《極值點偏移問答的管理組織策略及探究》

1、極值點偏移問題的處理策略及探究所謂極值點偏移問題， 是指對于單極值函數(shù)， 由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)f(x)在x Xo處取得極值，且函數(shù) y f(x)與直線y b交于 A(xi,b) ,B(X2,b)兩點，則AB的中點為mC1 x2,b)，而往往x0.如下圖2 2所示.嚴(yán)一2j-3v=*|V1極述點左偏極值點沒有偏移此類問題在近幾年高考及各種?？?作為熱點以壓軸題的形式給出， 很多學(xué)生對待此類又因為2 X1,X2(1,)，且f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,問題經(jīng)常是束手無策。 而且此類問題變化多樣， 有些題型是不含參數(shù)的， 而更多的題型又是參數(shù)如何來處理？是

2、否有更方含有參數(shù)的。不含參數(shù)的如何解決？含參數(shù)的又該如何解決, 便的方法來解決？其實， 處理的手段有很多，方法也就有很多，我們先來看看此類問題的基 本特征，再從幾個典型問題來逐一探索!【問題特征】嶺 +小X.“13=趴若幾訂下門(門冊謹增b則廠極值點左巴尹處切線G軸不平鳳 若幾和上r% 口“珈械h則ff寧:V + r極值點右偏i片+屁2" / = 七丄切線與工軸不平行：苦門巧廠遞璉h則yf送Q 卜廠此戶山若卜凸I廠(巧遞坤b則廣(土尹卜廠(兀)=0【處理策略】、不含參數(shù)的問題.例1. (2010天津理)已知函數(shù) f(x) xex(x R)，如果XiX2，且 f(Xi) f (X2)，

3、證明：X1 x22.【解析】法一:(1 x)e x，易得 f (x)在(單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減，Xf(x)f(0)數(shù)f (x)在X1處取得極大值f(1)，且f(1)如圖所示.e時，f (X)由 f(X1)f (X2),X1X2，不妨設(shè)X1X2，則必有0 X11X2，構(gòu)造函數(shù)F(x) f(1X) f (1 x),x (0,1，則 F(X)(1 X)Xf (1 X) F(e2x 1)0，所以 F(x)在 Xe(0,1上單調(diào)遞增,F(x) F(0)0,也即 f(1 X) f (1 X)對 X (0,1恒成立.由 0X,1X2，則 1 X1 (0,1，所以f(1(1X1)f(2 X1)f(1

4、(1 X1)f(X1)f(X2)，即f(2 X1)f(X2)，所以2Xix2，即證x1x22.法二：欲證x-i x2 2 ,即證x2 2 x1,由法一知0Xi 1 X2，故 2 為，X2(1,又因為f(X)在(1,)上單調(diào)遞減，故只需證f(X2)f(2 X,)，又因為 f(Xi)f(X2),故也即證f (Xi)f(2 Xi)，構(gòu)造函數(shù)H(X) f(X)f (2 X),X (0,1)，則等價于證明H(X) 0對X (0,1)恒成立.由 H(X) f (X) f (2 X)(12x 2e )0,則H(x)在X (0,1)上單調(diào)遞增，所以H(X) H(1)0,即已證明H(X)0對X (0,1)恒成立

5、，故原不等式X1x22亦成立.法三：由f(X1)f (X2)，得X-ieX2x2e，化簡得冷X X2e X-不妨設(shè)X2X1，由法一知,oX-i1X2 .令 tX20,X2X1，代入式,得ettX1x-反解出X1tet 1則 X1 X2 2x12tet 1t，故要證:X-X22 ,即證:2tt 2，又因為et 10,等價于證明:2t (t2)(et 1) 0 ，構(gòu)造函數(shù)G(t)2t(t 2)(et 1),(t0)，則 G(t)(t 1)et1,G (t)tet故 G(t)在 t (0,)上單調(diào)遞增，G (t) G (0) 0,從而G(t)也在t (0,)上單調(diào)遞增，G(t) G(0)0，即證式成

6、立，也即原不等式 x-i x22成立.法四：由法三中式，兩邊同時取以e為底的對數(shù)，得x2x-iIn 昱X-In x2In x-i，也即In X2In xiX2x-1,從而X1 X2(X1In x2In x-iX2)X2x-X2X1X2X1In生x-X2x-X2X1-In昱1為X2(t1)，則欲證：X1X22，等價于證明:itt 1構(gòu)造M (t)(t 1)I ntt 1(占)1 nt,(t 1)，則 Mt2(t)-t(t 1)22tl nt2X1lim M (t) lim (t 1)ln 上X 1 / X 1 t 1丫)2，即證M (t)2 即證式成立，也即原不等式 X1X22成立.【點評】以上

7、四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式,方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元,將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的二、含參數(shù)的問題.X例2已知函數(shù)f(x) X ae有兩個不同的零點 X-I, X2，求證：禺x?2.【解析】思路1：函數(shù)f(x)的兩個零點，等價于方程Xe X a的兩個實根，從而這一問題與例1完全等價，例1的四種方法全都可以用;思路2 :也可以利用參數(shù) a這個媒介去構(gòu)造出新的函數(shù)解答如下:因為函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2，所以Xi要證明XiX2由(1)(2)得：X22，只要證明a(eXaeX2aeX1X1(1

8、)，a(eX1 eX2) 2，X2eX2)，即證:X2)不妨設(shè)X1X2，因此只要證明:再次換元令et由(1) (2)得：XieXeX2eX記tteeteX2(X11,X1X2，則 tInX2X2)e0,et2(61)et 1構(gòu)造新函數(shù)F (x)In X2(XXeX2)，即 aeX1X22X1X21 ，1，即證In X，F(xiàn)(1)0X1X2eX1eX22(x 1)0X 1(1,)又令2(t) t1 2tlnt,(t1)，則(t) 2t2(l nt 1)2(t 1lnt)，由于t1 lnt對t(1,)恒成立，故 (t)0，(t)在 t(1,)上單調(diào)遞增，所以(t)(1) 0，從而M (t)0，故 M

9、 (t)在 t(1,)上單調(diào)遞增，由洛比塔法則知：2t0，14(x 1)2求導(dǎo)F(X)2二0,得F(x)在(1,)遞增,X (X 1) x(x 1)所以F(x) 0,因此原不等式X1 X2 2獲證.X2【點評】含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元Xi,X2的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù),故思路很自然的就會想到： 想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決;者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù)。f(X)有兩個零點Xi,X2，例3.已知函數(shù)f(x) In X ax，a為常數(shù)，若函數(shù)2試證明：X1 X2 e .【解析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題:f (x)0 In X ax In X a

10、eInxX,X2是方程f(x) 0的兩根，也是方程 In X aeInx 的兩根，則 In x1,In x?是 xg(Ui) g(U2)，從而 XiX2法二：利用參數(shù)a作為媒介,換元后構(gòu)造新函數(shù):aex，設(shè) 5In Xi ,u2In x?, g(x) xe x，則2e In X1In X225 氏 2，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1，下略.不妨設(shè)X,為,0,ln x2ax2/. lnX,InX2a(x1x2),lnx,Inx?a(x1x2),In x,In x2a，欲證明X1X2X1X22e，即證 In x-iIn x22./In XiIn x22a(x1 x2)，即證 a X1X2原命題等價于證明I

11、n % In X2x1x2x1x2-，即證:In互X22(X1 X2)，令 tX1 X2X1,(t 1),中思路二的解答，下略.構(gòu)造g(t) Int衛(wèi),t 1，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例2t 1法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù):In X,a XiIn x2X2In x2In xiX2臼設(shè)Xi X2，t竺,(tXi1),則 X2tXi,In txiIn xiIntInIn x1Xi反解出：In XiInt .廠I，InX2IntxiInt In Xi IntIntt itIntt i故 xix2e2In x1In x2hnt 2，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略例4.設(shè)函數(shù)f(X) ex axa(a R)，其圖像與X軸交

12、于A(Xi,O), B(X2,O)兩點，且Xi X2 證明:f (Jxi X2)0.【解析】由f(X) e axa, f (x) ex a，易知：a的取值范圍為(e2,f(x)在(,In a)上單調(diào)遞減，在(Ina,)上單調(diào)遞增.法一：利用通法構(gòu)造新函數(shù)，略;法二：將舊變元轉(zhuǎn)換成新變元:xeaxi aX2eax2 a0,兩式相減得:0,eX2X2Xi記t寧'(t0)，則f (X產(chǎn))Xi X2eeX2eXiX2XiK 02(2t (et et),2t設(shè) g(t) 2t (etet),(t0)，則 g (t)(etet)0,所以 g(t)在 t (0,)上單調(diào)遞減，故g(t)Xi X2 e

13、g(0) 0,而a2t所以fXiX22又 f (x)exa是R上的遞增函數(shù),X1f (jxi X2)0.容易想到，但卻是錯解的過程:欲證：f (J% X2)0,即要證：f (也X2Xi X2)0 ,亦要證e 2 a 0 ,也即證：eXiX2a22自然會想到：對X1e1 ax1 aX2e ax2 a0,eX1a(x11),命兩0,eX2a(x2 1),式相乘得：eX1X2 a2(x11)(X2 1),即證：(Xi1)(X21)1 .考慮用基本不等式(X11)(X21)X, x2 2 2(工)，也即只要證:X2X1X24 .由于 X)1,X23In a .當(dāng)取a e將得到X23，從而x1 x24

14、.而二元一次不等式 x1x2 4對任意a(e2,)不恒成立，故此法錯誤【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效， 而變式相乘卻失敗？兩式相減的思想基礎(chǔ)是什么？其 他題是否也可以效仿這兩式相減的思路【解決】此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景拉格朗日中值定理：若函數(shù)f (X)滿足如下條件:，使得 f() fbLJ®b a(1)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點當(dāng)f(b) f(a)時，即得到羅爾中值定理上述問題即對應(yīng)于羅爾中值定理,設(shè)函數(shù)圖像與X軸交于A(x1,0), B(x2,0),兩點，因此f(X2)f(X1)X2 X10(e

15、X2 e) a(X1 X2)0X2X1由于 f(X1) f (X2) 0,顯然 f(X1) f (X1) 0 與 f(x,) f(X1)f(X1) f (X2) 0不是充要關(guān)系,轉(zhuǎn)化的過程中范圍發(fā)生了改變例5. (11年，遼寧理)2已知函數(shù)f (x) In X ax(2a)x.(I)討論f(x)的單調(diào)性;(II)設(shè)a 0，證明：當(dāng)01 時，fQ X) f(1 X)； aaa(Ill)若函數(shù)y f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點，線段 AB中點的橫坐標(biāo)為x。，證明:f(X0)0.【解析】(I)易得：當(dāng)a 0時，f (X)在(0,)上單調(diào)遞增；當(dāng)a 0時，f(x)在(0,1)a上單調(diào)遞增，在(1,

16、a)上單調(diào)遞減.(II )法一：構(gòu)造函數(shù)1 1g(x) f (- X) f (- x),(0 aX丄)，利用函數(shù)單調(diào)性證明，方a法上同，略;造以a為主元的函數(shù)，h(a)f(a x)七 x)，h(a)ln(1ax) ln(1 ax) 2ax, h (a)X1 axX1 axc 322x a ,2x 門，由01 a X解得01時，f (一a11,當(dāng) 0 a 時，h (a)0，而 h(0)XX1X) f (- X).a0，所以h(a) 0，故當(dāng)0(III )由(I)知，只有當(dāng)a 0時，且f(x)的最大值個零點，不妨設(shè) A(Xi,0), B(X2,0),0XiX2，則 0M)a1Xi - aX2，f

17、(x)才會有兩X1叫)，由(II)得：f(2a1Xi) f (aXi)1 1f (Xi)af(Xi)f(X2)，又由 f (x)在(丄，)上單調(diào)遞減，所以aX2Xi，于是x0(I)知，f (X0)0.【問題的進一步探究】對數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個正數(shù)a和b的對數(shù)平均定義:L(a,b)a In a a(ab ( (aInbb).b),對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系:Vab L(a,b)(此式記為對數(shù)平均不等式 取等條件：當(dāng)且僅當(dāng) a b時，等號成立.只證：當(dāng)a b時，jab L(a,b)b.不失一般性，可設(shè)ab.證明如下:1(I)先證：Tab L(a,b)不等式Ina InbTObb

18、2ln xa(x)aInb1(其中xx1)構(gòu)造函數(shù) f(x) 2Inx (X 1),(x1)，則 fX(1丄)2.因為xxf(x) 0,所以函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減,故 f (x)f(1)從而不等式成立;(II)再證:L(a,b) ¥不等式Ina Inb 譬Inb2(a1)£1)In x2(x(X 17(其中x構(gòu)造函數(shù)g(x) In x1)，則 g(x)-x42(x 1) x(x(x1和為x1時,g (x)0 ,所以函數(shù)g(x)在(1,)上單調(diào)遞增，故g(x) g(1)0，從而不等式成立;綜合(I)( II )知，對a,b R，都有對數(shù)平均不等式 Tab L(a,

19、b)成立,2當(dāng)且僅當(dāng)a b時，等號成立.前面例題用對數(shù)平均不等式解決例1.(2010天津理)已知函數(shù) f(x) xex(x R)，如果 X1 x，且 f(x,) f (X2)，證明：X1x22.【解析】法五：由前述方法四，可得In x,In x2，利用對數(shù)平均不等式得:X2In xiIn x2，即證：x1 x22，秒證.說明：由于例2，例3最終可等價轉(zhuǎn)化成例1的形式，故此處對數(shù)平均不等式的方法省略例4.設(shè)函數(shù)f(x) ex ax a(a R)，其圖像與 x軸交于A(x1,0), B(X2,0)兩點，且XiX2.證明：f (Jxi x2) 0.Xi【解析】法三：由前述方法可得:eX1 _eX21

20、Xi(1X1In aX2),等式兩邊取以e為X21底的對數(shù)，得In aXiln(Xi1)X2In(X2 1)，化簡得：1(Xl 1) (X21)In(X11)In(x21)，由對數(shù)平均不等式知:(X11)(X2In(X1 1) In(X2 1)1)7(X1 1)(X21)，即 X1X2(X1 X2)0，故要證f (Jxx2)證 J玄2Ina證 x1x2xiIng 1) X2In(x2 1)證 ln(x1 1) In(x21) x1 x2 x1x2證 In (x1x2(X1 X2)1)X1X22JX1X2/x1x2 (x1 x2)0 In(xM (為x2) 1) In1 0 ,何2 0(X1 X

21、2)1) XX22JXX2顯然成立，故原問題得證例 5. (11年，遼寧理)已知函數(shù)2f (x) In X ax(2a)x.(I)討論f(x)的單調(diào)性;(II)設(shè)a 0，證明：當(dāng)0f(a x)；(III)若函數(shù)y f(x)的圖像與X軸交于A, B兩點,線段 AB中點的橫坐標(biāo)為X0，證明:f (X0)0.(III)由 f(X1)f(X2) 0(2a)x2In x12ax1(2 a )X1In x2 ax22In x1In x22(X1 X2)a(x12 x22X1X2)【解析】(I) (II)略,X2)In x1 In x22(x1a22X-IX2X1X20故要證f (Xd) 0x0X1X222

22、2X-iX2X1x2In x1In x2 2(x1 x2)1In 為In x2X1X2XX2In x-iIn x2根據(jù)對數(shù)平均不等，此不等式顯然成立,故原不等式得證X1X2X1X2【挑戰(zhàn)今年高考壓軸題】2）ex a（x 1）2有兩個零點（2016年新課標(biāo)I卷理數(shù)壓軸21題）已知函數(shù)f（X） （XX1,X2.證明：X1 X22.2a），可知 f（X）在（，1）【解析】由 f(x) (X 2)eX a(X 1)2，得 f (x) (x 1)(eX上單調(diào)遞減，在（1,）上單調(diào)遞增.要使函數(shù)y f （x）有兩個零點X1,X2，則必須a 0.法一：構(gòu)造部分對稱函數(shù)不妨設(shè)X,X2，由單調(diào)性知X1(,1),

23、X2 (1,所以 2X2(,1)，又f（X）在（,1）單調(diào)遞減，故要證:X22，等價于證明:f(2X2) f(X1)0，又 f(2X2)X2e2 X2a(X221)，且 f(X2) (X22)eX22a(X2 1)20 f(2X2)2 XX2e(X22)eX2 ,構(gòu)造函數(shù) g(X)2xe(X 2)eX,(X(1,),由單調(diào)性可證，此處略.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得：f X, f X2 0 ,不難發(fā)現(xiàn)X1 1 , X21,x 2 J故可整理得：a 廠X11X22 eX22-X21X 2 ex，貝y g X1X 1X2那么g2X 21 xX e，當(dāng)X 11 時，g'X單調(diào)遞減；當(dāng)

24、 X1時,g' x0 , g x單調(diào)遞增.0,1構(gòu)造代數(shù)式:me1m 1 2mem 1mJe2m 1 , mm 1則h' mm單調(diào)遞增,2m22m ce 0 , m 1因此，對于任意的 m 0,由g X1g X2可知x、X2不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上,不妨設(shè)X1X2，則1 X2X10，則有g(shù)11X1X1g 2X1g X1X2而2 X11，X21, g X在1,上單調(diào)遞增,因此：g 2整理得:X1X2法三：參變分離再構(gòu)造對稱函數(shù)由法二，得g XX 2 e ,構(gòu)造 G( X)g(X) g(2X),(X(,1),利用單調(diào)性可證,此處略.法四：構(gòu)造加強函數(shù)【分析說明】由于原函數(shù)f(X)的不對稱,故希望構(gòu)造一個關(guān)于直線X 1對稱的函數(shù)g(x),使得當(dāng)X 1時，f(X)g(X)，當(dāng)X 1時，f(X) g(X)，結(jié)合圖像，易證原不等式成立【解答】由f(x) (X 2)ex a(x 1)2, f (x) (x 1)(ex 2a)，故希望構(gòu)造一個函數(shù)F(x),使得 F(x) (X 1)(ex 2a) (x 1)(e 2a) (x