343 t 分布分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布態(tài)分布平坦和分散平坦和分散。一個特

31、定的分布依賴于稱之為自。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)由度的參數(shù)樣本中的個體數(shù)量樣本中的個體數(shù)量n。隨著自由度。隨著自由度n的的增大（直至成為大樣本），分布也逐漸趨于正態(tài)分布增大（直至成為大樣本），分布也逐漸趨于正態(tài)分布 不同自由度的不同自由度的t分布分布2 - 2 - 2 - 4444448 - 8 - 8 - 444444【例【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命只，測得其使用壽命(小時小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信的置信區(qū)間區(qū)間16燈泡

32、使用壽命的數(shù)據(jù)燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702 - 2 - 2 - 4545458 - 8 - 8 - 454545解：解：已知總體已知總體N( ， 2)，n=16, 1- = 95%，t /2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信區(qū)間為置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時小時1503.2小時小時2 - 2 - 2 - 4646468 - 8 -

33、8 - 4646462 - 2 - 2 - 4747478 - 8 - 8 - 4747471.假定條件假定條件u總體服從二項分布總體服從二項分布u可以由正態(tài)分布來近似可以由正態(tài)分布來近似2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z3. 總體比率總體比率 在在1- 置信水平下置信水平下的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為2 - 2 - 2 - 4848488 - 8 - 8 - 484848解：解：已知已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z /2=1.96該城市下崗職工中女性比率的置信該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間為區(qū)間為55.65%74.35% 2 - 2 - 2 - 4949498

34、- 8 - 8 - 4949491.何時需要對總體方差進行估計？何時需要對總體方差進行估計？飲料灌裝生產(chǎn)線是否正常？飲料灌裝生產(chǎn)線是否正常？零件誤差是否在允許范圍內(nèi)？零件誤差是否在允許范圍內(nèi)？藥品重量是否適當？藥品重量是否適當？根據(jù)基金季度收益率標準差判斷該基金的投資風險是否可接受？根據(jù)基金季度收益率標準差判斷該基金的投資風險是否可接受？根據(jù)某股票各月的總收益判斷其風險及變異根據(jù)某股票各月的總收益判斷其風險及變異2.當總體方差過大時，有何問題？當總體方差過大時，有何問題？3.當總體方差過小時，有何問題？當總體方差過小時，有何問題？2 - 2 - 2 - 5050508 - 8 - 8 - 50

35、50501.估計一個總體的方差或標準差估計一個總體的方差或標準差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布假設(shè)總體服從正態(tài)分布3.總體方差總體方差 2 的點估計量為的點估計量為s2,且且2 - 2 - 2 - 5151518 - 8 - 8 - 515151總體方差總體方差11 的置信區(qū)間的置信區(qū)間注意：注意：對于給定的置信度對于給定的置信度(1 - )，此時的，此時的置信區(qū)間置信區(qū)間的的長度只是接近長度只是接近于最小，而不是最小于最小，而不是最小的。但是對于卡方分布而言，要求最小的。但是對于卡方分布而言，要求最小的置信區(qū)間所對應(yīng)的分位數(shù)選擇將十分煩瑣，因此，從方便的置信區(qū)間所對應(yīng)的分位數(shù)選擇將十分煩瑣，因此，

36、從方便記憶的角度確定了圖中的置信區(qū)間。記憶的角度確定了圖中的置信區(qū)間。2 - 2 - 2 - 5252528 - 8 - 8 - 525252【例】【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間的置信區(qū)間 25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6

37、107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.32 - 2 - 2 - 5353538 - 8 - 8 - 535353解解:已知已知n25，1- 95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 s2 =93.21 2置信度為置信度為95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū)該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū)間為間為7.5

38、4g13.43g2 - 2 - 2 - 5454548 - 8 - 8 - 5454541.明確待估參數(shù)和置信水平；明確待估參數(shù)和置信水平；2.根據(jù)問題的要求，構(gòu)造出如下概率事件：根據(jù)問題的要求，構(gòu)造出如下概率事件：3.進行轉(zhuǎn)化處理，以期找出估計量及其分布類型；進行轉(zhuǎn)化處理，以期找出估計量及其分布類型；4.由給定的置信水平，從相應(yīng)的概率分布表中查出估計量的由給定的置信水平，從相應(yīng)的概率分布表中查出估計量的理論值，并根據(jù)樣本資料計算出樣本的指標值；理論值，并根據(jù)樣本資料計算出樣本的指標值；5.求出估計區(qū)間，并做出說明和解釋。求出估計區(qū)間，并做出說明和解釋。2 - 2 - 2 - 5555558

39、- 8 - 8 - 555555參數(shù)參數(shù)點估計量點估計量(值值) 標準誤差標準誤差 (1-)的置信區(qū)間的置信區(qū)間假設(shè)條件假設(shè)條件總體均值總體均值n已知已知n大樣本大樣本n未知未知n大樣本大樣本n正態(tài)總體正態(tài)總體n未知未知n小樣本小樣本總體比率總體比率pn二項總體二項總體n大樣本大樣本總體方差總體方差2 2s2 2不要求不要求正態(tài)總體正態(tài)總體xn nzx 2 xnsnszx2 xnsnstx2 ) )n 1 ) )nppzp 12 ) ) ) ) 22122221,1 snsn2 - 2 - 2 - 5656568 - 8 - 8 - 565656一、估計總體均值時樣本容量的確定一、估計總體均值

40、時樣本容量的確定二、估計總體比率時樣本容量的確定二、估計總體比率時樣本容量的確定2 - 2 - 2 - 5757578 - 8 - 8 - 5757572 - 2 - 2 - 5858588 - 8 - 8 - 5858581.假定條件假定條件u總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u如果如果不是不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z3. 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為2 - 2 - 2 - 5959598 - 8 - 8 - 5959591.令

41、令E代表所希望達到的允許誤差，則：代表所希望達到的允許誤差，則：2.于是，估計總體均值時樣本容量于是，估計總體均值時樣本容量n為：為：3.樣本容量樣本容量n 與總體方差與總體方差 2、允許誤差、允許誤差E、可靠性系、可靠性系數(shù)數(shù)Z 之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為u與總體方差成正比與總體方差成正比u與允許誤差成反比與允許誤差成反比u與可靠性系數(shù)成正比與可靠性系數(shù)成正比（亦即，與置信水平成正比）（亦即，與置信水平成正比）2 - 2 - 2 - 6060608 - 8 - 8 - 606060【例】【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標準差大約為薪的標準差大約為2

42、000元，假定想要估計年薪元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，希望允許誤差為的置信區(qū)間，希望允許誤差為400元，應(yīng)元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？抽取多大的樣本容量？2 - 2 - 2 - 6161618 - 8 - 8 - 616161解解: 已知已知 =2000，E=400, 1- =95%， z /2=1.96 應(yīng)抽取的樣本容量為應(yīng)抽取的樣本容量為即應(yīng)抽取即應(yīng)抽取97人作為樣本人作為樣本 2 - 2 - 2 - 6262628 - 8 - 8 - 6262621.根據(jù)比率區(qū)間估計公式可得樣本容量根據(jù)比率區(qū)間估計公式可得樣本容量n 為為2 - 2 - 2 - 6363638 - 8 - 8 - 63636