2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題復(fù)習(xí)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)練習(xí)題含答案解析

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題復(fù)習(xí)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)練習(xí)題含答案解析一、旋轉(zhuǎn)1 .操作與證明：如圖1,把一個含45 °角的直角三角板 ECF和一個正方形 ABCD擺放在一 起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點 C重合，點E、F分別在正方形的邊 CB CD上, 連接AF.取AF中點 M, EF的中點N,連接 MD、MN.（1）連接AE,求證：4AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷 MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1： DM、MN的數(shù)量關(guān)系是結(jié)論2: DM、MN的位置關(guān)系是一；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板 ECF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)

2、180°,其他條件不變，則（2）中的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析. 【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF繼而證明出 ABE0ADF,得到AE=AF從而證明出 4AEF是等腰三角形；（2） DM、MN的數(shù)量關(guān) 系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個底角相等性質(zhì)，及全等三角形對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接 AE,交MD于點G,標(biāo)記出各個角，首先證明

3、出 1 1MN/AE, MN='aE,利用三角形全等證出 AE=AF,而DM=AF,從而得到 DM, MN數(shù)量相 等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān)系得到/DMN=/DGE=90,從而得到 DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）二.四邊形 ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD / B=/ ADF=90 , = CEF 是等腰直角三角形，/C=90,，CE=CF . .BC- CE=C> CF,即 BE=DF.ABEAADF,AE=AFAAEF是等腰三角形；（2） DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等， DM、MN的位置關(guān)系是垂直； 二,

4、在RtADF中DM是斜邊 AF的中線，AF=2DM, / MN 是4AEF的中位線，AE=2MN, -. AE=AF, . . DM=MN ; -/ DMF=/ DAF+/ ADM ,AM=MD , / FMN=Z FAE / DAF=Z BAE,/ ADM= / DAF=Z BAE, . / DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/ BAE+Z FAEBAD=90. DM，MN ; (3) (2)中的兩個結(jié)論還成立，連接 AE,交MD于點G,二點M為AF的中點，點N為EF的中點， 1 .MN/AE, MN=?AE,由已知得， AB=AD=BC=CD / B=/ADF, CE=CF 又. BC

5、+CE=CD+C F 即 BE=DF /. AABEAADF, ，AE=AF,在 RtADF 中，點 M 為 AF 的 巴中點，DM=2AF,DM=MN , AABE AADF,，/1 = /2,-. AB/DF,，/1 = /3,同理可證：Z2=Z4, .l. Z3=Z4, 1 DM=AM , ，/MAD=/5,Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+ Z 3=90 ,° / MN / AE, . . / DMN= / DGE=90 . DM，MN .所以(2)中的兩個結(jié)論還成立.考點：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.三角形中位線定理；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.在正方形

6、 ABCD中，點E, F分別在邊BC, CD上，且/ EAF=/ CEF=45：（1）將4ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn) 90°,得到4ABG儀口圖），求證：AE84AEF;（2）若直線EF與AB, AD的延長線分別交于點 M, N（如圖），求證：Ep=ME2+NF2;（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖），請你直接寫出線段 EF,BE, DF之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）證明見解析;(2)證明見解析；(3) EF2=2BE2+2DF2.【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 AF=AG, /EAF=Z GAE=45 ,故可證4AE® AAEF;（2）將

7、ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AARG,連結(jié)GM.由（1）知 AE8 4AEF則EG=EF再由 BME、DNF、 CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF BE=BM, NF=?DF,然后證明/ GME=90 , MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF?=ME2+NF2；(3)將4ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AARG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到 ADFAABG,貝U DF=BG 再證明AE8 4AEF,得出 EG=EF 由 EG=BG+BE 等量代換 得至U EF=BE+DF試題解析：(1) .ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABa.

8、AF=AG, Z FAG=90,°3 / EAF=45 , °/ GAE=45 ；在 AGE與AFE中，AG = AF = 1AE = 45 IAE = AE4 .AGEAAFE (SAS ;ADGB -2rC雷(2)設(shè)正方形 ABCD的邊長為a.將 ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得至iABG,連結(jié)GM .貝gADFMBG, DF=BG由(1)知AE8 4AEF,.EG=EF5 / CEF=45,° .BME、DNF、CEF均為等腰直角三角形， .CE=CF BE=BM, NF= DF, a - BE=a- DF,.BE=DF .BE=BM=DF=BG

9、/ BMG=45 ；/ GME=45 +45 =90 ；EG2=ME2+MG2, . EG=EF MG=$BM= f，DF=NF,.1.ef2=me2+nf2；D(3) EF2=2BE2+2DF2.如圖所示，延長 EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AAGH,連結(jié)HM , HE.由(1)知AEHAEF,則由勾股定理有(GH+BE 2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+ (BM GM) 2=EH2又.EFuHE DF=GH=GM, BE=BM,所以有(GH+BE) 2+ (BE- GH) 2=EF2, 即 2 (DF2+BE2) =EF2

10、B®考點：四邊形綜合題3. (1)如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點O,過點O作直線EF± BD,交 AD于點E,交BC于點F,連接BE、DF,且BE平分/ABD. 求證：四邊形 BFDE是菱形；直接寫出/EBF的度數(shù)；(2)把(1)中菱形BFDE進行分離研究，如圖 ，點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連 接GD, H為GD的中點，連接 FH并延長，交ED于點J,連接IJ IH、IF、IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說明理由；(3)把中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖 ，當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角 線AC上一點，連接

11、DE、EE DF,使4DEF是等腰直角三角形， DF交AC于點G.請直接寫 出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)詳見解析；60° . (2) IH=>/3fH； (3) EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】(1) 由ADO三BOF,推出EO= OF, OB= OD,推出四邊形 EBFD是平行四邊形， 再證明EB= ED即可. 先證明/ABD= 2ZADB,推出/ ADB= 30°,延長即可解決問題.(2) ih= J3fh.只要證明IJF是等邊三角形即可.(3)結(jié)論：EG2=AG2+C邑 如圖3中，將4ADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ADC

12、M,先證 明DE84DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中， 四邊形ABCD是矩形， .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOOD=OB , EOD= BOF.,.DOEABOF,E0= OF, -.OB=OD, 四邊形EBFD是平行四邊形,EF± BD, OB=OD,.EB=ED, 四邊形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED, / EBA / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °,，/ADB=30； /ABD=

13、60 ； / ABE / EBO= / OBF= 30 °,/ EB3 60 °.(2)結(jié)論：ih=J3fh.理由：如圖2中，延長BE至1J M,使得EM=EJ,連接MJ.V1. 四邊形EBFD是菱形，/ B= 60 ;,-.EB=BF= ED, DE/ BF,/ JDH= / FGH, 在DHJ和AGHF中，DHG= GHF DH=GH ,JDH= FGH .DH乒 AGHF, .DJ=FG, JkHF, .EJ= BG= EM=BI, .BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等邊三角形，,-.MJ=EM=NI, /M = /B=60

14、6; 在ABIF和AMJI中，BI=MJ B= M ,BF=IM .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH± JF / BF+Z BIF= 120 : / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ；. JIF是等邊三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IFH= 60°, / FIH= 30 °,.IH= 6fH.(3)結(jié)論：E=AG2+CE?.理由：如圖3中，將4ADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DCM,.AFED四點共圓，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC=

15、90 ； / ADF+Z EDC= 45 °, / ADF= / CDM, / CDM+Z CDE= 45 = / EDG,在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDM , DG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD= 45 ； AG= CM, / ECM= 90 °EC?+CM2= EM2, . EG= EM, AG=CM, .-.ge2=ag2+cE?.【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定 和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會轉(zhuǎn)

16、 化的思想思'考問題.4.已知正方形ABCD的邊長為4, 一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別 與BC DC的延長線交于點 E、F,連接EF,設(shè)CE= a, CF= b.(1)如圖1,當(dāng)a=4J2時，求b的值；(2)當(dāng)a=4時，在圖2中畫出相應(yīng)的圖形并求出 b的值；(3)如圖3,請直接寫出/EAF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式.圖1圖2圖3【答案】(1) 4& (2) b=8; (3) ab=32.【解析】試題分析：(1)由正方形ABCD的邊長為4,可得AC= 4點，/ ACB= 45 °.再C巳a = 4&,可得/CA曰/AEC

17、,從而可得/CAF的度數(shù)，既而可得 b=AC;(2)通過證明ACDECA,即可得；(3)通過證明ACD4ECA即可得.試題解析：(1) .正方形ABCD的邊長為4, .-.AC= 4后,/ ACB= 45 °.-，CE= a = 4 應(yīng)，Z CAE= Z AEC=竺-=22.5。，. . / CAF= / EAF/ CAE= 22.5 °,2/ AFC= / ACD- / CAF= 22.5 , °/ CAF= / AFC,b=AC= CF= 472 ；(2) ./FAE= 45°, ZACB= 45°,/ FAJ / CAE= 45°

18、;, Z CAE+ Z AEC= 45°,/ FAC=/ AEC又. / ACF= / ECA= 135°,AACFAECAACCFECCACF=. , CF=4,28,即 b=8.(3) ab=32.AC提不：由(2)知可證 ACQECA, ECCFCA4,2 .ab=32.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A(0, 4), B(4, 4),點M, N是射線OC上兩動點(OMvON),且運動過程中始終保持 /MAN = 45。，小明用幾何畫板探究其中的線段關(guān)系.(1)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點 M, N均在線段OB上時(如圖1),有OM2+BN2 = MN2.他的證明思路如下：第一步：

19、將4ANB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.第二步：證明 APMANM,得 MP=MM.第一步：證明 Z POM=90°,得 OM2+OP2=MP2.最后得到OM2+BN2 = MN2.請你完成第二步三角形全等的證明.圖1圖2圖3（2）繼續(xù)探究：除（1）外的其他情況，OM，BN2=MN2的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證 明；若不成立，請說明理由.（3）新題編制：若點B是MN的中點，請你編制一個計算題 （不標(biāo)注新的字母），并直接給出 答案（根據(jù)編出的問題層次，給不同的得分 ）.【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）見解析.【解析】【分析】（

20、1）將4ANB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得AAPO,連結(jié)PM,則有BN=OP.證明 APMAANM,再利用勾股定理即可解決問題;（2）如圖2中，當(dāng)點M, N在OB的延長線上時結(jié)論仍然成立.證明方法類似（1）;（3）如圖3中，若點B是MN的中點，求 MN的長.利用（2）中結(jié)論，構(gòu)建方程即可解 決問題.【詳解】A順時針旋轉(zhuǎn) 90°得APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.3 / NAP= / OAB= 90 °, / MAN = 45 °, / MAN= / MAP,4 . MA = MA, AN=AP,5 .MANAMAP（SAS）.（2）如圖2中，結(jié)論仍然成立.理

21、由：如圖2中，將4ANB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得APO,連結(jié)PM,則有BN= OP.p6 / NAP= / OAB= 90 °, / MAN = 45 °,/ MAN= / MAP,7 . MA = MA, AN=AP,8 .MANAMAP(SAS),.MN = PM,9 / ABN= ZAOP= 135 ； / AOB= 45 ；/ MOP=90 °,.PM2= OM2+OP2,.OM2+BN2=MN2；(3)如圖3中，若點 B是MN的中點，求 MN的長.設(shè) MN= 2x,貝U BM= BN=x,. OA = AB= 4, /OAB= 90 °

22、;, .OB=4.2 ,OM = 4 72 - x,1 OM2+BN2= MN2.(4 x/2 - x)2+x2= (2x)2,解得x= - 2拒+2而或-2拒-246 (舍棄)MN = - 4 72+4/6 .【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性 質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問 題，屬于中考壓軸題.6.如圖1, 4ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊 AB在射線OM上，且OA=6cm,點D 從。點出發(fā)，沿 OM的方向以1cm/s的速度運動，當(dāng) D不與點A重合時，將4ACD繞點C 逆時針方向旋轉(zhuǎn)

23、60°得到4BCE連結(jié)DE.(1)求證：4CDE是等邊三角形；(2)如圖2,當(dāng)6vtv10時，4BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出 4BDE的最小 周長；若不存在，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點D在射線OM上運動時，是否存在以 D、E、B為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出此時 t的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）見解析 （3）存在【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 /DCE=60。，DC=EC,即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)6vt<10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

24、得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CD）± AB時，4BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；（3）存在，當(dāng)點D于點B重合時，D, B, E不能構(gòu)成三角形， 當(dāng)04V6時，由旋 轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/ABE=60。，/BDE< 60。，求得/ BED=90。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到Z DEB=60 ；求得 /CEB=30 ；求得 OD=OA-DA=6-4=2,于是得到 t=2 + 1s2 當(dāng) 6<t< 10sA D B圖2時，此時不存在； 當(dāng)t>10s時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 / DBE=60°,求得/ BDE>60°,于 得到 t=14+ 1=14&

25、gt;.試題解析：（1）證明：二.將4ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到abce/ DCE=60 ； DC=EC,.cde是等邊三角形； （2）存在，當(dāng)6<t<10時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=AD, Ca dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知， cde是等邊三角形,DE=CD,Cadbe=CD+4,由垂線段最短可知，當(dāng)CD）± AB時，4BDE的周長最小,此時，CD=2、,3cm, .BDE 的最/J、周長=CD+4=2T3+4；（3）存在，二當(dāng)點D與點B重合時，D, B, E不能構(gòu)成三角形, 當(dāng)點D與點B重合時，不符合題意；當(dāng)04<6時，由旋

26、轉(zhuǎn)可知，Z ABE=60°, /BDEv 60°,/ BED=90 ；由（1）可知，4CDE是等邊三角形，/ DEB=60 ；/ CEB=30 ； / ceb=z cda,/ CDA=30 ；/ CAB=60 ；/ ACD=/ADC=30 : . DA=CA=4,，OD=OA DA=6 4=2, ，t=2 + 1=2 當(dāng) 6vtv10s時，由 ZDBE=120 °>90°,，此時不存在；當(dāng)t>10s時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，Z DBE=60 °,又由(1)知/ CDE=60°,/ BDE=Z CD曰/ BDC=60 +/ BD

27、C,而/ BDC>0°, / BDE> 60 ； 只能 / BDE=90 ；從而 / BCD=30°,.BD=BC=4,1. OD=14cm, - t=14 + 1K4綜上所述：當(dāng)t=2或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.點睛：在不帶坐標(biāo)的幾何動點問題中求最值，通常是將其表達(dá)式寫出來，再通過幾何或代 數(shù)的方法求出最值；像第三小問這種探究性的題目，一定要多種情況考慮全面，控制變 量，從某一個方面出發(fā)去分類.7.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點 A (0, 4),點B (-2, 0),把ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得4AB' Q'點B、。

28、旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為 B'、O'.(1)如圖，若旋轉(zhuǎn)角為60°時，求BB'的長；(2)如圖，若AB/x軸，求點。'的坐標(biāo)；(3)如圖，若旋轉(zhuǎn)角為240。時，邊OB上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為 P',當(dāng)O' P+A取 得最小值時，求點 P'的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)V4vf歹 V4圉 圖 雷【答案】(1) 2J5; (2)點。的坐標(biāo)為(嫗,W5+4) ； (3)點P'的坐標(biāo)為(-558 336，一 .【解析】分析：(1)由點A、B的坐標(biāo)可得出 AB的長度，連接BB',由旋轉(zhuǎn)可知：AB=AB', /BAB'

29、 =6 0進而可得出4ABB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出BB'的長；(2)過點。作OD，x軸，垂足為D,交AB于點E,則AOEsABO,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性 質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可求出AE、OE的長，進而可得出點。的坐標(biāo)；(3)作點A關(guān)于x軸對稱的點A；連接AO交x軸于點P,此時OP+AP'取最小值，過 點。作OF，y軸，垂足為點F,過點P作PMXOF,垂足為點M,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合解 直角三角形可求出點 。的坐標(biāo)，由A、A'關(guān)于x軸對稱可得出點 A'的坐標(biāo)，利用待定系數(shù) 法即可求出直線A。'的解析式，由一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點P的坐標(biāo)，

30、進而可得出OP的長度，再在 RtAOPM中，通過解直角三角形可求出O'M、PM的長，進而可得出此時點P'的坐標(biāo).詳解：(1)二.點 A(0, 4),點 B( 2, 0) , .,.OA=4, OB=2,AB= /OA2_OB2 =2 娓.在圖中，連接BB'.由旋轉(zhuǎn)可知： AB=AB', /BAB' =6 0 °. ABB 為等邊三角形，BB' AB=2 J5 .(2)在圖中，過點 O作ODx軸，垂足為 D,交AB于點E. AB7/ x 軸,O'ELx 軸,Z OEA=90 °=ZAOB.AE O'E AO

31、9; 一由旋轉(zhuǎn)可知 / BAO羥BAO AO AO=4AOEsABO =,即'''AO BO AB蛆= OE=T=,AE=W5 , OE=W5, .OD=£5+4, .點 o,的坐標(biāo)為422.5555,8.5 4.5 八(,+4).55(3)作點A關(guān)于x軸對稱的點A；連接AO交x軸于點P,此時OP+AP'取最小值，過 點O作OF,y軸，垂足為點F,過點P作PMXOF,垂足為點 M,如圖3所示.由旋轉(zhuǎn)可知： AO'AO=4, /O'AF=240° 180 =60 °, .AF=1AO' = 2OF= AO? =

32、23 ,22點 O( - 2 石，6).點 A (0, 4) , 點 A' (0, - 4).設(shè)直線 AO'的解析式為 y=kx+b,將 A'(0, - 4)、O' ( - 2 J3 , 6)代入 y=kx+b,得：y=-3x-4.35 3，直線AO'的解析式為4當(dāng)y=0時，有-W3x-4=0,解得：x=- W3 , 點 P (- W3 , 0),3554、3 .OP=O P 4- .在 RtA OP M 中，/MOP' =6 0°/O'MP' =90 ° O M= OP' 23 ,25PM =，3OP

33、 6,，點 P的坐標(biāo)為（-2向 + 4!3 , 6+6）,即（-述，竺）255555點睛：本題考查了函數(shù)圖象及旋轉(zhuǎn)變換、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)找出 BB'的長；（2）通過解直角三角形求出 AE、OE的長；（3）利用兩點 之間線段最短找出當(dāng) O P+AP'取得最小值時點 P的位置.8.如圖，點A是x軸非負(fù)半軸上的動點，點 B坐標(biāo)為（0, 4） , M是線段AB的中點，將 點M繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點C,過點C作x軸的垂線，垂足為 F,過點B作y 軸的

34、垂線與直線 CF相交于點E,連接AC, BC,設(shè)點A的橫坐標(biāo)為t.（I ）當(dāng)t=2時，求點M的坐標(biāo)；（n ）設(shè)ABCE的面積為S,當(dāng)點C在線段EF上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 自變量t的取值范圍；（出）當(dāng)t為何值時，BC+CAM得最小值.3.一一【答案】（1） （1,2）; （2） S=- t+8 （0Wt &8; （3）當(dāng) t=0 時，BC+ACW最小值2【解析】試題分析：（I）過M作MGLOF于G,分另1J求 OG和MG的長即可；(II)如圖1,同理可求得 AG和OG的長，證明AMGCAF,得：AG=CF=1 t2，AF=MG=2,分別表示EC和BE的長，代入面積公式可求

35、得S與t的關(guān)系式；并求其t的取值范圍；(III)證明ABOsCAF,根據(jù)勾股定理表示 AC和BC的長，計算其和，根據(jù)二次根式的 意義得出當(dāng)t=0時，值最小.試題解析：解：(I)如圖1,過M作MGLOF于G,，MG/OB,當(dāng)t=2時，OA=2.M是AB的中點，G是AO的中點，. .OG=1oA=1, MG是4AOB的中位線，2 MG = 1 OB=1 X 4=2 M (1, 2); 22(II)如圖 1,同理得：OG=AG=1t. ./BAC=90°,2 / BAO+Z CAF=90 :/ CAF+ Z ACF=90 ； = / BAO=Z ACF, / MGA=Z AFC=90 ；M

36、A=AC,AAMGACAF, .AG=CF=1t, AF=MG=2,EC=4 - - t, BE=OF=t+2,22Sabcez1 EC?BE=1 (4 1t) (t+2) =- 1t2+- t+4; 2224211 1 2 1 23Saabc= ?AB?AC= ? J16 t2? 一。16 t = - t2+4, . . S=Sabeo+Saabc=t+8.22242當(dāng)A與O重合，C與F重合，如圖2,此時t=0,當(dāng)C與E重合時，如圖 3, AG=EF,即t=4, t=8,. S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S= t+8 (04W8 ；22(III)如圖1,易得AB8 4CAF, .膽=理=絲=2,

37、 .“5=2, CF=-t,由勾股定理AC AF FC2得:ac=Jaf2 cf2=J22 (；t)2 =J4 1t2 ,BC= JbE2 EC2 = J(t 2)2 (4 1t)2=5(；t2 4) ,，BC+AC= ( 75+1)J1t2 4,，當(dāng)t=0時，BC+AC有最小值.點睛：本題考查了幾何變換綜合題，知識點包括相似三角形、全等三角形、點的坐標(biāo)、幾何變換(旋轉(zhuǎn))、三角形的中位線等，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解 決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.9.在正方形 ABCD中，連接 BD.(1)如圖1, AELBD于E.直接寫出/BAE的度數(shù).(2)如圖1,在(1

38、)的條件下，將 4AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到 AB' E'AB'與BD交于M, AE'的延長線與 BD交于N.依題意補全圖1 ; 用等式表示線段 BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(3)如圖2, E、F是邊BC CD上的點，4CEF周長是正方形 ABCD周長的一半， AE、AF 分別與BD交于M、N,寫出判斷線段 BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路.(不必寫出完 整推理過程)【答案】(1) 45° (2) 補圖見解析；BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2=MN2,證明見解析；(3)答案見解析.【解析】(1

39、)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可；(2)依題意畫出如圖1所示的圖形，根據(jù)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，判斷線段的關(guān)系，再利用 勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判斷出FM=MN即可；（3）利用4CEF周長是正方形 ABCD周長的一半，判斷出 EF=EG再利用（2）證明即可.解：（1） BD 是正方形 ABCD 的對角線，/ABD=/ ADB=45 ,AE± BD,/ ABE=Z BAE=45 ,°（2） 依題意補全圖形，如圖 1所示，BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是 BM2+MD2=MN2 ,將 AND繞點D順時針旋轉(zhuǎn) 90°,得到AEB,/ ADB=Z FBA, / B

40、AF=Z DAN, DN=BF, AF=AN,.在正方形 ABCD 中，AE± BD, . . / ADB=/ABD=45/ FBM=Z FBA+Z ABD=ZADB+Z ABD=90 ；在RtA BFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B2+BM2=FM2, 旋轉(zhuǎn) 4ANE 得至 U AB1E1, ，/EABi=45；/ BABi+/DAN=90° 45 =45 °, / BAF=DAN / BAB + / BAF=45°,/ FAM=45°,/ FAM=Z E1AB1, .AM=AM, AF=AN,AAFMAANM, . FM=MN ,1. fb2+b

41、m2=fm2, l- dn2+bm2=mn2,(3)如圖2,G H E將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到AARG,DF=GB正方形 ABCD的周長為4AB, 4CEF周長為EF+EC+CF CEF周長是正方形 ABCD周長的一半，4AB=2 (EF+EC+CF , ，2AB=EF+EC+CF EC=AB- BE, CF=AB- DF,2AB=EF+AB- BE+AB- DF, EF=DF+BEDF=GB,EF=GB+BE=GE 由旋轉(zhuǎn)得至U AD=AG=AB,. AM=AM ,AAEGAAEF, / EAG=/ EAF=45,°和(2)的一樣，得到DN2+BM2=MN2.

42、尊睛”此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等，判 斷出（AFNANM,得到FM=MM）,是解題的關(guān)鍵.10.已知 RtDAB 中，/ADB=90°,扇形 DEF中，/ EDF=30°,且 DA=DB=DE 將 RtAADB的邊與扇形DEF的半徑DE重合，拼接成圖1所示的圖形，現(xiàn)將扇形DEF繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到扇形 DE F'設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 a (0°< “V 180°)(1)如圖 2,當(dāng) 0°< “V 90°,且 DF'/ AB時，求“；(2)如圖 3,當(dāng) a =120；求

43、證：AF' =BE【答案】(1) 15。； ( 2)見解析.【解析】 試題分析：(1) . /ADB=90, DA=DB, . . / BAD=45 , . DF'/AB, / ADF 2BAD=45 ；a =45- 30 =15 ;(2) a =120；，/ADE =120；，/ADF =120° +30° =150/ BDE =360- 90°-I&RB120 =150 °, ./ADF' 2BDE',在 ADF'和 BDE'中，i二/BDE',.ADFABDE； . . AF '

44、; =BE'考點：旋轉(zhuǎn)性質(zhì)； 全等三角形的判定和性質(zhì).11 .如圖 1,在 4ABC中，CA=CB /ACB=90°, D 是4ABC內(nèi)部一點，Z ADC=135°,將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE.(1) 依題意補全圖形； 請判斷/ADC和/CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案.(2)在(1)的條件下，連接 BE,過點C作CMLDE,請判斷線段 CM, AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)如圖2,在正方形 ABCD中，AB=F,如果PD=1, / BPD=90 ,請直接寫出點 A到BP的距離.(2) AE=BE+2CM,理由

45、解析;gT(3) 2 .【解析】試題分析：(1)作CH CD,并且線段CE是將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，再連接DE即可；根據(jù)/ ADC和/ CDE是鄰補角，所以 / ADC+/ CDE=18 0.(2)由(1)的條件可得 A、D、E三點在同一條直線上，再通過證明4ACgABCE,易得AE=BE+2CM(3)運用勾股定理，可得出點A到BP的距離.試題解析：解：(1) 依題意補全圖形(如圖)； /ADC+/ CDE=180°.(2)線段CM, AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是 AE=BE+2CM理由如下： 線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,.CD=CE /DCE=90.&#

46、176; / CDE土 CED=45.°又 / ADC=135 , / ADC+Z CDE=180 ,° A、D、E三點在同一條直線上.AE=AD+DE又 / ACB=90 , / ACB- / DCB=Z DCE- / DCB,即 / ACD=Z BCE又. ACmBC cd=ce .ACDABCE.AD=BE. , CD=CE / DCE=90 ； CM± DE.DE=2CM. .AE=BE+2CM寸-1(3)點A到BP的距離為 京.AB考點：作圖一旋轉(zhuǎn)變換.12. (1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1, ACB和 DCE均為等腰直角三角形，/ ACB=90 ,B,C,D在一

47、條直線上 填空:線段AD,BE之間的關(guān)系為.(2)拓展探究如圖2QACB和4DCE均為等腰直角三角形，/ACB=/ DCE=90，請判斷AD,BE的關(guān)系，并說明 理由.解決問題如圖3,線段PA=3點B是線段PA外一點，PB=5連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線 段AC,隨著點B的位置的變化，直接寫出PC的范圍.【答案】(1) AD=BE, AD± BE. (2) AD=BE> ADXBE. (3) 5-3 72 < PC< 5+32 -【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證 AC*4BCE (SAS ,得AD=BE, / EBC=Z CAD,延長BE

48、交AD于點F,由垂直定義得 AD± BE.(2)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證 AC*BCE (SAS , AD=BE, / CAD=/ CBE由垂直定義得/OHB=90 , AD± BE;(3)作 AE±AP,使得 AE=PA 則易證APEACP, PC=BE 當(dāng) P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE當(dāng)P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE故5-3J2WBEW 5+2 .【詳解】(1)結(jié)論：AD=BE, AD± BE.3 ACB與 DCE均為等腰直角三角形, .AC=BC, CE=CD/ ACB=Z ACD=90 ；在 RtACD和 RtBCE

49、 中AC=BCACD= BCECD=CE4 .ACDABCE (SAS , .AD=BE, /EBC4 CAD延長BE交AD于點F,.BCa AD,5 / EBC-+Z CEB=90,°6 / CEB=AEF7 / EAD+/AEF=90 , °8 . / AFE=90, °即 AD± BE.AD=BE, AD± BE.故答案為AD=BE, ADXBE.(2)結(jié)論：AD=BE, AD± BE.理由：如圖2中，設(shè) AD交BE于H, AD交BC于O.9 ACB與 DCE均為等腰直角三角形， .AC=BC, CE=CD /ACB=/ ECD

50、=90 , .ACD=Z BCE,在 RtACD和 RtBCE 中AC=BC ACD= BCE , CD=CE10 .ACDABCE (SA§ ,.AD=BE, /CAD=/ CBE11 / CAO+Z AOC=90 ； / AOC=Z BOH,12 / BOH+Z OBH=90 ；/ OHB=90 ；ADXBE, .AD=BE, AD± BE.EA力S(3)如圖3中，作AELAP,使得AE=PA則易證 AAPEAACF ，PC=BE圖3-1中，當(dāng)P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE=53/2 ,圖3-2中，當(dāng)P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3

51、/2 , -5-3 應(yīng) & BEW 5痘,即 5-3 金 < PCW 5+32 .03-1產(chǎn)【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定 和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三 角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.13.如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形 EFG的兩邊EF, EG分別過點 B, C, / F= 30°.（1）求證：BE= CE（2）將 EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF, EG分別與AB

52、, BC相交于點M, N.（如圖2） 求證：BEMCEN;若AB=2,求4BMN面積的最大值； 當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點 B恰好在FG上（如圖3）,求sin/EBG的值.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；2 ；五(1)只要證明 BA®4CDE即可；(2) 利用(1)可知4EBC是等腰直角三角形，根據(jù) ASA即可證明；構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；利用面 如圖 3 中，作 EH，BG于 H.設(shè) NG=m,貝U BG=2m, BN=EN=V3 m, EB=6 m.積法求出EH,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，.AB=DC,

53、 /A=/D=90；.E是AD中點， .AE=DE3 ABAEVA ODE,.BE=CE(2)解：如圖2中,圖2由(1)可知，AEBC是等腰直角三角形,/ EBO=Z EOB=45,°4 / ABO=Z BOD=90 ,°/ EBM=Z EON=45 ；5 / MEN=Z BEO=90,°/ BEM=/CEN,6 .EB=EO7 .BEMAOEN;. BEMAOEN,.BM=ON,設(shè) BM=CN=x,貝U BN=4-x,/. Sabmn= ?x (4-x) =- (x-2) 2+2,22-< 0,22.，x=2時，ABMN的面積最大，最大值為解：如圖 3 中

54、，作 EHI± BG于 H.設(shè) NG=m,貝U BG=2m, BN=EN=J3m, EB=J6 m.11Sabeg= 2 ?EG?BN=2 ?BG?EH, EH=>/3m?(1 V3)m=3+m2m2'3+ 3_在 RtEBH中，sin/EBH=EH 2 m 娓 V2 .EB .6m 4【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定 和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題， 學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，14.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 AOBC是矩形，點0(0,0),點A(5Q)

55、，點B(0,3).以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形 AOBC,得到矩形ADEF，點O, B, C的對應(yīng)點分別為 D , E, F .即用(I )如圖，當(dāng)點D落在BC邊上時，求點D的坐標(biāo)；(n )如圖，當(dāng)點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H .求證 AADB AAOB ;求點H的坐標(biāo).(出)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為KDE的面積，求S的取值范圍(直接點H的坐標(biāo)為寫出結(jié)果即可）30 3134【答案】（I ）點D的坐標(biāo)為（1,3）. （ n）證明見解析;（出）30 3衣4【解析】 分析：（I）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AD=AO=5，設(shè)CD=k在直角三角形 ACD中運用勾股定理可CD的值，從而可確定 D點坐標(biāo)；（n ）根據(jù)直角三角形全等的判定方法進行判定即可；由知 BAD BAO,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得CBAOAB.從而BAD CBA,故BH=AH,在RtACH中，運用勾股定理可求得 AH的值，進而求得 答案；（出）30 3后S 30 3扃44.詳解：（I） .點 A 5,0，點 B 0,3 ,OA 5, OB 3.2 .四邊形AOBC是矩形，3 AC OB 3, BC OA 5, OBC C 90 .;矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的， AD AO 5.在 RtVADC 中，