本科“統(tǒng)計(jì)學(xué)”——第六章 參數(shù)估計(jì)

1、2 - 2 - 2 - 1 1 18 - 8 - 8 - 1 1 1第一節(jié)第一節(jié) 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題 第二節(jié)第二節(jié) 總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第三節(jié)第三節(jié) 樣本容量的確定樣本容量的確定2 - 2 - 2 - 2 2 28 - 8 - 8 - 2 2 21.估計(jì)量與估計(jì)值的概念估計(jì)量與估計(jì)值的概念2.點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別3.評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)4.總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法5.樣本容量的確定方法樣本容量的確定方法2 - 2 - 2 - 3 3 38 - 8 - 8 - 3 3 3參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)

2、檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)n參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)就是用就是用樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)去估計(jì)總體參數(shù)總體參數(shù)。2 - 2 - 2 - 4 4 48 - 8 - 8 - 4 4 4參數(shù)參數(shù) 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 xsp2 - 2 - 2 - 5 5 58 - 8 - 8 - 5 5 51.參數(shù)參數(shù) (parameter)u描述總體特征的概括性數(shù)字度量，是描述總體特征的概括性數(shù)字度量，是研究者想要了解的總研究者想要了解的總體的某種特征值體的某種特征值u所關(guān)心的參數(shù)主要有總體均值所關(guān)心的參數(shù)主要有總體均值( )、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)差( )、總體比例、總體比例( )等等u總體參數(shù)通常用希臘字母

3、表示總體參數(shù)通常用希臘字母表示 2.統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 (statistic)u用來(lái)描述樣本特征的概括性數(shù)字度量，它是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)用來(lái)描述樣本特征的概括性數(shù)字度量，它是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的一些量，是樣本的函數(shù)計(jì)算出來(lái)的一些量，是樣本的函數(shù)u所關(guān)心的樣本統(tǒng)計(jì)量有樣本均值所關(guān)心的樣本統(tǒng)計(jì)量有樣本均值( x)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差(s)、樣本、樣本比例比例(p)等等u樣本統(tǒng)計(jì)量通常用小寫英文字母表示樣本統(tǒng)計(jì)量通常用小寫英文字母表示 2 - 2 - 2 - 6 6 68 - 8 - 8 - 6 6 6樣樣本本總體總體樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值如：樣本均值、比率、方差、比率、方差 總體均值、比率總體

4、均值、比率、方差等、方差等2 - 2 - 2 - 7 7 78 - 8 - 8 - 7 7 7一、估計(jì)量與估計(jì)值一、估計(jì)量與估計(jì)值二、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)二、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)三、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)三、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)2 - 2 - 2 - 8 8 88 - 8 - 8 - 8 8 81. 估計(jì)量估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量隨機(jī)變量u如樣本均值，樣本比率、樣本方差等如樣本均值，樣本比率、樣本方差等u例如例如: 樣本均值就是總體均值樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量的一個(gè)估計(jì)量2. 參數(shù)用參數(shù)用 表示，估計(jì)量表示，估計(jì)量用用 表示表示3. 估計(jì)值估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)

5、量的：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值具體值u如果樣本均值如果樣本均值 x = 80，則，則80 就是就是 的估計(jì)值的估計(jì)值2 - 2 - 2 - 9 9 98 - 8 - 8 - 9 9 9參數(shù)估計(jì)方法參數(shù)估計(jì)方法點(diǎn)點(diǎn) 估估 計(jì)計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)2 - 2 - 2 - 1010108 - 8 - 8 - 1010101.用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值u例如：用樣本均值直接例如：用樣本均值直接作為作為總體均值的估計(jì)總體均值的估計(jì)u例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為作為總體均值總體均值之差的估計(jì)之差的估計(jì)2.沒有沒有給出估

6、計(jì)值與總體參數(shù)真實(shí)值的給出估計(jì)值與總體參數(shù)真實(shí)值的接近程度接近程度信息信息2 - 2 - 2 - 1111118 - 8 - 8 - 111111參數(shù)參數(shù) 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 xsp2 - 2 - 2 - 1212128 - 8 - 8 - 1212121. 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：u 點(diǎn)估計(jì)直觀、自然，估計(jì)結(jié)果是一個(gè)具體的值，在依點(diǎn)估計(jì)直觀、自然，估計(jì)結(jié)果是一個(gè)具體的值，在依據(jù)估計(jì)值制定計(jì)劃和行動(dòng)方案時(shí)，可以減少許多麻煩據(jù)估計(jì)值制定計(jì)劃和行動(dòng)方案時(shí)，可以減少許多麻煩；2. 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：u 沒有給出估計(jì)值與總體參數(shù)真實(shí)值的接近程度信息。沒有給出估計(jì)值與總體參數(shù)真實(shí)值的接近程度信息。l 由于隨機(jī)因素的作用，樣本統(tǒng)

7、計(jì)量恰與總體參數(shù)相符是偶由于隨機(jī)因素的作用，樣本統(tǒng)計(jì)量恰與總體參數(shù)相符是偶然的，而差異則是大量存在、甚至是必然的。然的，而差異則是大量存在、甚至是必然的。l 因此，有效的統(tǒng)計(jì)估計(jì)一般要求不僅要給出估計(jì)的具體結(jié)因此，有效的統(tǒng)計(jì)估計(jì)一般要求不僅要給出估計(jì)的具體結(jié)果，而且還要說(shuō)明估計(jì)結(jié)果的精度及其可靠程度果，而且還要說(shuō)明估計(jì)結(jié)果的精度及其可靠程度區(qū)間區(qū)間估計(jì)估計(jì)的提出。的提出。2 - 2 - 2 - 1313138 - 8 - 8 - 1313131.無(wú)偏性無(wú)偏性2.有效性有效性3.一致性一致性2 - 2 - 2 - 1414148 - 8 - 8 - 141414無(wú)偏性：無(wú)偏性：樣本統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期

8、望等于被估計(jì)的總樣本統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)的值，則稱該樣本統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)體參數(shù)的值，則稱該樣本統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。2 - 2 - 2 - 1515158 - 8 - 8 - 151515例如例如:)(xEx具有無(wú)偏性。具有無(wú)偏性。 ，對(duì)于對(duì)于 22)(11xxnsi22)(sE，2s，則，則 具有無(wú)偏性具有無(wú)偏性注：注：樣本方差樣本方差S2要除以自由度要除以自由度(n-1)而不是樣本數(shù)而不是樣本數(shù)n，其原因可從多方面來(lái)解釋，其原因可從多方面來(lái)解釋，但關(guān)鍵原因是但關(guān)鍵原因是:E( S2)= 2 （即，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，此時(shí)（即，從實(shí)際

9、應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，此時(shí)的樣本方差的樣本方差S2才是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量）才是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量）2 - 2 - 2 - 1616168 - 8 - 8 - 161616有效性：有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì) 量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效 注：正態(tài)總體中，總體均值與總體中位數(shù)相等，但中位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)注：正態(tài)總體中，總體均值與總體中位數(shù)相等，但中位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差大約比確立均值誤差大約比確立均值 的標(biāo)準(zhǔn)誤差大將近的標(biāo)準(zhǔn)誤差大將近25%，所以，本章，所以，本章中突出均值來(lái)體現(xiàn)集中趨勢(shì)。中突出均值來(lái)體現(xiàn)集中趨勢(shì)。 2 - 2 -

10、2 - 1717178 - 8 - 8 - 171717一致性：一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)，則稱該點(diǎn)估計(jì)是一致的。計(jì)的總體參數(shù)，則稱該點(diǎn)估計(jì)是一致的。2 - 2 - 2 - 1818188 - 8 - 8 - 1818181.在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量加減加減抽樣誤差抽樣誤差而得到的而得到的2.根據(jù)根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量的的抽樣分布抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出

11、一個(gè)的接近程度給出一個(gè)概率度量概率度量u比如某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在比如某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是之間，置信水平是95% 2 - 2 - 2 - 1919198 - 8 - 8 - 191919n由樣本的抽樣分布可知，在重復(fù)抽樣或無(wú)限總體抽樣的情況下，由樣本的抽樣分布可知，在重復(fù)抽樣或無(wú)限總體抽樣的情況下，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為、方差為2/n的正態(tài)分布的正態(tài)分布，即，即u由此可知：由此可知：樣本樣本均值均值落在落在總體總體均值均值的的兩側(cè)兩側(cè)各為一個(gè)抽樣標(biāo)準(zhǔn)各為一個(gè)抽樣標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為差范圍內(nèi)的概率為0.6827, 落在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍

12、內(nèi)的概率為落在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為0.9545，落在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為，落在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為0.9973等等。等等。n實(shí)際上，我們可以求出樣本均值落在總體均值兩側(cè)任何一個(gè)抽樣實(shí)際上，我們可以求出樣本均值落在總體均值兩側(cè)任何一個(gè)抽樣標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率。標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率。n但實(shí)際估計(jì)時(shí)，情況恰好相反。樣本均值已知而總體均值未知但實(shí)際估計(jì)時(shí)，情況恰好相反。樣本均值已知而總體均值未知。2 - 2 - 2 - 2020208 - 8 - 8 - 202020n由于樣本均值與總體均值的距離是由于樣本均值與總體均值的距離是對(duì)稱對(duì)稱的，的，如果某個(gè)樣本均值如果某個(gè)樣本均值落在總體均值的兩個(gè)

13、標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)，反過(guò)來(lái)，總體均值也被包括落在總體均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)，反過(guò)來(lái)，總體均值也被包括在以樣本均值為中心的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。在以樣本均值為中心的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。n因此，說(shuō)因此，說(shuō)95%的樣本均值會(huì)落在總體均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍的樣本均值會(huì)落在總體均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)，也就之內(nèi)，也就等于說(shuō)等于說(shuō)，約有，約有95%的樣本均值所構(gòu)造的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的樣本均值所構(gòu)造的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間會(huì)包括總體均值。的區(qū)間會(huì)包括總體均值。n通俗地說(shuō)，如果我們抽取通俗地說(shuō)，如果我們抽取100個(gè)樣本來(lái)估計(jì)總體均值，由個(gè)樣本來(lái)估計(jì)總體均值，由100個(gè)樣本所構(gòu)造的個(gè)樣本所構(gòu)造的100區(qū)間中，約有區(qū)間中，約有95

14、個(gè)區(qū)間包含總體均值，而個(gè)區(qū)間包含總體均值，而另外另外5個(gè)區(qū)間則不包含總體均值。個(gè)區(qū)間則不包含總體均值。n在區(qū)間估計(jì)中，由在區(qū)間估計(jì)中，由樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量所所構(gòu)造構(gòu)造的的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，稱為稱為置信區(qū)間置信區(qū)間。2 - 2 - 2 - 2121218 - 8 - 8 - 212121n但在但在實(shí)際實(shí)際問(wèn)題中，我們往往問(wèn)題中，我們往往只抽取只抽取一個(gè)一個(gè)樣本樣本，所構(gòu)，所構(gòu)造的是造的是與與該該樣本樣本相相聯(lián)系的聯(lián)系的95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間。n由于該樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，無(wú)法由于該樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間知道這個(gè)樣本所產(chǎn)

15、生的區(qū)間是否包含是否包含總體參數(shù)的真總體參數(shù)的真值。值。n所以，我們只能所以，我們只能希望希望這個(gè)區(qū)間這個(gè)區(qū)間是是大量包含總體參數(shù)大量包含總體參數(shù)真值區(qū)間中的一個(gè)，但本質(zhì)上說(shuō)，它真值區(qū)間中的一個(gè)，但本質(zhì)上說(shuō)，它也可能也可能是少數(shù)是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)。幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)。2 - 2 - 2 - 2222228 - 8 - 8 - 222222n之所以這樣來(lái)表述置信區(qū)間，原因是：之所以這樣來(lái)表述置信區(qū)間，原因是：u總體參數(shù)總體參數(shù)的真值是的真值是固定的固定的、未知的未知的；u樣本樣本構(gòu)造的區(qū)間雖然構(gòu)造的區(qū)間雖然可求可求，但卻是，但卻是不固定的不固定的，即，抽取，即，

16、抽取不同的樣本時(shí)，用該方法可以等到不同的樣本時(shí)，用該方法可以等到不同的不同的區(qū)間；區(qū)間；l從這個(gè)意義上，從這個(gè)意義上，置信區(qū)間置信區(qū)間是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間隨機(jī)區(qū)間，它會(huì)因樣本，它會(huì)因樣本的不同而不同，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)的的不同而不同，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)的真值。真值。l例如，用例如，用95%的置信水平得到某班學(xué)生考試成績(jī)的置信的置信水平得到某班學(xué)生考試成績(jī)的置信區(qū)間為（區(qū)間為（60，80），這時(shí)，不能說(shuō)（），這時(shí)，不能說(shuō)（60，80）這個(gè)區(qū)間）這個(gè)區(qū)間以以95%的概率包含全班學(xué)生平均成績(jī)的真值，只是知道的概率包含全班學(xué)生平均成績(jī)的真值，只是知道，在多次抽樣中在多次抽樣

17、中，有，有95%的樣本的樣本得到的區(qū)間得到的區(qū)間包含包含全班學(xué)全班學(xué)生平均考試成績(jī)的生平均考試成績(jī)的真值真值。2 - 2 - 2 - 2323238 - 8 - 8 - 2323231.從估計(jì)效果來(lái)看，區(qū)間估計(jì)只給出總體參數(shù)的可能取值范圍從估計(jì)效果來(lái)看，區(qū)間估計(jì)只給出總體參數(shù)的可能取值范圍，并沒有明確指出總體參數(shù)究竟會(huì)取哪一個(gè)具體的值。，并沒有明確指出總體參數(shù)究竟會(huì)取哪一個(gè)具體的值。u從這一點(diǎn)來(lái)看，區(qū)間估計(jì)似乎沒有點(diǎn)估計(jì)那樣清晰；從這一點(diǎn)來(lái)看，區(qū)間估計(jì)似乎沒有點(diǎn)估計(jì)那樣清晰；u但點(diǎn)估計(jì)的好處是，它能夠說(shuō)明估計(jì)結(jié)果的把握程度，但點(diǎn)估計(jì)的好處是，它能夠說(shuō)明估計(jì)結(jié)果的把握程度，并能把估計(jì)的置信度與估

18、計(jì)誤差有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。并能把估計(jì)的置信度與估計(jì)誤差有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。2.區(qū)間估計(jì)的基本特征是，它根據(jù)樣本資料給總體參數(shù)劃區(qū)間估計(jì)的基本特征是，它根據(jù)樣本資料給總體參數(shù)劃出一個(gè)大致的范圍，以期望該范圍能覆蓋著參數(shù)的真實(shí)出一個(gè)大致的范圍，以期望該范圍能覆蓋著參數(shù)的真實(shí)值值估計(jì)估計(jì)信度信度與與估計(jì)估計(jì)精度精度的的矛盾統(tǒng)一體矛盾統(tǒng)一體。2 - 2 - 2 - 2424248 - 8 - 8 - 2424242 - 2 - 2 - 2525258 - 8 - 8 - 252525圖圖6-12 常用的正態(tài)概率值常用的正態(tài)概率值（在（在一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中）及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中） -3 -2

19、-1 0 +1 +2 +3 z -3 -2 - + +2 +3 x99.73%95.45%68.27%1.|X| 3 的概率很小，因此可認(rèn)為正態(tài)隨機(jī)變量的取值的概率很小，因此可認(rèn)為正態(tài)隨機(jī)變量的取值幾乎幾乎全部集中全部集中在在 - 3，+ 3 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)但要記住，但要記住，沒有哪組資料是百分之百用正態(tài)分布描述的，沒有哪組資料是百分之百用正態(tài)分布描述的， 68-95-99.7規(guī)則只是大體正確。規(guī)則只是大體正確。2 - 2 - 2 - 2626268 - 8 - 8 - 2626261. 由由樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的所構(gòu)造的總體參數(shù)的總體參數(shù)的估計(jì)估計(jì)區(qū)間區(qū)間稱為稱為置信區(qū)間置信區(qū)間2. 統(tǒng)

20、計(jì)學(xué)家統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上在某種程度上確信確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間置信區(qū)間 2 - 2 - 2 - 2727278 - 8 - 8 - 2727271.將構(gòu)造將構(gòu)造置信置信區(qū)間區(qū)間的步驟的步驟重復(fù)重復(fù)很多次很多次，置信區(qū)間，置信區(qū)間包包含含總體參數(shù)總體參數(shù)真值真值的次數(shù)的次數(shù)所占的所占的比率比率稱為稱為置信置信水平水平，也稱置信系數(shù)，也稱置信系數(shù)，表示為表示為 1 - 。2.常用的常用的置信水平置信水平值有值有 99%, 95%, 90%u相應(yīng)的相應(yīng)的 為為0.01，0.05，0.10u （00 1), 1), 是區(qū)間

21、估計(jì)的是區(qū)間估計(jì)的顯著顯著性水平，性水平，是事是事先所確定的一個(gè)概率值，也稱先所確定的一個(gè)概率值，也稱風(fēng)險(xiǎn)值風(fēng)險(xiǎn)值，是總體，是總體參數(shù)參數(shù)不被包括不被包括在置信區(qū)間內(nèi)的在置信區(qū)間內(nèi)的概率概率。 2 - 2 - 2 - 2828288 - 8 - 8 - 2828282 - 2 - 2 - 2929298 - 8 - 8 - 2929291.根據(jù)置信區(qū)間和置信水平的概念，根據(jù)置信區(qū)間和置信水平的概念，區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的定義的定義可表述為：可表述為：n在給定信度在給定信度 1-下，尋找估計(jì)量下，尋找估計(jì)量1 1和和2 2 ，使，使得下式成立。得下式成立。n此時(shí)，此時(shí)，1 1，2 2 為為的的 1-

22、 的估計(jì)區(qū)間，的估計(jì)區(qū)間，或或的估計(jì)區(qū)間的估計(jì)區(qū)間1 1，2 2 2 - 2 - 2 - 3030308 - 8 - 8 - 3030301.明確待估參數(shù)和置信水平；明確待估參數(shù)和置信水平；2.根據(jù)問(wèn)題的要求，構(gòu)造出如下概率事件：根據(jù)問(wèn)題的要求，構(gòu)造出如下概率事件：3.進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，以期找出估計(jì)量及其分布類型；進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，以期找出估計(jì)量及其分布類型；4.由給定的置信水平，從相應(yīng)的概率分布表中查出估計(jì)量的由給定的置信水平，從相應(yīng)的概率分布表中查出估計(jì)量的理論值，并根據(jù)樣本資料計(jì)算出樣本的指標(biāo)值；理論值，并根據(jù)樣本資料計(jì)算出樣本的指標(biāo)值；5.求出估計(jì)區(qū)間，并做出說(shuō)明和解釋。求出估計(jì)區(qū)間，并做出說(shuō)

23、明和解釋。2 - 2 - 2 - 3131318 - 8 - 8 - 3131311. 與與總體總體數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的離散程度離散程度有關(guān)，有關(guān)，用用 來(lái)測(cè)度，來(lái)測(cè)度， 越越大大，樣本，樣本之間的變異性就越大，估計(jì)的準(zhǔn)確度之間的變異性就越大，估計(jì)的準(zhǔn)確度下下降降。2. 樣本均值樣本均值抽樣分布抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差與樣本容量容量有關(guān)，樣本容量的標(biāo)準(zhǔn)差與樣本容量容量有關(guān)，樣本容量越大，抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差越小：越大，抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差越?。?.置信水平置信水平 (1 - )，影響，影響 z 的大小。的大小。u通常，置信水平只取接近于通常，置信水平只取接近于 1 的值，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往的值，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往只給出一些

24、比較特殊的值，比如：往只給出一些比較特殊的值，比如：90%、95%、95. 45%、99. 73%等，它們可作為置信水平低、中、高三等，它們可作為置信水平低、中、高三個(gè)檔次的代表。個(gè)檔次的代表。2 - 2 - 2 - 3232328 - 8 - 8 - 323232一、總體均值的區(qū)間估計(jì)一、總體均值的區(qū)間估計(jì)二、總體比率的區(qū)間估計(jì)二、總體比率的區(qū)間估計(jì)三、總體方差的區(qū)間估計(jì)三、總體方差的區(qū)間估計(jì)2 - 2 - 2 - 3333338 - 8 - 8 - 333333總體參數(shù)總體參數(shù)樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量均值均值比率比率方差方差2 - 2 - 2 - 3434348 - 8 - 8 - 34343

25、4根據(jù)概率知識(shí)：根據(jù)概率知識(shí)：1. 如果如果總體總體服從服從正態(tài)分布正態(tài)分布，則無(wú)論樣本容量如何，則無(wú)論樣本容量如何，樣本均值樣本均值的的抽樣分布都服從抽樣分布都服從正態(tài)分布正態(tài)分布；2. 如果如果總體總體不是不是正態(tài)分布正態(tài)分布，但樣本容量很大（通常，但樣本容量很大（通常n30），此），此時(shí)，時(shí)，樣本均值樣本均值的抽樣分布也可視為的抽樣分布也可視為正態(tài)分布正態(tài)分布。2 - 2 - 2 - 3535358 - 8 - 8 - 3535351.假定條件假定條件u總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u如果如果不是不是正態(tài)分布，可由正正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似態(tài)分布來(lái)

26、近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z)(未知 已知意謂著在估計(jì)總體已知意謂著在估計(jì)總體均值之前，我們可以利均值之前，我們可以利用歷史數(shù)據(jù)或者其他信用歷史數(shù)據(jù)或者其他信息得到總體標(biāo)準(zhǔn)差息得到總體標(biāo)準(zhǔn)差 的的 一個(gè)好的近似一個(gè)好的近似2 - 2 - 2 - 3636368 - 8 - 8 - 363636注意：注意：對(duì)于給定的置信度對(duì)于給定的置信度(1 - )，置信區(qū)間置信區(qū)間并不是唯一的，應(yīng)盡量并不是唯一的，應(yīng)盡量選取選取長(zhǎng)度最小長(zhǎng)度最小的作為所求的置信區(qū)間。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布而的作為所求的置信區(qū)間。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布而言，易知選擇上述對(duì)稱于原點(diǎn)的區(qū)間是最小的。言，易知選擇

27、上述對(duì)稱于原點(diǎn)的區(qū)間是最小的。2 - 2 - 2 - 3737378 - 8 - 8 - 373737【 例例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的

28、置信區(qū)間，置信水平為計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.32 - 2 - 2 - 3838388 - 8 - 8 - 383838該食品平均重量的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28g2 - 2 - 2 - 3939398 - 8 - 8 - 393939【例】【例】36個(gè)投保人年齡的

29、數(shù)據(jù) 2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322 - 2 - 2 - 4040408 - 8 - 8 - 404040解：解：已知已知n=36, 1- = 90%，z /2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：計(jì)算得： 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信區(qū)間為置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲歲41.63歲歲2 - 2 - 2 - 4141418 - 8 - 8 - 4141412 - 2 - 2 - 4242428 -

30、 8 - 8 - 4242421.假定條件假定條件u總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u小樣本小樣本 (n 30)2.使用使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量（分布統(tǒng)計(jì)量（小樣本小樣本時(shí)，樣本方差與總體方差的時(shí)，樣本方差與總體方差的差異顯著，不宜簡(jiǎn)單套用正態(tài)分布）差異顯著，不宜簡(jiǎn)單套用正態(tài)分布）3. 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為2 - 2 - 2 - 4343438 - 8 - 8 - 434343 t 分布分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布態(tài)分布平坦和分散平坦和分散。一個(gè)特

31、定的分布依賴于稱之為自。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)由度的參數(shù)樣本中的個(gè)體數(shù)量樣本中的個(gè)體數(shù)量n。隨著自由度。隨著自由度n的的增大（直至成為大樣本），分布也逐漸趨于正態(tài)分布增大（直至成為大樣本），分布也逐漸趨于正態(tài)分布 不同自由度的不同自由度的t分布分布2 - 2 - 2 - 4444448 - 8 - 8 - 444444【例【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí)小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信的置信區(qū)間區(qū)間16燈泡

32、使用壽命的數(shù)據(jù)燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702 - 2 - 2 - 4545458 - 8 - 8 - 454545解：解：已知總體已知總體N( ， 2)，n=16, 1- = 95%，t /2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信區(qū)間為置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)小時(shí)1503.2小時(shí)小時(shí)2 - 2 - 2 - 4646468 - 8 -

33、8 - 4646462 - 2 - 2 - 4747478 - 8 - 8 - 4747471.假定條件假定條件u總體服從二項(xiàng)分布總體服從二項(xiàng)分布u可以由正態(tài)分布來(lái)近似可以由正態(tài)分布來(lái)近似2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z3. 總體比率總體比率 在在1- 置信水平下置信水平下的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為2 - 2 - 2 - 4848488 - 8 - 8 - 484848解：解：已知已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z /2=1.96該城市下崗職工中女性比率的置信該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間為區(qū)間為55.65%74.35% 2 - 2 - 2 - 4949498

34、- 8 - 8 - 4949491.何時(shí)需要對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)？何時(shí)需要對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)？飲料灌裝生產(chǎn)線是否正常？飲料灌裝生產(chǎn)線是否正常？零件誤差是否在允許范圍內(nèi)？零件誤差是否在允許范圍內(nèi)？藥品重量是否適當(dāng)？藥品重量是否適當(dāng)？根據(jù)基金季度收益率標(biāo)準(zhǔn)差判斷該基金的投資風(fēng)險(xiǎn)是否可接受？根據(jù)基金季度收益率標(biāo)準(zhǔn)差判斷該基金的投資風(fēng)險(xiǎn)是否可接受？根據(jù)某股票各月的總收益判斷其風(fēng)險(xiǎn)及變異根據(jù)某股票各月的總收益判斷其風(fēng)險(xiǎn)及變異2.當(dāng)總體方差過(guò)大時(shí)，有何問(wèn)題？當(dāng)總體方差過(guò)大時(shí)，有何問(wèn)題？3.當(dāng)總體方差過(guò)小時(shí)，有何問(wèn)題？當(dāng)總體方差過(guò)小時(shí)，有何問(wèn)題？2 - 2 - 2 - 5050508 - 8 - 8 - 50

35、50501.估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布假設(shè)總體服從正態(tài)分布3.總體方差總體方差 2 的點(diǎn)估計(jì)量為的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且且2 - 2 - 2 - 5151518 - 8 - 8 - 515151總體方差總體方差11 的置信區(qū)間的置信區(qū)間注意：注意：對(duì)于給定的置信度對(duì)于給定的置信度(1 - )，此時(shí)的，此時(shí)的置信區(qū)間置信區(qū)間的的長(zhǎng)度只是接近長(zhǎng)度只是接近于最小，而不是最小于最小，而不是最小的。但是對(duì)于卡方分布而言，要求最小的。但是對(duì)于卡方分布而言，要求最小的置信區(qū)間所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)選擇將十分煩瑣，因此，從方便的置信區(qū)間所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)選擇將十分煩瑣，因此，

36、從方便記憶的角度確定了圖中的置信區(qū)間。記憶的角度確定了圖中的置信區(qū)間。2 - 2 - 2 - 5252528 - 8 - 8 - 525252【例】【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間的置信區(qū)間 25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6

37、107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.32 - 2 - 2 - 5353538 - 8 - 8 - 535353解解:已知已知n25，1- 95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 s2 =93.21 2置信度為置信度為95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為間為7.5

38、4g13.43g2 - 2 - 2 - 5454548 - 8 - 8 - 5454541.明確待估參數(shù)和置信水平；明確待估參數(shù)和置信水平；2.根據(jù)問(wèn)題的要求，構(gòu)造出如下概率事件：根據(jù)問(wèn)題的要求，構(gòu)造出如下概率事件：3.進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，以期找出估計(jì)量及其分布類型；進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，以期找出估計(jì)量及其分布類型；4.由給定的置信水平，從相應(yīng)的概率分布表中查出估計(jì)量的由給定的置信水平，從相應(yīng)的概率分布表中查出估計(jì)量的理論值，并根據(jù)樣本資料計(jì)算出樣本的指標(biāo)值；理論值，并根據(jù)樣本資料計(jì)算出樣本的指標(biāo)值；5.求出估計(jì)區(qū)間，并做出說(shuō)明和解釋。求出估計(jì)區(qū)間，并做出說(shuō)明和解釋。2 - 2 - 2 - 5555558

39、- 8 - 8 - 555555參數(shù)參數(shù)點(diǎn)估計(jì)量點(diǎn)估計(jì)量(值值) 標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差 (1-)的置信區(qū)間的置信區(qū)間假設(shè)條件假設(shè)條件總體均值總體均值n已知已知n大樣本大樣本n未知未知n大樣本大樣本n正態(tài)總體正態(tài)總體n未知未知n小樣本小樣本總體比率總體比率pn二項(xiàng)總體二項(xiàng)總體n大樣本大樣本總體方差總體方差2 2s2 2不要求不要求正態(tài)總體正態(tài)總體xn nzx 2 xnsnszx2 xnsnstx2 ) )n 1 ) )nppzp 12 ) ) ) ) 22122221,1 snsn2 - 2 - 2 - 5656568 - 8 - 8 - 565656一、估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定一、估計(jì)總體均值

40、時(shí)樣本容量的確定二、估計(jì)總體比率時(shí)樣本容量的確定二、估計(jì)總體比率時(shí)樣本容量的確定2 - 2 - 2 - 5757578 - 8 - 8 - 5757572 - 2 - 2 - 5858588 - 8 - 8 - 5858581.假定條件假定條件u總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u如果如果不是不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z3. 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為2 - 2 - 2 - 5959598 - 8 - 8 - 5959591.令

41、令E代表所希望達(dá)到的允許誤差，則：代表所希望達(dá)到的允許誤差，則：2.于是，估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量于是，估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量n為：為：3.樣本容量樣本容量n 與總體方差與總體方差 2、允許誤差、允許誤差E、可靠性系、可靠性系數(shù)數(shù)Z 之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為u與總體方差成正比與總體方差成正比u與允許誤差成反比與允許誤差成反比u與可靠性系數(shù)成正比與可靠性系數(shù)成正比（亦即，與置信水平成正比）（亦即，與置信水平成正比）2 - 2 - 2 - 6060608 - 8 - 8 - 606060【例】【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2

42、000元，假定想要估計(jì)年薪元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望允許誤差為的置信區(qū)間，希望允許誤差為400元，應(yīng)元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？抽取多大的樣本容量？2 - 2 - 2 - 6161618 - 8 - 8 - 616161解解: 已知已知 =2000，E=400, 1- =95%， z /2=1.96 應(yīng)抽取的樣本容量為應(yīng)抽取的樣本容量為即應(yīng)抽取即應(yīng)抽取97人作為樣本人作為樣本 2 - 2 - 2 - 6262628 - 8 - 8 - 6262621.根據(jù)比率區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量根據(jù)比率區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n 為為2 - 2 - 2 - 6363638 - 8 - 8 - 63636