2019屆內(nèi)蒙古包頭市高三二模考試數(shù)學(xué)(文)試題

1、2019屆內(nèi)蒙古包頭市高三二?？荚嚁?shù)學(xué)（文）試題 2 x| x、單選題x 0,x R , B 1,0,1 ，則 AI BA.0,B.0,1C.1,1D. 0, 1,1解:1,0,B 1,0,1,AI1,0.故選:A.點(diǎn)評:本題主要考查集合的描述法、列舉法的定義以及交集的定義,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2 .已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)A. 1B.-1C.D. i解:1 i(1 i)(1 i)1 i(1 i)(1i)1-i 2故選:C.點(diǎn)評:本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.3 . “sin 旦是“2A.充分而不必要條件B.必要而不充分條

2、件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解:sin3推不出2所以3a .sin一”非充分條件,3一推出sin 3必要條件.立，2故選:點(diǎn)評:考查了三角函數(shù)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的本題考查了必要不充分條件的判斷, 理解掌握水平，是一道基礎(chǔ)題.4.定義運(yùn)算解:adA.C.r，-1根據(jù)題意得，f(x) 1x2f(0)0;bc,則函數(shù)f xsin x的大致圖象是(B.sin x且函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除 B、D;cosx,一， 一 1式時(shí)，f (x) 2(x)(x)函數(shù)f(x)在(0,)上是先遞減再遞增的，排除選項(xiàng)C ;點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷,考查根據(jù)解析式找圖象，意

3、在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5.r設(shè)向量a"，則 a bA.-2B. 1C.-1D. 2解:因?yàn)橄蛄縭- rb滿足| a一 2所以a2r 2ar r2b b2 3,r2 r r r2 a 2a b b由得：r r4ab 4，r r即 a b 1，點(diǎn)評：也可以利用極化不等式：ab=1/4(a+b) 2 -(a-b) 2.6.某程序框圖如圖所示，若輸入的N 6,則輸出的值是(A.C.B.D.5667解:經(jīng)過A次循環(huán)得到s2，k 2經(jīng)過第二次循環(huán)得到s112-,k3263經(jīng)過第三次循環(huán)得到s213,k43124經(jīng)過第四次循環(huán)得到s3412045，k5經(jīng)過第五次循環(huán)得到s

4、41九65306516人6笠過第八伏俯環(huán)得到s-,66427此時(shí)，不滿足判斷框中的條件，執(zhí)行輸出故輸出結(jié)果為67故選：D .點(diǎn)評：本題主要考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),常按照程序框圖的流程， 采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律.故選：B -27.已知雙曲線2 a2yr 1 a 0,b 0的離心率為2,則經(jīng)過第一象限的漸近線的傾 b2斜角為()B. 45D. 120A. 30°C. 60解：由題意可得e c 2, a即 c 2a ,b 7C2a2_ 73a，1的漸近線方程為y即為yJ3x .則經(jīng)過第一象限的漸近線的傾斜角為為：60故選：C .點(diǎn)評：也可以利用(b)2a8.已知函數(shù)f xl

5、n x,x 0xe ,xf x x b .若g x存在2個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是()A.1,0B.,1C. 1,D.0,1解：由 g(x) 0得 f(x) x b,作出函數(shù)f(x)和yx b的圖象如圖:當(dāng)直線y x b的截距b, 1 ,兩個(gè)函數(shù)的圖象都有 2個(gè)交點(diǎn), 即函數(shù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1,點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)與零點(diǎn)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交 點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵.9.已知等比數(shù)列 an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且1 a4a6，一a3, -a5, a，成等差數(shù)列，則的值2a3a5D.2解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,且q 0 ,-1Qa3,

6、2 a5, a，成等差數(shù)列，c 122 2a5 a3 a，貝U a3q a3 a3q ,化簡得q2 q 1 0 ,解得q 12則q "2a4 a6 a3q a5q5 1q，a3 a5a3 a52故選：A.點(diǎn)評:本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些 知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10 .若三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（b. 60 32 3、4,根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)三棱錐, 由俯視圖和側(cè)視圖知，底面是一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別是由正視圖知，三棱錐的高是4,1 140該幾何體的體積V - 4 （2 3） 4 ，3 23故選：

7、D .點(diǎn)評：本題主要考查三視圖求幾何體的體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵， 考查空間想象能力.11 .九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢？” （“錢”是古代的一種重量單位）.這個(gè)問題中，甲所得為（）A. 5錢B.錢c. 3錢d.勺錢4323【答案】B設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a 2d,a d,a,a d,a 2d,則a 2d a d a a d a 2d,解得 a 6d,又a

8、44a2dadaada2d5,a=1/Ua2da2 a-,633故選B.12.將邊長為2的正方形AAOQ （及其內(nèi)部）繞OOi旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，點(diǎn) B?C分別2 o 4是圓。和圓Oi上的點(diǎn)，ab長為二，A1C長為 ，且b與c在平面AAOQ的同 313側(cè)，則AOi與BC所成角的大小為（）A.3解：B. 一6C.一4D.一22_由弧長公式可知 AOiC ， AOB ,332在底面圓周上去點(diǎn) D且 AOD ，3則CD 面AOD ,則 BD / /AOi即 CBD為異面直線AQ與BC所成角,所以 CBD4BD考查了空間位置關(guān)系的證明， 意在本題主要考查了弧長公式及異面直線所成角的作法, 考查學(xué)生對這些

9、知識的理解掌握水平.二、填空題13.向平面區(qū)域x, y |0 x 1,0 y 1內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在曲線y ""X2下方的概率為.解：作出平面區(qū)域(x,y)吸收1, Ofy 1及曲線y TX2(xS0,y 0)如圖，1 2SE萬形 OABC 1 1 1 , Sg影1.44向平面區(qū)域(x,y)項(xiàng)收1, 01W 1內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，故答案為:本題主要考查幾何概型概率的求法,則該點(diǎn)落在曲線 y 百中下方的概率為P -.考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，意在考查學(xué)生對這 些知識的理解掌握水平.x y 1 014 .設(shè)x , y滿足約束條件y x 1 0,則z 2x 3 y的取值范圍是

10、x 1【答案】2,8作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的取值范圍.解：x y 1-0作出x, y滿足約束條件，則y x 1, 0對應(yīng)的平面區(qū)域(陰影部分)，x, 1由 z 2x 3y ,得 y 2x z , 33平移直線y 2x-,由圖象可知當(dāng)直線y x*經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，直線33332 z 一y x 的截距取大，此時(shí) z取大.3 3此時(shí)z的最大值為z 2 1 3 2 8 ,2由圖象可知當(dāng)直線 y -x3時(shí)z最小.三經(jīng)過點(diǎn)B(1,0)時(shí)，直線y32x -的截距最小，此 33此時(shí)z的最小值為z2頸z 8故答案為：2 , 8.點(diǎn)評:本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，意在考

11、查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，利用數(shù)形結(jié) 合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法.15.已知函數(shù)f x 2cos2 sin2 x sin x ,則f x的最大值為 222利用二倍角的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡函數(shù)的解析式，然后通過三角 函數(shù)的有界性求解函數(shù)的最大值.解: sinx2.2 X 2 Xf(x) 2cos sin 一 221 cosx 1 cosx . 3 .所以 f(x) 2 -sinx2 2213 3-cosx sin x 一222.,、3 5sin(x )-,-,當(dāng)且僅當(dāng)sin(x 一) 1時(shí)函數(shù)取得最大值. 62 26.5故答案為：5.2點(diǎn)評:本題主要考查兩角和與差的三

12、角函數(shù)、二倍角公式的應(yīng)用和三角函數(shù)的最值的求法,在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16 .已知E, F2為橢圓E的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E±(不與頂點(diǎn)重合)，MF1F2為等腰直角三角形，則 E的離心率為 .【答案】22. 1利用已知條件求出 a, c的關(guān)系，然后求解離心率.解：F1, F2橢圓E的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) M在E上(不與頂點(diǎn)重合)， MF1F2為等腰直角三角形，b2可得2c ,所以2ac a2 c2, a可得 e2 2e 1 0,因?yàn)?e (0,1),所以解得e&1.故答案為：桓1 .點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用和離心率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，

13、是基本知識的考查.三、解答題17 .在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知b 2ccosA 0.(1)若 b c 1,求 a 和 S ABC ;(2)求cosB的最小值.【答案】(1) a J3, S ABC叵(2)叵42(1)利用已知條件求出 A的余弦函數(shù)值，然后求解 A的值，然后求解三角形的面積;(2)通過余弦定理結(jié)合三角形的面積轉(zhuǎn)化求解即可.解:(1)因?yàn)閎 c12ccosA 0 ,得 cosA - 2所以a由正弦定理得sinAbSinB所以sin120sin 30S ABC1一acsin B 2sin30 44(2)把余弦定理代入b2ccosA2cb22c2

14、bc20,解得b2cosB22, 2a c b2ac2 2ac3c24ac2 . a2 3c24ac立.當(dāng)且僅當(dāng)222a c a.再由余弦定理得267S9乙種水稻3 4 5 6 6 &(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種水稻的產(chǎn)量更高?并說明理由;(2)求40株水稻顆粒重量的中位數(shù) m ,并將重量超過m和不超過m的水稻株數(shù)填入a2 3c2,即a J3c時(shí)，cosB取最小值點(diǎn)評: 本題主要考查三角形的解法、正余弦定理的應(yīng)用、三角形的面積以及基本不等式的應(yīng)用, 意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，是中檔題.18 .某農(nóng)場為了提高某品種水稻的產(chǎn)量，進(jìn)行良種優(yōu)選，在同一試驗(yàn)田中分兩塊種植了

15、甲？乙兩種水稻.為了比較甲？乙兩種水稻的產(chǎn)量，現(xiàn)從甲 ？乙兩種水稻中各隨機(jī)選取20株成熟水稻.根據(jù)每株水稻顆粒的重量(單位 ：克)繪制了如下莖葉圖甲種水梢89 7 6 29 877654332卜面的列聯(lián)表：超過m不超過m甲種水稻乙種水稻（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為兩種水稻的產(chǎn)量有差異2附：K2n ad bc;abcd acbdP K2 k0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）甲種水稻的產(chǎn)量更高， 理由見解析（2） m 80,列聯(lián)表見解析（3）有99% 的把握認(rèn)為兩種水稻的產(chǎn)量有差異（1）甲種水稻的產(chǎn)量更高， 可以從兩種水稻每株顆粒

16、重量中所含重量達(dá)80克以上多少，或兩種水稻每株®（粒重量的中位數(shù)，或兩種水稻每株顆粒重量的平均數(shù)，或 兩種水稻每株顆粒重量的多少中答出其中一種或其他合理理由均可；（2）由莖葉圖填寫列表即可；（3）由表中數(shù)據(jù)計(jì)算 k2,對照臨界值得出結(jié)論.解：（1）甲種水稻的產(chǎn)量更高.理由如下：由莖葉圖可知：甲種水稻每株顆粒重量中，有 75%的每株顆粒重量至少 80克，乙種水稻每株顆粒重量中，有 75%的每株顆粒重量 至多79克，因此甲種水稻的產(chǎn)量更高.由莖葉圖可知：甲種水稻每株顆粒重量的中位 數(shù)為85.5克，乙種水稻每株顆粒重量的中位數(shù)為73.5克，因此甲種水稻的產(chǎn)量更高.由莖葉圖可知：甲種水稻每株

17、顆粒重量的平均數(shù)高于80克，乙種水稻每株顆粒重量的平均數(shù)低于80克，因此甲種水稻的產(chǎn)量更高.由莖葉圖可知：甲種水稻每株顆粒重量 分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；乙種水稻每株顆粒重量分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又兩種水稻每株顆粒重量分布的區(qū)間相同，故可以 認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量更高.（注：以上給出了 4種理由，考生答出其中任意一種或其他合 理理由均可得注：以上給出了 4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得）79 81（2）由圣葉圖可知：m 80 .列聯(lián)表如下：2超過m不超過m甲種水稻155乙種水稻5152(3)由于k240 15 15 5 510 6635,所

18、以有99%的把握認(rèn)為兩種水稻20 20 20 20.的產(chǎn)量有差異.點(diǎn)評：本題主要考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題.19 .如圖，在四棱錐 P ABCD中，已知PC 底面ABCD , AB AD , AB/CD , AB 2, AD CD 1, E 是 PB 上一點(diǎn).(1)求證：平面EAC 平面PBC ；(2)若四棱錐P ABCD的體積為1,求點(diǎn)B到平面EAC的距離.【答案】(1)證明見解析(2)2.33(1)證明AC PC .設(shè)AB中點(diǎn)為G ,連接CG .推出CG AB , AC BC ,得到AC 平面PBC ,然后證明平面 EAC 平面PBC

19、 ; (2)設(shè)PC a ,并求出a 2 ,設(shè)B到平面EAC的距離為h ,則VE abc Vb eac得解.解：(D PC 平面 ABCD , AC 平面 ABCD ,得 AC PC .又 AD CD 1 .在 Rt ADC，得 AC 42 ,設(shè)AB中點(diǎn)為G ,連接CG .則四邊形 ADCG為邊長為1的正方形,所以 CG AB ,且 BC 42,因?yàn)?AC2 BC2 AB2,所以 AC BC ,又因?yàn)锽C PC C ,所以AC 平面PBC，又AC 平面EAC .所以平面EAC 平面PBC .(2)因?yàn)镻C 平面ABCD ,所以PC就是四棱錐P ABCD的高，設(shè)PC a ,因?yàn)锳B AD , AB

20、/CD ,所以四棱錐P ABCD的底面ABCD是直角梯形，111a因?yàn)?Vp ABCD- SabcdPC- -CD AB AD PC-1 ,所以得 a 2.33 22在直角三角形 PCB 中，pb JPC_BC J4 2 J6，CE - PB , 22因?yàn)镻C 平面ABCD,又PC 平面PCB ,所以平面PBC 平面ABCD,在平面PBC內(nèi)過點(diǎn)E作BC的垂線EF，交BC于點(diǎn)F ,1 則 EF 平面 ABCD，且 EF - PC 1 . 22.33在四面體E ABC中，設(shè)B到平面EAC的距離為h ,則VE ABC VB EAC ,即 S EACh S abc EF ,所以有 AC CE h AC

21、 CB EF，得 h CB EF CE所以點(diǎn)B到平面EAC的距離為2-3 .3點(diǎn)評： 本題主要考查直線與平面垂直的判斷定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法, 考查空間想象以及計(jì)算能力，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20 .設(shè)F為拋物線C : y2 2px的焦點(diǎn)，A是C上一點(diǎn)，F(xiàn)A的延長線交Y軸于點(diǎn)B ,A為FB的中點(diǎn)，且FB 3.(1)求拋物線C的方程；(2)過F作兩條互相垂直的直線 I, 12,直線11與C交于M , N兩點(diǎn)，直線12與C交于D , E兩點(diǎn)，求四邊形 MDNE面積的最小值.【答案】(1) y2 4x (2) 32(1)由題意畫出圖形，結(jié)合已知條件列式求得P,則拋

22、物線C的方程可求；(2)由已知直線li的斜率存在且不為0,設(shè)其方程為y k(x 1),與拋物線方程聯(lián)立，求出|MN|, | DE | ,可得四邊形 MDNE的面積，利用基本不等式求最值.解:(1)如圖,Q A為FB的中點(diǎn)，A到y(tǒng)軸的距離為|AF| 74p 3p | FB| 32千菅2，解得p拋物線C的方程為y2 4x ；(2)由已知直線11的斜率存在且不為 0,設(shè)其方程為y k(x 1).y k(x4x",得 k2x2 (2k24)xk20.x1x22同理設(shè)D(x3,x3x42M(x1，yj、N(x2,42,則 |MN | Xky3)、E(x4, y4),y2)x224(124k ,

23、貝U | DE | x3 x4 24(11 )-32 . k232.點(diǎn)評:1四邊形 MDNE 的面積 S -|MN |g|DE | 8(2 k 2元二次方程的本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長問題、 根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能 力，屬于中檔題.21. e是自然對數(shù)的底數(shù)，a 0,已知函數(shù)f x(1)若函數(shù)x有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)對于g【答案】(1)八1一0,- (2)證明見解析 e(1)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)等價(jià)于對應(yīng)方程有實(shí)數(shù)解，進(jìn)而分離參數(shù),并通過構(gòu)造函數(shù)g(x)xex,結(jié)合求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性來確定其最值，

24、從而得以確定參數(shù)a的范圍;(2)通過所要證明的不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式問題，通過分類討論分別加以證明，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值來證明與轉(zhuǎn)化.解:(1)由函數(shù)f(x)有零點(diǎn)知，方程f(x) xa0有頭數(shù)解，因?yàn)閍 exex 0 ,所以xx 0 .設(shè) g(x) xe , x (則a的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)xxe在x(,0)上的值域.因?yàn)間 (x)(x 1)ex,所以當(dāng)x1)時(shí)g(x) 0,函數(shù)g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，當(dāng)x ( 1,0)時(shí)g(x) 0,函數(shù)g(x)在(1,0)上單調(diào)遞減,故函數(shù)g(x)在x1時(shí)，取得最大值g( 1)1(1)- e又x (, 1)上,g

25、(x)xex 0 ,所以函數(shù)g(x)xex 在 x (,1)上的值域?yàn)?0 , 1 .當(dāng) xe1,0)時(shí)，g(x)xex 0,所以函數(shù)g(x)xex在x (,0)上的值域?yàn)?0, 1.e從而函數(shù)f (x)(2) f (x)鹿ax二有零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0 , e11 一二可以轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)不等式 g(x 1) g(e )x xeg(x 1以 %(ex)xg(x 1) g(e )設(shè) F(x),1)時(shí)，F(xiàn) (x) 0,函數(shù)F(x)在(，1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x (1,)時(shí),1 xxxe a -,所以 F (x) (x 1)e , eF (x) 0,函數(shù)F(x)在(1,)上單調(diào)遞增.故函數(shù) F(

26、x)在x1時(shí)，取得最小值11F( 1) ( 1) a a ee20 ,所以 F(x)鹿F ( 1) 0. e1f(x) ag(x 1)設(shè) G(x)=ex x 1,有 G(x) ex 1,當(dāng) x 0 時(shí)，G (x) 0 .函數(shù) G(x)在(，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)G(x) 0, G(x)在(0,)上單調(diào)遞增.故函數(shù)G(x)在x 0時(shí)，取得最小值G(0) e0 0 1 0.所以G(x)G(0) 0,得x 1, ex.(僅當(dāng)x 0時(shí)取等號)又由g(x) ex為增函數(shù)，得0 g(x 1卵Jg(ex)g(x 1) g(ex)合并得證f(x)鹿g(x 1) g(ex)點(diǎn)評: 本題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，不等式的證明，考查推理論證能力函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，難度較大.一 八x 3 t一22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，(t為參數(shù))，在以坐