(完整word版)圓錐曲線綜合訓(xùn)練題(分專題,含答案),推薦文檔

1、圓錐曲線綜合訓(xùn)練題、求軌跡方程：2 x1、(1)已知雙曲線 C1與橢圓C2： 3621有公共的焦點(diǎn)，并且雙曲線的離心率e與橢圓的493AB AC BC5即 AB |AC 6(*).點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點(diǎn))離心率e2之比為7 ,求雙曲線C1的方程.3(2)以拋物線y2 8x上的點(diǎn)M與定點(diǎn)A(6,O)為端點(diǎn)的線段 MA的中點(diǎn)為P,求P點(diǎn)的軌跡方 程.,-2a=6, 2c=1Oa=3,c=5,b=4解：Ci的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,13). e, 137,e 7 .13由又 一得e1 二設(shè)雙曲線的方程為牝 33所求軌跡方程為21(x>3)162 y2 a1(a,ba2b2O)則 a2 b2

2、2a1313解得9,b2雙曲線的方程為2 x 14點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由(*)式直接用定義說明了軌跡(雙曲線右支)3、如圖，兩束光線從點(diǎn) M (-4, 1)分別射向直線 y= -2上兩點(diǎn)P (x1，y1)和Q (x2, y2)后,(2)解:代入2 yo2、(1)角形重心反射光線恰好通過橢圓C：2 y b2111 (a>b>O)的兩焦點(diǎn)，已知橢圓的離心率為，且設(shè)點(diǎn) M (xo,yo), P(x, y),則xo2yoxo 2x 6 yo 2yx2-x1=-,求橢圓C的方程.58xo得：y2 4x 12 .此即為點(diǎn)2P的軌跡方程.解：設(shè)a= 2k ,2 x k,其橢圓的萬程

3、為一2 4kABC的底邊BC 16, AC和AB兩邊上中線長之和為 3O,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求此三G 的軌跡和頂點(diǎn) A的軌跡.(2) AABC 中，B(-5,O),C(5,O)，且 sinC-sinB= sinA,求點(diǎn) A5由題設(shè)條件得:的軌跡方程.解：由GC(1)以BC所在的直線為x軸,BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè) G點(diǎn)坐標(biāo)為x,2 X1OO|GB2y36其軌跡是橢圓(2)分析：2O,知G點(diǎn)的軌跡是以2故其方程為1OOxy O .由題意有B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn).2L 1 y O36x設(shè) A x, y10, cy ,8,O 2kx1O 2k x26x2-x1 =一5x11 ( 2

4、)4 x2由、解得：k=1,x1 =112 x x2=-1 ,所求橢圓C的萬程為43代入，得A的軌跡方程為 y32x9OO2y324(除去 x軸上兩點(diǎn)).由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以 2R(R為外接圓半徑)轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系.解：sinC-sinB= 3sinA 2RsinC-2RsinB= 3 2RsinA552 y 3k21.4、在面積為1的 PMN中，tanMM、N為1, 一 c » 一，一，tanN 2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以2(1)求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)/ POQ的平分線交PQ于點(diǎn)R (O為原點(diǎn))，求點(diǎn)R 的軌跡方程.解：(1)

5、設(shè)線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 M (x, y),由Q (4, 0)可得點(diǎn)P (2x-4, 2y),代入圓的方 程x2+y2=4可得(2x-4) 2+ (2y) 2=4,整理可得所求軌跡為(x-2) 2+y2=1.(2)設(shè)點(diǎn)R (x, y), P (m, n),由已知|OP I|OP|=2, |OQ|=4,IOQI1一,由角平分線性質(zhì)可2uuu uuiruunuiir由 OP OQ0,即OPx1,y1 , OQ x2,y2，于是 x1x2y1y20,即 k2 y1 1y2 1y1y20 , (k2 1)y1y2 k2(y1 y2) k20,4k(k2 1) k2g4k k2 0,解得 k 4 或 k

6、0 (舍去)，又k 41 ,直線l存在，其方程為x 4y 4 0227、設(shè)雙曲線 4 1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、F2,離心率為2. 求此雙曲線的漸近線l1、l2 a 3的方程；(II)若A、B分別為l1、上的點(diǎn)，且21ABi 5|F1F2|,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；(III)過點(diǎn)N(1, 0)能否作出直線l ,使l與雙曲線交于 P、Q得黑懸H'"R在線段PQ上'|PR|二1|RQ|, 點(diǎn)R分有向線段PQ的比 2，1，、.，.， 一為一，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得212一2一2一23x 43y，代入圓的方程22x2+y2=4 可得2m 432n3

7、x 4R的軌跡方程為3x3y242 ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為兩點(diǎn)，且OP OQ 0 .若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.解：(I) e 2,c2 4a222c a 3, a 1, c 22_2 x. 3雙曲線萬程為y 1,漸近線方程為 y x4分33(II)設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)，AB 的中點(diǎn) Mx, y2| AB| 5|F1F2|3y4,22+y2="“).96、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)1,0 ,且與直線x 1相切.(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡 C的方程；(2)是否存在uiv uuu直線l ,使l過點(diǎn)(0, 1),并與軌跡C交于P, Q兩點(diǎn)，且滿足OP OQ 0?若存在，求

8、出直線l的方程；若不存在，說明理由.解：(1)如圖，設(shè) M為動(dòng)圓圓心,F 1,0 ,過點(diǎn)M作直線x1的垂線，垂足為N ,由題意知：MF MN ,即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線x 1的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中 F 1,0為焦點(diǎn)，x 1為準(zhǔn)線，.動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為 y2 4x(2)由題可設(shè)直線l的方程為x k(y 1)(k 0),x k(y 1)2由 2得 y 4ky 4k 0y 4x 16k2 16 0, k 1或k 1設(shè) P(x1，y1), Q(x2,y2),則 y1 y 4k, y/ 4k55|AB| -|F1F2| - 2c 10.(x1 x2)2 (y13乂 y1

9、三刀，y2V2S 10.3 cx2, 2x3x2), ¥1 V2-3y1 y2 W(x1x1 x2,3 ,(x132102yx2 )Y1y2/223(2y)2 - (2x)2100,即工-y-137525則M的軌跡是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為10<,可，短軸長為f10. 31°-的橢圓.(9分)3(III)假設(shè)存在滿足條件的直線l設(shè) l: y k(x 1), l與雙曲線交于 P(x” y1)、Q(x2, y?)X1X2X1X2X1X2OQ 0yiy20k2(xi i)(x2 k2 xi x2 (xii) 0X2)(i)k -2 ), B/-26，竺一i2)。因

10、為A/、B/均在拋物線上，代入，消去p,得：k2-k-i=0. k i' k i k i k i解得：kJ,p=2代.所以直線L的方程為：y= i /252c 4. 5x,拋物線C的方程為y2= x.k(x2Xi)得(3k ii)x26k2x3k20由(i) (ii)得 k2 3 0.一 x2 y2i0、已知橢圓一行 七 i(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別是 Fi (-c, a2 b2外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|FiQ| 2a.點(diǎn)P是線段FiQ與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn) T0)、F2在線段(c, 0), Q是橢圓F2Q上，并且滿足則XiX26k23k2 i 'XiX23k2 33k2 i(ii)PT

11、 TF2 OJTF2 | 0. (I)設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明|FiP| a(n)求點(diǎn)t的軌k不存在，即不存在滿足條件的直線I.228、設(shè)M是橢圓C: y i上的一點(diǎn),跡C的方程；(出)試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn) 求/ FiMF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.(I)證法一：設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(x, y).P、Q、i2 4N為橢圓C上異于 M的另一點(diǎn)，且 MN ±MQ , 求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程.T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn),QN與PT的交點(diǎn)為E,當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí),解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)M (Xi, yi), N(x2, y2)(xiy0), E(x, y),由P(x, y)在

12、橢圓上，得|FiP| J(xc)2y222(x c) bb2 22X a則P(Xi, yi),Q( Xi, yi),T(xi,yi),i分(a cx)2.aM,使aFiMF2的面積S=b2.若存在,y2Xii22X2i22 yi42 y24i,L L L L1.L L L LMN ±MQ, kMNi,kMN(2)由(1) (2)可得 kMN ?kQi 一.6分又3,入 c由x a,知a x a|FiP|cX.a又直線PT的方程為y證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X, y).記|F1P | r1,|F2P|土，所以kQN yi上X.從而得X yii-Xi,y22y i(xy 0),此即為所求的

13、軌跡方程-y.直線QN的方程為y 3xiy(X Xi)小， 3xi則 ri； (x c)2y2, r2. (x c)2由ri22a, ri2r224cx,得 | FiP |riiy1.所以Xi 2x, yi2y.代入(i)可得2證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y).橢圓的左準(zhǔn)線方程為-x 0. a9、已知：直線 L過原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在點(diǎn)B (0, 8)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在 C上，求直線L和拋物線X軸正半軸上。若點(diǎn) A (-i, 0)和 C的方程.由橢圓第二定義得|FiP|2|X |c即 | FiP | - |x a|a-X|. a分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法.設(shè)出它們的

14、方程,L： y=kx(k w0),Cy2=2px(p>0).0 ,所以 | Fi P |cX. a設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)分別為A/、B/,則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為:A/(n)解法一：設(shè)點(diǎn) T的坐標(biāo)為(x, y).當(dāng)|PT| 0時(shí)，點(diǎn)(a, 0)和點(diǎn)(一a , 0)在軌跡上22x。 Vq a1-2cI Vq Ih4 由得I y。I.c于是，當(dāng)a田時(shí),c當(dāng)|PT| 0且 ITF2 | 0時(shí)，由 |PT| ITF2 | 0,得 PT TF2.又| PQ | |PF2 I ,所以T為線段F2Q的中點(diǎn).1222在QFF2 中，| ot | | F1Q | a,所以有 x y a .2綜上

15、所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2 y2 a2.7分解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x,y）.當(dāng)|PT| 0時(shí)，點(diǎn)（a, 0）和點(diǎn)（一a , 0）在軌跡上當(dāng)|PTI oa 1TF21 0時(shí)，由 pt TF2 0,得 pt Tf2.又I pQi ipf； I,所以t為線段F2Q的中點(diǎn).C 12S I MF1 I I MF2 I sin F1MF2b，得 tan F1MF22.2解法二：C上存在點(diǎn)M （ x。，y。）使S=b2的充要條件是 ,b2.,4,2,2上式代入得 x2 a2 （a 一）（a ） 0. ccc存在點(diǎn)M ,使S=b2 ；x設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x , y ）,則yx c2y_.22當(dāng)a 2時(shí)，不

16、存在滿足條件的點(diǎn)M. 11分c當(dāng) a » 時(shí)，記 k1 kM,k2 kF2Mcx0 cy。x。c因此2x c, 2y.由 | FiQ| 2a 得(xc)24a2.222將代入，可得x y a ._.1 222綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x y a .2 .（出）解法一：C上存在點(diǎn)M （x°,y0）使S=b的充要條件是222xqVq a ,22cIVq I b2.由 IF1F2I 2a,知 F1MF2 90，所以 tan F1MF212I 2 14分1 k1k22 .11、設(shè)拋物線C : y x的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線l : x y 2 。上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的 兩條切線

17、PA、PB,且與拋物線 C分別相切于 A、B兩點(diǎn).（1）求4APB的重心G的軌跡方程；（2）證明/ PFA=Z PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（x,x2）和（x，x；）（ x x。）,切線AP的方程為：2x0x y x20；2_切線BP的萬程為：2x1x y x10;解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：xP x4,yP x0x12由得| y |a ,由得I y。Ib2.所以，當(dāng)acb-時(shí)，存在點(diǎn)M,使S=b2 ； c所以 APB的重心G的坐標(biāo)為 xG %一x一xP xP ,3當(dāng)a 丫時(shí),c不存在滿足條件的點(diǎn)M.11分yG22y。y ypx。xx33(x。x1)2x。%4xp2 yp3MF1x0,y0)

18、,MF2 (c x0, y0),所以yp2, 3yG 4xg ,由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心 G的軌跡方程為:2由 MF1 MF2 x02V。19x ( 3y 4x2) 2 。，即y - (4x2 x 2).3MF1 MF2 I MF1 I I MF2 Icos F1MF2,2(2)萬法 1：因?yàn)?FA (X0,X04),FP/X0 X11 _(,X0X1 4),FB(Xi,Xi由于P點(diǎn)在拋物線外，則|FP|0.21 X0 X12I(X0 -)(72) X0X1d42d1-212，(X0) X04x0 x121I AH )(X0-)2421x04IX0 X1 I r ,-,同理可得到P2

19、 cos AFPFP FAIFPIIFAI同理有cos BFP ./ AFP=/ PFB.方法2:當(dāng)X1X0X0X12T x°(xo、*°2 fXoXiFP FB|FP IIFB I0時(shí),由于X1P點(diǎn)到直線AF的距離為：d1帝平2(x024)2X0 X11X1 (X0X1)(X124'221 oIFPI X1(x14)X0,不妨設(shè)X00,則y0x_I.;而直線BF的方程:yrr 2 11_即(X1)x X1 yX10.44所以P點(diǎn)到直線BF的距離為:d221 x1I(X1 ；)77I所以d1=d2,即得/ AFP=Z PFB.當(dāng)X1X00時(shí)，直線AF的方程:直線BF

20、的方程：yX114(x所以P點(diǎn)到直線AF的距離為:(X124)2(X1)22X0X04 IFPIXoXi點(diǎn)到直線BF的距離d2| XiXo |di=d2,可得到/ AFP=/PFB.4 IFPIX10,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（一 ,0）,則2(X1214(X 0),即(X221X1 4X,X11、I X1 I X21x141、二)x x°y4|X1 I-X00,4口口 2110),即(x-)xx1 y- x1440,二、中點(diǎn)弦問題：.X2 21 112、已知橢圓y 1,（1）求過點(diǎn)P 22 2且被P平分的弦所在直線的方程； （2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過A 2,1引橢圓的割

21、線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)P、Q,。為原點(diǎn),點(diǎn)M的軌跡方程.分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān),解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為2X1X11且有直線 OP、OQ斜率滿足“P kOQ,求線段PQ中2因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法.2y2 22y2 2X2V22x,2y,X1(D將x11y代入，得將代入橢圓方程X2x 4y 3 0為所求.將當(dāng)一y2X1X2（3）將士一y2X1 X2(4)由+得,N X2, y2 ,線段MN的中點(diǎn)Rx,一得X1 X2 X1X22 y1y2y ,則yy20X22yy2 -X1X2則上式兩端0,將代入得X 2y®/20 .X1 X2yy2X1X22 2y2

22、 2 得 6y22代入得所求軌跡方程為:1，故所求直線方程為:26y364y2x4y 3 0.0符合題意，0 .（橢圓內(nèi)部分）口代入得所求軌跡方程為:22,2x1 x2 4x222X X222X1X2 ，22oyy22，2y22x2y 0.（橢圓內(nèi)部分）將平方并整理得2,2-y 4y 2y1y2,將代入得:4x2 2x1x24y2 2yly22 ,-得(xi x2)(xi x2)(yi y2)(yi V2)再將y1y21礦由2代入式得：2x221x1x2 4y 2 x1x22 ,2因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M 對(duì)稱，所以 xi+ x2= 4, yi+ y2=2,22 y dx i.12此即為所求軌跡方程

23、.當(dāng)然,此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法,還可用其它方法解決.代入得所以直線13、橢圓22x yC：52. 2a b1（a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi,F2,點(diǎn) P在橢圓 C上，且PFi414F1F2,| PF1 | -,| PF2 | 一.( I )求橢圓 C 的萬程；(n )若直線 I 過圓 x2+y2+4x-2y=0 33的圓心M,交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程.解法一：（I）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2aPFi6 , a=3.在 RtPFiF2 中,F1 F2從而b2=a2c2=4,所以橢圓VIPF2PFi2 x C的方程為一92y- = 1.4（n）設(shè) A, B 的坐

24、標(biāo)分別為（xi,yi）、（x2,y2）.由圓的方程為（x+2） 2+（y1）2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2, 1）.從而可設(shè)直線I的方程為y=k（x+2）+1,代入橢圓 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k 27=0.因?yàn)锳, B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.所以x一經(jīng)218k2 9k8-2. 解得k2,所以直線I的方4 9k9程為y8 ，一(x 2) 1, 即 8x-9y+25=0.9（經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意）解法二:（I ）同解法（n）已知圓的方程為（x+2） 2+（y1）2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（一2, 1）.設(shè)A, B的坐標(biāo)分別為（xi,yi） ,（x2,y2）.由題

25、意xix2且2xi92 x2yiy2x1 x2I的方程為y- 1 = - （x+2）,即8x- 9y+25=0.（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意229_14、已知橢圓-yy -x21（a b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)Fi（0,2拈,對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為a b求橢圓的方程；（2）直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn)求直線l的方程.c2解：（1）由曳即橢圓的方程為（2）易知直線 xi、 MNM、N,且線段MN恰被點(diǎn)P(xi, y1),32平分,述得a 3,b 142c .22y .x 1.9l的斜率一定存在，設(shè)N (x2, y2),由x2為上述方程的兩根，則23k kx229 k2的中點(diǎn)為P1 32, 2k2代入中,，直線

26、I:kxI:x -，即y2kx1.xi(3 kx23, 21得(92 2k )4(9k2)x2(3kk2)x2740.k2)k242741.3k k2k21.9 k2 ,解得 k=3.182 4(9 9)y=3x+3符合要求.2 x15、設(shè)Fi ,F2分別是橢圓C: a2 y b22741 (a1820b 0）的左右焦點(diǎn),設(shè)橢圓c上的點(diǎn)（J3,y3）2到Fi ,F2兩點(diǎn)距離之和等于 4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的 動(dòng)點(diǎn)，求線段 KFi的中點(diǎn)B的軌跡方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線 L與 橢圓相交于M, N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM , PN的斜率都存

27、在，并記為kPM,KPN 試探究kPM KPN的值是否與點(diǎn) P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論解:（1）由于點(diǎn)（73，次）在橢圓上,(3)22- a受b22 a =4,橢圓的方程為若直線l存在，則點(diǎn)M必在橢圓內(nèi)，故（2x12 y_ 31 焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1 ,。）0)將A（xi, yj B（x2,y2）代入橢圓方程，有2x22y。92y192 y2(2)設(shè)K的中點(diǎn)為B (x, y)則點(diǎn) K(2x 1,2y) 把的坐標(biāo)代入橢圓2 y_ 7中得（1）得，（X2X1)(X2 X1)(y29 y1)(y2 y1)(2x2 一 21)(2y)143線段KF1的中點(diǎn)B的軌跡方程為（x故kABy2 y1x2x

28、19(x2 x1)y2解得。y0(2)3. 3 3 3一或y。(3) 設(shè)過原點(diǎn)的直線 L與橢圓相交的兩點(diǎn)M(x0,y。)N( x。, y。), p(x,y)N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱M,N,P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程則有093 3人或y13、, 399 ( 1)2 y00,所以y。2 k AB2 x。 -2 a2y。b22x2a2L 1 b2kPMy。KPNy y。2kAB2解得 kAB3或 kAB故:K PN =yy。 y y。x x0 xxO2y2xxx。2y。2 =X0xx。故存在直線l滿足條件,其傾斜角2-).kPM KPN的值與點(diǎn)16、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為b2 a三、定義與最值：17、已知F

29、是橢圓5x2P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線 L無關(guān)巳（。，2J2）,對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為y9. 2 _ »2 2,離心率e滿足一，e,43等比數(shù)列.（i）求橢圓的方程；（n）是否存在直線l ,使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A, B ,且線1段AB恰好被直線x平分？若存在，求出直線 l的傾斜角的取值范圍；若不存在，說明2理由.2 482 % 2斛：（I ）由題忌知，e2,所以e 3設(shè)橢圓上任意一點(diǎn) P的坐標(biāo)為x2 （y 2 2）22 2（x, y）,則由橢圓的第二定義得,9y23,(1)求PA -I PF的最小值,解：（1）由橢圓的第二定義轉(zhuǎn)化知（2）依題意，由橢圓的第二定義知 I PA |pfJ |A

30、F262 PAPF18、設(shè)F1、F2分別是橢圓62 x445的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（1,1）是定點(diǎn).并求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（2）求PA PF的最大值和最小值.PA IPFPA PF.2 PA的最小值是11 ,此時(shí)P(紅勺,1); 25PA (6 |PF2) 6 (PA |PF2)PF2242（當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F2三點(diǎn)共線時(shí)取）y2 1的左、右焦點(diǎn)，若 P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),92 y 4化簡得x221,故所求橢圓方程為92匕1.9解：易知(n )設(shè) A(x1, y1), B(x2, 72)AB中點(diǎn)M （x。，y。），依題意有X0y。x1x22yy22因?yàn)閤1y1x21V2 2y。uur u

31、urPF1 PF 2的最大值和最小值a 2, b 1, c 33 ,所以；(口)求 PF1 PF2F1(耳 0), Fz(- 3, 0).uuu uur _(x, y),貝U PF1 PF2 (3x 2, 2,故當(dāng)x=。，即點(diǎn)當(dāng)x 2 ,即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí),的最大值和最小值.x, y) ( 3 x, y)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),uuurPF1uuuPF 22yuuurPF13 uuu12-(3x2 8).PF 2有最小值-2.19、若雙曲線過點(diǎn)（2, J6）,其漸近線方程為有最大值1.V2x.（II）已知A （3,2） , B（J3,。），在雙曲線上求一點(diǎn) P,使PA求雙曲線的方程；33 PB

32、 的值最小.解：（I） x2 2，一 x 20、以橢圓一2匕1 (II) P(J3,2)，最小值為3.33223、已知定點(diǎn) A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0),動(dòng)點(diǎn) P 滿足：AP BP k | PC | 2. (1)求動(dòng)點(diǎn)1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線 l: x y 9 0上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢123圓的長軸最短，點(diǎn) M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程.分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn) 到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決.P的軌跡方程，并說明方程表示的圖形;值.解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,（2）

33、當(dāng)k 2時(shí)，求| APBP |的最大值和最小解：如圖所示，橢圓則 AP (x,y 1), BP (x,y 1), PC (1 x, y).點(diǎn)F1關(guān)于直線 x 2y 3 0.12l: x1 的焦點(diǎn)為 F13,0 , F2 3,0 .y 9 0的對(duì)稱點(diǎn) F的坐標(biāo)為（一 9, 6）,直線 FF2的方程為解方程組x 2 y x y所求橢圓的長軸：0得交點(diǎn)0M的坐標(biāo)為（一5, 4).此時(shí)MFi |MF2最小.2a MFi|MF2FF26m'5 , a因此，所求橢圓的方程為即(1k)x2 (1、2k) y 2kx k 1 0.若k1,則方程為x 1 ,表示過點(diǎn)（1,0）且平行于若k1,則方程為k

34、2212(x) y (),1 k1 k表小以k 1（上，0）為圓心，以為半徑一二的圓.1 k|1 k | 2222. AP BP k| PC| , x y 1 k (x 1)22（2）當(dāng)k 2時(shí)，方程化為（x 2）2 y21.2y ，y軸的直線.21、已知?jiǎng)狱c(diǎn)2 x P與雙曲線一45 36（I ）求動(dòng)點(diǎn)2P的軌跡C的方程;=1的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi、F2的距離之和為6.3（n）若 后？噸 =3,求力PF1F2的面積;（ID）若已知D（0,3） , M、N在軌跡C上且DMDN ,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.解:二1 ; 2; I1 ,5522、E、F是橢圓x2 2y2 4的左、右焦點(diǎn)， 橢圓于A、B兩點(diǎn).（1）

35、當(dāng)AE AF時(shí)，求 的大小；（3）求 EPF的最大值.l是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)P l ,過點(diǎn)E的直線交AEF的面積；（2）當(dāng)AB 3時(shí)，求AFBF解:(1)S AEF1mn 22AP BP (x,y 1) (x,y 1) (2x,2y) | AP BP | 2, x2 y2 .又(x 2)2 y21,，令 x 2 cos , y sin ,貝U| AP BP | 2. x2 y22. 5 4cos，當(dāng)cos 1時(shí)，|AP BP |的最大值為6,當(dāng)cos1時(shí)，最小值為2.2224、點(diǎn)A、B分別是以雙曲線 1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓 C長軸的左、右端1620則AFAEAFBEBFBF5.(3)設(shè)

36、 P(2 . 2,t)(t3 -22)(10)ABAFBFtan EPF tan( EPMFPM )當(dāng)t 石時(shí)，tan EPFt2-332 . 2tt2 6EPF2 2t 6t 1點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在橢圓C上，且位于x軸上方，PA PF 0 （1）求橢圓C 的的方程；（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn) M到直線AP的距離 等于|MB| ,求橢圓上的點(diǎn)到 M的距離d的最小值.解（1）已知雙曲線實(shí)半軸 a1=4,虛半軸b1=2 J5 ,半焦距c1二116 20 6 ,，橢圓的長半軸 a2=c=6,橢圓的半焦距 c2=a1=4,橢圓的短半軸 b2 A62 42 亞，

37、 22.所求的橢圓方程為L 13620（2）由已知A（ 6,0）,F（4,0）,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則AP (x 6,y),FP (x 4,y),由已知得o3036 20(x 6)(x 4)則 2x2 9x 180,解之得由于y>0,所以只能取于是y(3)直線AP:x .3yM是(m,0),則點(diǎn)M到直線AP的距離是是2又,點(diǎn)M在橢圓的長軸上，即.當(dāng)m2時(shí),橢圓上的點(diǎn)到d2(x2)24x6 m 6M (2,0)的距離5x24 20 91525、uuu OF已uurFP知在平。時(shí),2角坐d取最小值標(biāo)系xoy. 15中，向量j(0,1), OFP的面積為2<3 ,且uuir t,O

38、M3uuu rOP j 3.設(shè)4t 4向 求向量OF與uP勺夾角 的取值范圍；(ii)設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M ,且 |Of | c,t (8 1)c2,當(dāng)|OP|取最小值時(shí)，求橢圓的方程.解。(1)由 廠1 /口 一 ”493 ,OFFP t sin川午.1 j m 23- | OF| | FP | sin，得 |OF |FP |-，由cos； ，2sin|OF | |FP |4.3得tan 9 3分t4 t 4 31 tan .30,，夾角的取值范圍是(一,一)4 3(2)設(shè)P(x°,y°),則FP(Xo c,y°),OF

39、uurOFuurFP (X0 c,y0)(c,0) (X0S OFP1 uur11|OF| |y0| 2.3y。c)c4.3c(c,0).t ('.31)c2x03c8分|OP| 板 y2 j(點(diǎn)c)2 (4c3)2 科3c 4c3 2品 1吩當(dāng)且僅當(dāng)V3c 勺e,即c 2日t,|OP|取最小值2汽,此時(shí),OP(2/3, 2)c3OM (2 3,2 3) (0,1) (2,3) 3或 OM” (2/3, 2V;3) (0,1) (2, 1) 12分3橢圓長軸 2a (2 2)2 (3 0)2(2 2)2 (3 0)2 8 a 4,b2 12或2a (2 2)2 ( 1 0)2(2 2)

40、2 ( 1 0)21 . 17 a -17 ,b2 -172222故所求橢圓方程為 上 工 1.或 x2y2 14分16129171 . 17222 . 2 _ ,26、已知點(diǎn)F (0,1), 一動(dòng)圓過點(diǎn)F且與圓x ( y 1)8內(nèi)切.(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡 C的方程；(n)設(shè)點(diǎn)A(a , 0),點(diǎn)P為曲線C上任一點(diǎn)，求點(diǎn) A到點(diǎn)P距離的最大值d(a)；(ni)在0 a 1的條件下，設(shè)POA的面積為S1 (O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是曲線C上橫坐標(biāo)為a的點(diǎn))，以d(a)為邊長的正方形的面積為S2 ,若正數(shù)m滿足S1 mS2,問m是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出此最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.解(I)設(shè)動(dòng)圓

41、圓心為 M(x, y),半徑為r ,已知圓圓心為 E(0, 1),由題意知 | MF | r , | ME | 2J2 r,于是 |ME | | MF | 272 ,2所以點(diǎn)M的軌跡C是以E、F為焦點(diǎn)，長軸長為 242的橢圓，其方程為 x22-1 .2(n)設(shè) P(x,y),則 |PA|2 (x a)2 y2 (x a)2 2 2x2x2 2ax a2 22222(x a)2a2,令 f(x)(x a) 2a 2, x 1,1,所以，當(dāng) a 1,即 a 1 時(shí) f(x)在1,1上是減函數(shù)，f (x) max f( 1) (a 1)2；當(dāng)1a 1,即 1 a 1時(shí)，f (x)在1, a上是增函數(shù)

42、，在 a,1上是減函數(shù)，則2_f (X) max f(a) 2a 2；當(dāng) a 1,即 a 1 時(shí)，f(x)在1,1上是增函數(shù)，f (x) max f (1) (a 1)2 .1 a , a 1所以，d(a)72P2 , 1 a 1 .1 a , a 1(出)當(dāng) 0 a 1 時(shí)，P(a, 72 2a2),于是 S1若正數(shù)m滿足條件，則1a,2(1 a2) m(2a22_ 2a ) ,S2 2aa、2(1 a2)4(a2 1)2, (12分)a2(1a2)8(a21)2，令 f (a)a2(1a2)f(a)(t 1)(2 t)8t28(a2 t21)23t 2(1,2),1,64一 ，1所以，當(dāng)1

43、tr 21即m 6433,即t4(1,2)時(shí)，”2)max1641所以，m存在取小值一.827、已知點(diǎn) M (-2, 0), N (2, 0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=212.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為 W. (1)求W的方程；(2)若A、B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求 OA?OB的最小值.(1)由|PM|-|PN|=2 J2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M, N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長 a= <2 又半焦距c=2,故虛半軸長b= 7c2 2J2.22所以W的方程為1 , X><2 .得 2a | PFi | IPFzIIFiFzI J( - 1)2 (- 0)2 2&

44、; , 5分55a V2 , b 421 1 .2.所求橢圓方程為y21 .7 分22(出)2 ,橢圓的準(zhǔn)線方程為x 2 .8 分c設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t , 2t 3)( 2 t 2) ,d1表示點(diǎn)Q到F2的距離，d2表示點(diǎn)Q到橢圓的 右準(zhǔn)線的距離.22(2)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(當(dāng) ABx 軸時(shí)，Xi=x2, y1 =y2, 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(1-k2) x2-2kmx-m2-2=0,x1, y1)，(X2, y2). 22從而 OA OB =X1X2+y1y2= x1y12.AB的方程為y=kx+m,與 W的方程聯(lián)立，消去 y得故 X1 + X2=2 kmm2 2則 d1. (t

45、 1)2 (2t 3)2、.5t2 10td V5t2 10t 10r:22t 2工12. (t 2)2t2 2t 2f (t) ( 2 t 2),(t 2)2值.因此，生最小值=J5 f(-),此日d2-32注：f (t)的最小值還可以用判別式法、換元法等J10, d2 t 2 .10分一 4則 f (t) 在 t 一時(shí)取得最小313分一4 1”Q Q的坐標(biāo)為(-) 14分3 3所以 OA OB =X1X2+y1y2=X1X2+ (kx+m) (kx2+m) = (1 + k2) x1x2+km(X1+X2) +m22229、設(shè)F是橢圓C:冬 1(a b 0)的左焦點(diǎn)，直線l為其左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于點(diǎn) a b22_ 22(1 k )(m2) 2k mk2 11 k24k2 1又因?yàn)閤x2>0,所以k2-1>0,從而OA OB >2.綜上，當(dāng)ABx軸時(shí)，OA OB取得最小值2.28、一束光線從點(diǎn)Fi ( 1,0)出發(fā)，經(jīng)直線l : 2xy 3 0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過點(diǎn)F2 (1, 0). (I)求點(diǎn)Fi關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Fi的坐標(biāo)；(n)求以FF2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓C的方程；(出)設(shè)直線l與橢圓C的兩條準(zhǔn)線分別交于 A、 動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到52的距離與到橢圓 C右準(zhǔn)線的距