2020高考數(shù)學大一輪復習-8第8講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布練習(理)(含解析)

1、第8講 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布刷好題一基礎題組練1.設隨機變量 X服從正態(tài)分布 N0 , 1),若p(x>i)= p,則P( 1<太0)=()1A. 2+ PB. 1 - pC. 1 2p1D” P解析：選D.因為隨機變量 X服從正態(tài)分布N(0, 1),所以正態(tài)分布曲線關于直線x=0對稱，1所以 RX>0)= RX<0)=2，RX>1) = P(太1) =p,所以 R 1<X<0)=RX<0) P(X< 1)12 P.2. 口袋中有編號分別為 1, 2, 3的三個大小和形狀相同的小球，從中任取2個，則取出的球的最大編號X的期望

2、為()1A.- 32 B.-3C. 28解析：選D.因為口袋中有編號分別為1, 2, 3的三個大小和形狀相同的小球，從中任取1 1C2C12個，所以取出的球的最大編號X的可能取值為2, 3,所以P(X= 2) = C2=3, P(X= 3)=方=212 87,所以 E(X) =2X -+3X -=-333 33. (2018 安徽合肥一模)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布N(100 , 4),現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取 10 000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在98 ,104內(nèi)的產(chǎn)品 估計有()(附：若 X 服從 N( (1 ,屋)，則<X<(1 + d ) = 0.

3、682 7, P( 2 o- <X<+ 2 o-=0.954 5)A. 4 093 件B. 4 772 件C. 6 827 件D. 8 186 件解析：選D.由題意可得，該正態(tài)分布的對稱軸為x=100,且(r=2,則質(zhì)量在96 ,104內(nèi)的產(chǎn)品的概率為P(-2(t<X< + 2 d) =0.954 5 ,而質(zhì)量在98 , 102內(nèi)的產(chǎn)品的概率為P(-(T<X<+(r) = 0.682 7,結(jié)合對稱性可知，質(zhì)量在 98 , 104內(nèi)的產(chǎn)品的概率為 0.682-12 -0 954 5 -0 682 7 7+5 27 = 0.818 6 ,據(jù)此估計質(zhì)量在98 ,1

4、04內(nèi)的產(chǎn)品的數(shù)量為10 000 X0.818 6 =8 186（件）.4.已知隨機變量 X十刀=8,若XR10 , 0.6）,則E（刀），D（刀）分別是（）A. 6, 2.4B. 2, 2.4C. 2, 5.6D. 6, 5.6解析：選B.由已知隨機變量 X十刀=8,所以t）=8 X因此，求得 E（ T ） =8-E（X） =8-10X0.6= 2,2D（刀）=（1） D（X） =10X0.6 X 0.4 = 2.4.5.某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是每人進行3個輪次的投籃；每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為。如果3甲各次投籃投中與否

5、互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù) X的期望是（）8A. 3B-3C. 25D.3解析：選B.在一輪投籃中，甲通過的概率為P= 未通過的概率為1.由題意可知，甲399個輪次通過的次數(shù)X的可能取值為0, 1, 2, 3,P(X= 1)=，x 9x924729p(x= 2)=(sx 9 * 9 =729,8 3 512 P(X= 3) = 9 =729.所以隨機變量X的分布列為X0123P124192512729729729729124192512 8數(shù)學期望 E（X）=0x 729+1x729+ 2* 耘+3X 法.6 . （2019 遼寧五校聯(lián)合體模擬 ）已知隨機變量 X服從正態(tài)分布 尺72,

6、 4）,則RX<70或X>76）等于.(附：(P( w (T<X< w + b) =0.682 7 , P(w2"X<w+2(t) =0.954 5)解析：因為隨機變量 X服從正態(tài)分布 N72, 4),所以 = 72, (r=2,所以R70<X<74) =0.682 7 , P(68<X<76) = 0.954 5 ,所以 RX<70)= 0.158 65 , RX>76)= 0.022 75 ,所以 RX<70 或 X>76) =0.158 65 +0.022 75 =0.181 4.答案：0.181 4

7、7 .若隨機變量 七的分布列如下表所不，E（己）= 1.6,則a b=0123P0.1ab0.1解析：易知 a, be 0 , 1,由 0.1 +a + b+0.1 =1,得 a+b=0.8 ,又由 E() =0X0.1 + 1X a+ 2x b + 3X0.1 = 1.6 ,得 a+ 2b=1.3,解得 a=0.3 , b= 0.5 ,貝 U a-b=- 0.2.答案：0.28 .某學校為了給運動會選拔志愿者，組委會舉辦了一個趣味答題活動.參選的志愿者回答三個問題，其中兩個是判斷題，另一個是有三個選項的單項選擇題，設E為回答正確的題數(shù)，則隨機變量 七的數(shù)學期望E（七）=.解析：由已知得 工的

8、可能取值為0, 1, 2, 3.P( E = 0)P( E =1)P( E = 2)P( E = 3)1122112 112 111 5 = 3 12'14二=.3 12'-x -x -= 一, 2 2 3 12'=-X-X-+-X-X-+-X-X2 2 3 2 2 3 2 2112 11111=-x-x-+-x-x-+-x-x2 2 3 2 2 3 2 21111 -x -x -=.2 2 3 12= 0x-+1x- + 2x- + 3x-答案：4 39 . （2019 西安模擬）一個盒子中裝有大量形狀、大小一樣但重量不盡相同的小球，從 中隨機抽取 50個作為樣本，稱

9、出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為5 , 15 , （15 ,25, （25, 35 , （35 , 45,由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）.（1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2）從盒子中隨機抽取 3個小球，其中重量在5, 15內(nèi)的小球個數(shù)為 X,求X的分布列和 數(shù)學期望.（以直方圖中的頻率作為概率）.解：(1)由題意，得(0.02 +0.032 +a+0.018) X10= 1,20克,解得a=0.03.由頻率分布直方圖可估計盒子中小球重量的眾數(shù)為而 50個樣本中小球重量的平均數(shù)為x =0.2 X 10+0.32 X 20+0.3 X 30+

10、0.18 X 40=24.6(克).故由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均數(shù)為24.6克.1(2)該盒子中小球重量在5,15內(nèi)的概率為5則XB3, 3(或者 E(X) =3X5 = 5.) 5 510. (2019 長沙模擬)某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi) 采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘，下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下 表所示： , X的可能取值為0, 1, 2, 3. 5P(X= 0)=C35 0 5 36448透512125'1 1 P(X= 1) =C13 - x5P(X= 3)=C3 551125.X0123P641254812

11、5121251125所以X的分布列為所以日X) =0X器+1* W+2X12512512一 十 3X1251一12535無雨無雨有兩有兩周二無雨有兩無雨有兩收益/萬元2015107.5若基地額外聘請工人，可在下周一當天完成全部采摘任務.無雨時收益為20萬元；有雨時，收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益；(2)該基地是否應該額外聘請工人，請說明理由.解：(1)設下周一無雨的概率為p,由題意得，p2= 0.36 ,解得p=0.6,基地收益

12、 X的可能取值為 20, 15, 10, 7.5 ,則 RX= 20)=0.36, P(X= 15)=0.24, P(X = 10)=0.24, P(X= 7.5) =0.16.所以基地收益X的分布列為X2015107.5P0.360.240.240.16E(X) =20X0.36+ 15X0.24+ 10X0.24+7.5 X0.16=14.4(萬元)，所以基地的預期收益為 14.4萬元.(2)設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，則其預期收益E(Y) =20X0.6 + 10X0.4 - a=16a(萬元)，E( Y) E(X) = 1.6 a(萬元).綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬

13、元時，不額外聘請工人；成本低于 1.6萬元時，額外聘請工人；成本恰為1.6萬元時，額外聘請或不聘請工人均可以.綜合題組練1 .某鮮奶店每天以每瓶 3元的價格從牧場購進若干瓶鮮牛奶，然后以每瓶7元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的鮮牛奶作垃圾處理.(1)若鮮奶店一天購進30瓶鮮牛奶，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：瓶，nCN)的函數(shù)解析式；(2)鮮奶店記錄了 100天鮮牛奶的日需求量(單位：瓶)，繪制出如下的柱形圖(例如：日 需求量為25瓶時，頻數(shù)為5):a H需求hl口加教以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.若該鮮奶店一天購進 30瓶鮮奶，X表示當天的利潤（

14、單位：元），求X的分布列及數(shù)學 期望；若該鮮奶店計劃一天購進 29瓶或30瓶鮮牛奶，你認為應購進 29瓶還是30瓶？請說 明理由.解：(1)當 n>30 時，y = 30X(7 3) = 120;一 一 7n-90, 0wnw29-當 nw29 時，y=(7 3) n3(30 n) = 7n90.故 y=, nC N.120, n>30(2)X 的可能取值為 85, 92, 99, 106, 113, 120,P(X= 85) =0.05 ,p(X= 92) =0.1 ,P(X= 99) =0.1 ,P(X= 106) =0.05 ,P(X= 113) =0.1 ,P(X= 120

15、) =0.6.X的分布列為X859299106113120P0.050.10.10.050.10.6E(X) = (85 +106)X0.05+ (92 +99+113)X0.1 +120X0.6 = 111.95.購進29瓶時，當天禾1J潤白數(shù)學期望為t=(25 X4 4X3)X0.05 + (26 X4 3X3)X0.1十 (27 X 42X3) X 0.1 +(28 X41X3)X0.05+29X4X0.7 =110.75 ,因為111.95 >110.75 ,所以應購進 30瓶.2 . (2019 洛陽尖子生第二次聯(lián)考)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：投資股市投資結(jié)

16、果獲利40%不賠不賺虧損20%概率113288購買基金投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率p13q1(1)當p=4時，求q的值.(2)已知甲、乙兩人分別選擇了 “投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他4 們中至少有一人獲利的概率大于求p的取值范圍.5 L(3)丙要將家中閑置的 10萬元錢進行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種 11方案中選擇一種，已知p= 2, q = 6,那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學期望較大？請說明理由.解：(1)因為“購買基金”后，投資結(jié)果只有“獲利” “不賠不賺” “虧損”三種，且 三種投資結(jié)果相互獨立，一一 115所以 p+

17、3+q= 1.又 p=4，所以 q=12.(2)記事件A為“甲投資股市且獲利”，事件B為“乙購買基金且獲利”，事件 C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”， 一 一貝 U C= ABU ABU AB，且 A, B 獨立.1 _ _由題息可知，P(A)=2，P(B) = p,一 一所以 RQ =P(AB) +R AB)+P(AB1. .1.11 . 1= 2(1 p)+2p+2P=2+p.因為 PQ =1+1p>4,所以 p>|. 2 255一12又p+q = 1, q>0,所以 p<.|所以p的取值范圍為 3, 2 .5 3(3)假設丙選擇“投資股市”白方案進行投

18、資，記 X為丙投資股市的獲利金額(單位：萬 元)，所以隨機變量X的分布列為X402P12183811_3 5則 E(X) =4X ,+ 0X a+(2) X -=-. 288 4假設丙選擇“購買基金”的方案進行投資，記Y為丙購買基金的獲利金額(單位：萬元)，所以隨機變量 Y的分布列為Y201P121316則 E(Y>=2x1 + 0x1+(-1)x1=|. 236 6因為 E(X) >E(Y), 所以丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學期望較大.3. (2019 高考全國卷I )為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新 藥更有效，為此進行動物實驗.試驗方案

19、如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試 驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安 排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠 治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1分，甲藥得一1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，p(i=0, 1,，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則po=0, p8 = 1, pi = ap 1+bp + cpi + 1( i =1, 2,，7),其中 a= RX= 1) , b= P(X= 0) , c= P(X= 1).假設 a = 0.5 , § = 0.8.(i