2020高考數(shù)學二輪復習難點2-12推理與新定義問題教學案文

1、2019 年【2019最新】精選高考數(shù)學二輪復習難點2-12推理與新定義問題教學案文隨著新課標的深入實施，素質教育要求不斷提高，全國各地的高考試卷都相繼推出了 以能力立意為目標，以增大思維容量為特色，具有相當濃度和明確導向的創(chuàng)新題型脫 穎而出，為高考試題增添了活力.縱觀近年各地高考的創(chuàng)新題型，不難發(fā)現(xiàn)，推理與“新定義”型這種題目是高考試題的一大熱點. 所謂“新定義”型問題，主要是指在 問題中定義了中學數(shù)學中沒有學過的一些新概念、 新運算、新符號，要求學生讀懂題 意并結合已有的知識、能力進行理解， 并根據(jù)新的定義進行運算、推理、遷移的一種 題型.這類題目具有啟發(fā)性、思考性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點，

2、由于它構思巧妙，題 意新穎，是考察學生綜合素質和能力、挖掘學生潛力的較佳題型，因而它受到命題者 的青睞.一.新定義以新課標內容為背景，這種類型的問題很多，一般是以新課標教材內容為背景，給出 某種新概念、新運算（符號）、新法則（公式）等，學生在理解相關新概念、新運算（符號）、新法則（公式）之后，運用新課標學過的知識，結合已掌握的技能，通過 推理、運算等尋求問題解決.縱觀這幾年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)，“新定義”型問題 按其命題背景可分為三種類型：以新課標內容為背景、以高等數(shù)學為背景、以跨學科 為背景.現(xiàn)就相關類型作探討：1 .新定義集合所謂“新定義集合”，給出集合元素滿足的性質，探討集合中的元素屬性

3、，要求有較 高的抽象思維和邏輯推理能力.由于此類題目編制角度新穎，突出能力立意，突出學 生數(shù)學素質的考查，特別能夠考查學生“現(xiàn)場做題”的能力，并且在近幾年高考模擬 試題和高考試題中出現(xiàn)頻繁出現(xiàn).下面選取幾例進行分類歸納，解題時應時刻牢記集 合元素的三要素：確定性，互異性，無序性.例1.已知集合，若對于任意，存在，使得成立，則稱集合是“理想集合”.給出下列4個集合：；.其中所有“理想集合”的序號是() 1、M (x,y)|y f(x)(Xi,yi) M(X2,y2) Mx? y. 0 M M (x, y) | y XxM ( x, y)| y sin x M ( x, y) | y e 2 M

4、( x, y) | y 1g xA.B. C.D.【答案】B【解析】由題意得，設盤/a上現(xiàn)布小。，又巧巧叱可知53,55,對于項，='是以工了軸 X為日麗線的雙曲柒，漸近的夾角為9?？谒援旤c,九8在同一支上時J44Q8V9Q，當點B不 在同一支上時，乙皿孫，不存在至一方，的不正確j噴，逋過對圖象的分析發(fā)現(xiàn)對于任意的點都能找到對應的點，使得成立，故正確；項由圖象可得，直角始終存在，故正確;項，由圖象可知，點在曲線上不存在另外一個點，使得成立，故錯誤；綜合正uuu uuu uuu uuu確，所以選 B. A BOA OB(1,0) OA OB點評：本題主要考查的是平面向量數(shù)量積的應用，元

5、素與集合的關系，數(shù)形結合的思想，推理分析與綜合運算能力，屬于難題，此類新定義問題最主要是弄明白問題的實 質是什么，對于此題而言，通過可得出就是在函數(shù)的曲線上找任意一個點都能找到一個點，使得成立，找到新定義的含義了，剩余的選項中都是我們所熟知的基本初等函數(shù)，可通過數(shù)形結合分析即可求解，所以對新定義的轉化能力是解這類問題的關uuu uuu鍵.x)x2 y1y2 0 A B OA OB2 .新定義函數(shù)例2.12018湖南株洲兩校聯(lián)考】設函數(shù)f (x)的定義域為D,若f (x)滿足條件:存在a, b? D （a b）,使f （x）在a , b上的值域也是a, b,則稱為“優(yōu)美函 數(shù)”，若函數(shù)為“優(yōu)美函

6、數(shù)”，則t的取值范圍是（）f x log2 4x tA. B. C. D.110，1 0，20，4【解析】x）=1嗥代+才）為增留她 存在，間匚間"）橫"M在卜上的值域也為k同， log3（4fl + r） = ci¥ + r = r則 1 ,即7/5是方程4止-尸十T二0的兩個不等的根設丁 =加，1哈（4韋）=合爐+ "2-'一 / /十=。有兩個不等的實根，且兩根都大于0% 0 I解得J故答案選。評：定義新函數(shù)的定義域與值域相同， 先判定函數(shù)的單調性，然后轉化為函數(shù)方程根的情況，本題的關鍵也是能否轉化為函數(shù)根的問題，然后求解.例3.若函數(shù)在區(qū)

7、間上，均可為一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“三角形函 數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為一、. 1A.1 e2 22 (一 ,)(一,e e ef(x) A a b c A f (a) f (b) f (c) f (x) f (x) xln x m ,e m e、e2 2)(,)e【答案】A【解析根據(jù)三角形星幽r的定義可知，若任）在區(qū)間工上的,'三角影讖r.則/（工）在凡上的最大值和最小值應篇足加2小，由八同=1口什1=0可得工=%所以（»在上單調遞斌在上單調遞增，二明一1A =f（a=陽+z，所以回心琢2哂一1）0,解得曬的取值范圍為（L 5）,故選

8、工占J '、評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查考生應用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.解答本題首先通過給出的定義把問題轉化為函數(shù)的最值 問題，通過導數(shù)研究其單調性，得到最小值，通過比較區(qū)間端點的函數(shù)值求出最大值， 列出關于參數(shù)的不等式，進而求得其范圍.m3 .新定義數(shù)列例4.【XX市XX區(qū)2018屆質檢】設數(shù)列滿足：；所有項；.設集合，將集合中的元素的最大值記為.換句話說，是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列.例如，數(shù)列 1,3,5的伴隨數(shù)列為一*，一*1,1,2,2,3. an a11 anN 1aa?anan 1Amn |

9、anm,m NAm bm bm &an m 4 an(1)若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,請寫出數(shù)列；an an(2)設，求數(shù)列的彳隨數(shù)列的前100之和；an 3n 1 為 0(3)若數(shù)列的前項和(其中常數(shù))，試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項和. an n Sn 3 n2 1 n c c an bn m Tm 22思路分析：(1)根據(jù)伴隨數(shù)列的定義求出數(shù)列；(2)根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得：，由 對數(shù)的運算對分類討論求出伴隨數(shù)列的前 100項以及它們的和；(3)由題意和與的關 系式求出，代入得，并求出伴隨數(shù)列的各項，再對分類討論，分別求出伴隨數(shù)列的前項和.ann 1 log3m m N

10、mbnan Sn anan m nm_2m Nbmmbmm Tm3試題解析:1A7.(2)由/ =m j得科Ml + lcg產(chǎn)| m C 2V* J】當M M 2而E用*時，4=4=1當 3 £明 E&陶 E .V* 時 j &=%=-=%1=? ?當 9 £ w? K 2® wi W.V* 時 j %=電=3當27 VwiVEO：出亡A廣時, 區(qū)彳:4公二二石2=4 ,當El M祐4100：步曰V時,與=與；=4工,=5 / ，. + 與 +-+ %=1乂2+2x 6+ 3乂丈51+£火20 = 384(3)，當時,由得：，二.使得成立

11、的的最大值為,當時：，當時:aiS110 n 2 an S1 3n 2 a。3n一一*Nan 3n 23tTmTmTm1 t t 3 t2 t點評:m n bm bi2t3t2 t本題考查數(shù)列的應用,b2b3 1,b4b53t2 tb62,3t6mm3b3t 2b3t 1b3t3t3t3t,t3t ,t著重考查對抽象概念的理解與綜合應用的能力，觀察、分析尋找規(guī)律是難點，是難題.4 .定義新運算型例5.【四川省XX市2018屆12月月考】定義一種運算，若，當有 5個不同的零點日寸，則實數(shù)的取值范圍是（）aba,abfx 2x x24x3gx f x m mb,a bA. B. C. D.0,1

12、0,1 1,3 1,3【答案】A點評：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：（1）直接 法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.一 是轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.y gx,y hxy a, y gx5 .定義新法則型例6. 一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信

13、中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由 0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?0）,已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算 定義為：.現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯誤后變成了 1101101,那么利用上述校驗方程組可判定等X4 X5 X6 X70,于.KX2LXnn NXkk 1,2,L ,n kX1X2LX7X2X3X6X70,X1 X3 X5 X70,0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0 k k思路分析：根據(jù)二元碼及新定義，分析新定義的特點，按照所給的數(shù)學規(guī)則和要求進 行邏輯推理和計算求得.【答案5【解析】由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運算后為不同救字運

14、算后為L由馬5%£%£二0可判斷后4個數(shù)字出錯；由為9匹蝕/S毛=0可判斷后2個數(shù)字沒錯，艮咄錯的是第4個或第5個事由為日丐國葺3尤=?？膳袛喑鲥e的是第5個綜上，第4位發(fā)生碼元錯誤.點評：本題以二元碼為背景考查新定義問題， 解決時候要耐心讀題，并分析新定義的 特點，按照所給的數(shù)學規(guī)則和要求進行邏輯推理和計算等，從而達到解決問題的目 的.對于新法則，關鍵在于找到元素之間的對應關系， 我們可以借助圖表等方法尋找 它們之間的對應關系，利用對應關系列方程.6 .以高等數(shù)學為背景.本類型的題目通常是以高等數(shù)學符號、概念直接出現(xiàn)或以高等數(shù)學概念、定理作為依托融于初等數(shù)學知識中.此類問題

15、的設計雖來源于高等數(shù)學， 但一般是起點高，落點低，它的解決的方法還是運用中學數(shù)學的基本知識和基本技能.這要求學生認真閱讀相關定義或方法，在充分理解題意的基礎上，結合已有的知識進行解題.例7.對于使成立的所有常數(shù) M中，我們把M的最大值-1,稱為函數(shù)的“下確界”，若的“下確界”為x2 2xA、822yM x 2x x, y, z R , x y 2z 0, xz【思路分析】根據(jù)“下確界”的定義，將問題轉化為求的最小值2 yxz【解析】由且，即，從而,由“下確界”的定義得“下確界”為8 . x, y, z R x y 2z 0 y2x 2z 2.2xz y 2 2 8 xz xzC、 4 D 、1

16、2 yxz點評：本題要充分理解題意，準確把握“下確界”的實質是什么？從而轉化求的最小 值的問題，運用學過的知識，便能求出相應函數(shù)的最值.3以跨學科為背景本類型的題目，主要是介紹數(shù)學知識在其他學科或領域的運用，一般都會介紹運用時的知識背景、數(shù)學模型，因而題中文字、信息較多.學生必須準確地把握題意、理順 線索、分析相應數(shù)學模型與數(shù)學知識的內在聯(lián)系， 結合學生已有的知識和能力進行推 理、運算.例8.設數(shù)列A: , ,().如果對小于()的每個正整數(shù)都有 < ,則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.a a2aN N n 2 n N k ak an n G(A)(1

17、)對數(shù)列A: -2, 2,-1 ,1, 3,寫出的所有元素；G(A)(2)證明：若數(shù)列A中存在使得，則；ananaG(A)(3)證明：若數(shù)列A滿足-<l(n=2,3,N),則的元素個數(shù)不小于-.aa01 G(A) aN 4思路分析：（1）關鍵是理解G時刻的定義，根據(jù)定義即可寫出的所有元素；（2）要證, 即證中含有一元素即可；（3）當時，結論成立.只要證明當時仍然成立即 可.G(A)G(A) G(A)aN a aN 4試題解析：GG）的元素為2和5因為存在與使得41A %所以十W叼2, Wh記掰=mill（! eA7*|2 <r<Ar=j. >aY?且對在首止整數(shù)代科生。

18、/門寸因此所亡仃，從而仃5）*0一（3）當內 £%時，結論成立以下設小 >勺由<11 ）知GM），0設=卜1：打23一.內尸.打1«打工< -記苗s =1則4 v4 <厘的 < 一4凡 對f=QL記。二上三入叫vkMM? 一如果母工0,取個=min % 則對任何】三立 < 加"v% 一從而mt 6改用且叫=3.又因為,是。中的最大元素，所以=打，從而對任意勾0 k *打，心特別地，口、。月對，= Ol-p-Ldf 的,因此門口 二口* J3*"七 討所以P心一/ < &.一6= 2（小 一口 >Sp

19、-f-L評：數(shù)列的實際應用題要注意分析題意， 將實際問題轉化為常用的數(shù)列模型， 數(shù)列的 綜合問題涉及到的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想（如：求最值或基本量）、轉化與化歸思 想（如：求和或應用）、特殊到一般思想（如：求通項公式）、分類討論思想（如：等比 數(shù)列求和，或）等.q 1 q 1 由上各例可見，“新定義”型的問題，通常是選取合適的數(shù)學背景，把新定義、新運算、新符號等巧妙的融入高考試題中來，雖然它的構思巧妙、題意新穎、隱蔽性強， 到處都體現(xiàn)出新意，但是，它考查的還是基本知識和基本技能， 解題的關鍵在于全面準確理解題意，科學合理的推理運算.因此，“新題”不一定是“難題”，只有夯實2019 年 基礎，

20、掌握好雙基，以不變應萬變才是我們取勝的法寶.二.推理問題最近幾年，在高考數(shù)學命題中，在考查考生對基礎知識掌握情況的同時,也逐漸加大了 對學生綜合應用能力的考查.合情推理創(chuàng)新題型的考查力度增大，要求考生在推理過 程中具備獨特的方法和技巧.這類題型在高考試題中的位置較為特殊，尤其是“類比 推理”和“歸納推理”題型.1.類比推理類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和已知其中一類對象的某些特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.類比推理在具體實施過程中，關鍵是找到兩類對象之 間可以確切表述的相似特征.然后，用一類對象的已知特征，去推測另一類對象的特 征，從而得到一個猜想，最后檢驗這個猜想.它是數(shù)學的

21、重要方法之一.要找到類比， 往往需要一點想象力和創(chuàng)新精神，在高中階段類比方向主要集中在等差數(shù)列與等比數(shù) 列，平面幾何與立體幾何，平面向量與空間向量等 例9.已知是的三邊，若滿足，即，為直角三角形，類比此結論：若滿足時，的形狀為.(填“銳角三角形”，“直角三角形”或“鈍角三角形“).a,b,c ABCa2 b2 c2 (-)2 (b)2 1 ABC an bn cn (n N,n 3) ABC c c22naba b2,22-1 a b cc c c c思路分析：本題考查解三角形、類比推理，涉及分類討論思想、數(shù)形結合思想和轉化 化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，

22、屬于較 難題型.首先判斷得最大，則角最大， nncC an bn cn (n N,n 3) a b 1 c ccosC a b c 00 C ,故該三角形為銳角三角形2ab22.22【答案】銳角三角形2019 年【解析】易得最大，則C龜最大J優(yōu)一方叱3)n _； + _： =1、, 、 j ,kcJ ,故該三角形為銳角三角22nn2.22a b a b222abc.1 a2 b2 c2 cosC 00 C -c c c c2ab2點評：類比推理是合情推理中的一類重要推理， 強調的是兩類事物之間的相似性，有 共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素， 類比可以由概念性質上的相似性引起，如等差 數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起.當然首先是在某些方面有 一定的共性，才能有方法上的類比