FIR 濾波器和 IIR 濾波器格型結(jié)構(gòu)

1、4.3.5 全零點格型結(jié)構(gòu)1973年，Gray 和Markel 提出一種新的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式，即格型結(jié)構(gòu)（lattice structure）。這是一種很有用的結(jié)構(gòu)，在功率譜估計、語音處理、自適應(yīng)濾波等方面以得到了廣泛的應(yīng)用。這種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點是，對有限字長效應(yīng)的敏感度低，且適合遞推算法。這種結(jié)構(gòu)有三種形式，即適用于FIR系統(tǒng)的全極點格型結(jié)構(gòu)和適用于IIR系統(tǒng)的全極點和零極點格型結(jié)構(gòu)。下面先介紹圖7.10所示的全零點格型結(jié)構(gòu)。其他兩種個性結(jié)構(gòu)將留到第4.3節(jié)討論。格型結(jié)構(gòu)是由多個基本單元級聯(lián)起來的一種極為規(guī)范化的結(jié)構(gòu)。圖7.11 示出其中的第極。與FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)一樣，全零點格型結(jié)構(gòu)也是沒有反

2、饋支路的， 圖7.10 全零點格型結(jié)構(gòu)圖7.11 全零點格型結(jié)構(gòu)的基本單元讓我們從一組FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)開始研究全零點格型結(jié)構(gòu)。圖7.10 中，以為輸入序列，后接個格型級，這樣就形成個濾波器：第（）個濾波器有兩個輸出，即上輸出和下輸出。以為輸出的濾波器稱為前向濾波器；以為輸出的濾波器稱為后向濾波器。對于個前向FIR濾波器，它們的系統(tǒng)函數(shù)為： （18）式中，是多項式： （19） 這里，為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方便，令式子右邊第1項為1；下標(biāo)代表濾波器序號，也代表濾波器的階數(shù)，例如，給定 以及，則第4個濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 設(shè)第個濾波器的輸入、輸出序列分別是和，則 （21）其直接型實現(xiàn)如圖12所示。 圖7

3、.12 FIR濾波器的一種直接實現(xiàn)形式 階濾波器的輸出可表示為 （22）該輸出也可以從圖12所示的第一級格型濾波器得到。圖中，兩個輸入端聯(lián)在一起，激勵信號為。從兩個輸出端得到的信號分別為 和： （23）其次我們考慮二階FIR濾波器，它的直接型結(jié)構(gòu)輸出為 （24）上式將輸出表示為兩個向量的內(nèi)積，T 表示向量轉(zhuǎn)置。相應(yīng)地，這個二階濾波器可以用兩個級聯(lián)的格型單元（圖10 前面的兩級）來實現(xiàn)。，圖中，第一級的輸出為 （25） （26）將式（25）中的代入式（26）中，得 （27）現(xiàn)在令式（24）和式（27）的系數(shù)相等，即 （28）于是，得二階格型結(jié)構(gòu)的參數(shù) （29）其中，這個結(jié)果是很容易理解的。從圖7

4、.12 看，如果濾波器階數(shù)，則時延為2的輸入輸出傳輸值為，而從圖7.10看，從輸入到上端輸出有三條可能的支路，而其中時延為2的支路傳輸值為。如果這兩個流圖等效，則應(yīng)有。因此可以推論，若有個格型級，則其最右邊的支路與直接型結(jié)構(gòu)的參數(shù)相等： （30）為了得到其它支路傳輸值與直接型結(jié)構(gòu)的參數(shù)之間的關(guān)系，我們需要從圖7.10 所示的階格型結(jié)構(gòu)的最右邊做起：根據(jù)階濾波器的直接型參數(shù)，依次求， 階濾波器的直接型參數(shù)。這是降階遞推。只要求出階濾波器的系數(shù)組，則格型結(jié)構(gòu)的支路傳輸。式（29）表明，二階格型結(jié)構(gòu)的兩個參數(shù)和可以根據(jù)直接型結(jié)構(gòu)的參數(shù)求出。繼續(xù)這個過程，可以得到一個階直接型FIR濾波器和一個階或級格

5、型濾波器之間的等效性。按照圖7.10，格型濾波器可用遞歸方程描述為 （31） （32） （33）因此，第級濾波器的輸出相當(dāng)于 階FIR 濾波器的輸出，即 （34）因為FIR濾波器和格型濾波器的輸出可以表示為 （35）而這個式子是兩個序列的卷積和，所以它遵從變換關(guān)系 故 （36）現(xiàn)在我們來看二級格型濾波器的另一個輸出。由圖7.10得 （37）可見，對于為輸出的后向濾波器，濾波系數(shù)組為，而對于以為輸出的濾波器，濾波系數(shù)組按相反次序排列，為。 根據(jù)以上分析。可見級格型濾波器的輸出可以用卷積和形式表示為 （38）式中，濾波系數(shù)與產(chǎn)生輸出的另一濾波器有關(guān)，只不過操作次序相反。例如，如果，則故 （39）在

6、域中，式（38）變?yōu)?（40）即 （41）這里，是下輸出端相對于輸入端的系統(tǒng)函數(shù)； （42）因為，故 （43）這個式子描述前、后向濾波器系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系。現(xiàn)在我們回到式（31）（33）的遞推方程組，并把它們變換到域，得 （44） （45） （46）各式除以并利用前面的關(guān)系式，可得 （47） （48） （49）因此，在域，一個格型級可用矩陣方程描述為 （50） 利用式（47）（49）可以根據(jù)格型濾波器系數(shù)，從開始按升階遞推法求出直接型濾波器系數(shù)。 例 給定三級格型濾波器如圖13所示。確定與之等效的直接型結(jié)構(gòu)的FIR濾波器系數(shù)。 圖13 給定三級格型濾波器 解 根據(jù)式（48），得 因此，對應(yīng)于單

7、級格型的FIR濾波器系數(shù)為。，因是的反轉(zhuǎn)多項式，故 其次，對于得格型濾波器，根據(jù)式（48）得 因此，對應(yīng)于二級格型的FIR濾波器系數(shù)為 ，。此外 最后，添上第三個格型級，得出多項式 因此，與給定三級格型濾波器等效的直接型FIR濾波器系數(shù)為 假定已知階直接型FIR濾波器的系數(shù)或者多項式，我們希望確定相應(yīng)的格型濾波器的系數(shù)組。對于第個格型級，可直接得出，所以，只需從開始降階遞推過程。為了得到，只需求出多項式 就可以得到。 根據(jù)式（48）和式（49），可以得到降階遞推關(guān)系： 于是， ， （51）例 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 確定對應(yīng)于該FIR濾波器的格型系數(shù)。解 首先，直接得出，而且 在的情況下，

8、利用式（51）降階遞推，得 因此，和。最后，在的情況下，再降階遞推，得 因此， 圖13示出所得三級格型濾波器。4.3.5 IIR系統(tǒng)的全極點格型結(jié)構(gòu) IIR濾波器的全極點系統(tǒng)函數(shù)為 （12）與階FIR系統(tǒng)函數(shù)相比較，可見這兩種系統(tǒng)互為逆系統(tǒng)。我們在第 節(jié)以研究了FIR系統(tǒng)的（全零點）格型結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在我們要基于式（12）找出IIR系統(tǒng)的全極點格型結(jié)構(gòu)。最簡單的途徑就是研究逆系統(tǒng)的信號流圖，從中找出規(guī)律。 給定一階FIR系統(tǒng)函數(shù)為 （13）則差分方程為 （14）圖19是相應(yīng)的信號流圖 圖19 一階FIR系統(tǒng)逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 （15）其差分方程為 （16）圖20示出相應(yīng)的信號流圖。 圖20 一階FI

9、R系統(tǒng)的逆系統(tǒng) 所以，可以按照圖21所示的中間步驟從原系統(tǒng)得到逆系統(tǒng)：（1） 將原系統(tǒng)流圖的直通通路全部反向（圖21a）。（2） 原系統(tǒng)流圖的直通通路傳輸值取倒數(shù)（圖21b）。 （3） 指向直通通路的支路傳輸值改變符號（圖21c）。(4) 改變輸入、輸出位置（圖21d）(5) 按照習(xí)慣，改畫圖21d，使輸入端在左，輸出端在右，即可得到圖20所示的逆系統(tǒng)。 圖21 從一階FIR系統(tǒng)得到其逆系統(tǒng)的中間步驟于是，可以用上述方法從圖7.10的全零點格型結(jié)構(gòu)得到圖7.22的全極點結(jié)構(gòu) 圖7.22 全極點格型結(jié)構(gòu)例 已知IIR系統(tǒng)函數(shù)為，求其格型結(jié)構(gòu)系數(shù)并畫出該結(jié)構(gòu)。解： 例 已求出FIR系統(tǒng)函數(shù)為的格型

10、結(jié)構(gòu)，如圖7.23 所示。 圖7.23 3階FIR系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)今逆系統(tǒng)，根據(jù)上述求逆系統(tǒng)流圖的方法，可知圖14是的流圖。 圖7.24 例 的全極點結(jié)構(gòu)例 已知 IIR系統(tǒng)函數(shù)為，求其格型結(jié)構(gòu)系數(shù)并畫出該結(jié)構(gòu)。解 利用MATLAB函數(shù)dir2latc 可以由已知的直接型結(jié)構(gòu)求出格型結(jié)構(gòu)系數(shù)。本例的MATLAB程序如下：b = 1 -1.7 1.53 -0.648;k = dir2latc(b)運行結(jié)果：k = 1.0000 -0.7026 0.7385 -0.6480所得的格型結(jié)構(gòu)示于圖7.25。 圖7.25 例 的全極點結(jié)構(gòu)4.3.6 IIR系統(tǒng)的零-極點格型結(jié)構(gòu)既有極點又有零點的IIR系統(tǒng)

11、函數(shù)為 （17）它的格型結(jié)構(gòu)示于圖7.26。由圖可以看出：（1） 如果 ，則圖7.26和圖7.22的全極點系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)完全一樣。（2） 如果 ，則7.26變成一個階FIR系統(tǒng)的直接實現(xiàn)形式。因此，圖7.26的上半部對應(yīng)全極點系統(tǒng)，其輸出點在圖中的點。顯然，下半部對上半部無任何反饋。于是，參數(shù)仍可按全極點系統(tǒng)的方法求出。上半部對下半部有影響。所以系數(shù)組和不會完全相同?，F(xiàn)在的任務(wù)是求出，。 圖7.26 零點-極點系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)上一節(jié)論述FIR全零點格型結(jié)構(gòu)時，曾介紹前向、后向濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。現(xiàn)在，由圖7.26可以看出：下半部的個輸入就是個后向濾波器的輸出，。將圖7.26與圖7.10對比一下，可

12、知對于圖7.26來說，后向濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是 ， （18）在按全極點格型結(jié)構(gòu)計算方法計算圖7.26的系數(shù)時，同時算出了。圖7.26中，下半部的個輸入端，用實心圓點標(biāo)出。定義整個系統(tǒng)的輸入端到下半部的個輸入端之間的系統(tǒng)函數(shù)為 （19）故得 （20）整個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)是加權(quán)后的總和，即 （21）式中， （上一節(jié)的公式 ）在求解時，將同時產(chǎn)生出和。詳見第 節(jié)。將式（ ）代入式（21），得 （22）下面說明系數(shù)組的遞推計算法。階多項式的形式如下： （23）將式（23）代入式（22），可求出多項式系數(shù)與和的關(guān)系為 （24） （25）這樣，若給出圖7.26中的系數(shù)組，則可求出該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子多項式的

13、系數(shù)。反之，若給定零極型系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，則可得到系統(tǒng)的格型實現(xiàn)。具體步驟是：（1） 計算圖7.26中的系數(shù)組。（2） 利用式（24）和式（25）從開始后向遞推求出。例 已知一個IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 畫出該系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)。解： 根據(jù)給出的分子多項式，知 作為習(xí)題，先求出全極點子系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)組。然后根據(jù)式（24）和式（25），求得系數(shù)組如下： 最后，畫出零極點格型結(jié)構(gòu)如圖27所示。 圖27 例 的零極點格型結(jié)構(gòu) 現(xiàn)在我們用MATLAB的函數(shù)dir2ladr驗證以上計算結(jié)果。文獻(xiàn) 提供了這個函數(shù)，本書把它轉(zhuǎn)錄于所附光盤中。這個函數(shù)將直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為格型結(jié)構(gòu)。% functionK,C = dir2ladr(b,a)% K = 格型系數(shù) % C = 梯型系數(shù) % b = 直接型的分子多項式系