全國版高考數(shù)學必刷題：第二單元函數(shù)的概念與基本性質(zhì)

1、第二單元函數(shù)的概念與基本性質(zhì) 考點一函數(shù)的概念 1. (2015 年浙江卷)存在函數(shù)f(x)滿足:對于任意x R都有( ). 2 A.f(sin 2 x)=sin x B. f (sin 2 x)=x+x C.f (x2+1)=|x+1| D.f (x2+2x)=|x+1| 【解析】選項 A中,x分別取 0，n可得f(0)對應的值為 0,1,這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項 A錯誤; 選項 B中,X分別取 0,n ,可得f(0)對應的值為 0,n 2+ n ,這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項 B錯誤； 選項 C中,X分別取 1,-1,可得f(2)對應的值為 2,0,這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項 C錯誤

2、； 選項 D中，取f(x)=V?r7,則對于任意x R都有f(x2+2x)=V7?+ 2x+ 1=|x+1|所以選項 D正確. 綜上可知，本題選 D. 【答案】D ,x 0, A -1,2 B. -1,0 C 1,2 D. 0,2 2 【解析】T當x0時,f (x)=x+?+a 2+a,當且僅當x=1時等號成立. 要滿足f (0)是f (x)的最小值，需 2+a f(o)=a,即a -a- 2 w 0,解得-1 w aw 2. a的取值范圍為0,2.故選 D. 【答案】D 真題回訪 3. (2015 年全國 n 卷)設(shè)函數(shù) f (x)=1?+1lOg2(2_x)，x 1, A. 3 B.6 C

3、.9 D.12 【解析】/-21,.f(log 2l2)=2log212-1 =舟=6. .f(-2)+f(log 212)=3+6=9.故選 C 【答案】C 4. (2016 年江蘇卷)函數(shù) yM- 2?的定義域是 _ . 【解析】要使函數(shù)有意義，需 3- 2x-x2 0,即x2+2x- 3 0,得(x- 1)(x+3) 0,即-3x 1,故所求函數(shù)的定義 域是-3,1. 【答案】-3,1 考點二函數(shù)的奇偶性 5. (2014 年全國I卷)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為 R且f(x )是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是 ( ). Af (x)g(x)是偶函數(shù) B.|f (

4、x)|g (x)是奇函數(shù) Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f (x)g(x)|是奇函數(shù) 【解析】令 hx)=f(x)g(x)則 h1(-x)=f(-x)g(-x)=-f (x)g(x)=-h1(x),.h1(x)是奇函數(shù),A錯誤. 令 h2(x)=|f (x)|g (x),則 h2(-x)=|f (-x)|g (-x)=|-f (x)|g (x)=|f (x)|g (x)=h2(x), h2(x)是偶函數(shù),B 錯誤. 令 h3(x)=f (x)|g(x)|,則 h3(-x )=f (-x )|g (-x)|=-f (x)|g (x)|=-h 3(x), .h3(x)是奇函數(shù),C正確. 令

5、h4(x)=|f (x)g(x)|，則 h4(-x)=|f (-x )g(-x )|=|-f (x)g(x)|=|f (x)g(x)|=h4(x), h4(x)是偶函數(shù),D錯誤. 【答案】C 6. (2015 年廣東卷)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是( ). 1 A.y=l+ ? B.y=x+弼 C.y=2x17? D. y=x+ex 【解析】A選項中的函數(shù)的定義域為 R因為Vi + (-?)2=VTT?iF,所以該函數(shù)是偶函數(shù).B選項中的函數(shù) 1 1 的定義域為x|x工 0,因為-x-掃-(?+ ?,所以該函數(shù)是奇函數(shù).C選項中的函數(shù)的定義域為 R,因為 -x 1 1 x 2 +

6、尹=尹2，所以該函數(shù)是偶函數(shù).D選項中的函數(shù)的定義域為 數(shù). 【答案】D 7.（2017 年北京卷）已知函數(shù)f （x）=3x-（？?,則f（x）（ ）. A. 是奇函數(shù)，且在 R上是增函數(shù) B. 是偶函數(shù)，且在 R上是增函數(shù) C. 是奇函數(shù)，且在 R上是減函數(shù) D. 是偶函數(shù)，且在 R上是減函數(shù) 【解析】函數(shù)f(x)的定義域為 R， 4 -? 4 ? f(-x )=3-x-(3) =(3) -3x=-f (x)， 函數(shù)f （x）是奇函數(shù). 4 ? 函數(shù)y=（3）在 R上是減函數(shù) 又/ y=3x在 R上是增函數(shù)， 1 ? 函數(shù)f （x）=3x-（3）在 R上是增函數(shù). 故選 A. 【答案】A 8

7、. （2015 年全國I卷）若函數(shù)f （x）=xln （x+J?R）為偶函數(shù)，則 【解析】Tf(x)為偶函數(shù),.f(-x)-f (x)=0 恒成立, -X ln (-x+ V? ?)-x ln (x+V ?)=0 恒成立, .xln a=0 恒成立， In a=0,即 a=1. 【答案】1 R因為-x+ e-x =e?x，所以該函數(shù)是非奇非偶函 4 ? 二函數(shù)y=-(j在R 上是增函數(shù) a= _ 考點三函數(shù)的單調(diào)性及其綜合應用 9. (2017 年全國I卷)函數(shù)f(x)在(-)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-K f(x-2) 1的x的取 值范圍是( ). A.-2,2 B.-

8、1,1 C.0,4 D.1,3 【解析】Tf(X)為奇函數(shù),.f(-X)=-f(X). .f1)=-1,.f(- 1)=-f (1) = 1. 由-K f (x- 2) 1,得 f(1) f(x-2)上單調(diào)遞減， -1 x-2 1, 1 xf(- v2),則a的取值范圍是 _ . 【解析】vf(x)是偶函數(shù)，且在(-g ,0)上單調(diào)遞增， f(x)在(0,+g)上單調(diào)遞減,f(-V2)=f(v2), 1 f(2i)f(v2),.2i 辺=22, 1 1 113 |a -11 ,即-2a-1 2,即 2a?01 的x的取值范圍是 _ . 1 1 【解析】由題意知，可對不等式分x 0,0 x2三段

9、討論. 1 1 當x1,解得x-4， 1 - YX= 0 4 當 01，顯然成立. 當x1時，原不等式為 2x+2?；1,顯然成立. 1 綜上可知，x-4* 1 【答案】(-4,+ 8) 高頻考點：求函數(shù)的定義域、分段函數(shù)求值、利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)不等式、函數(shù)奇偶性的應用 . 命題特點:1.求函數(shù)的定義域一般根據(jù)限制條件 ，列岀不等式求解，此類問題難度不大. 2. 分段函數(shù)的求值需根據(jù)自變量的范圍確定對應的解析式 ，再代入運算，此類問題難度不大. 3. 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性往往綜合考查.解決這類綜合考查問題常利用周期性和奇偶性把所求 的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間內(nèi)的函數(shù)解析式 ，再利用單

10、調(diào)性分析或求解. 2.1 函數(shù)的概念及其表示 汩曲津 J 必備知識 L - - k 函數(shù)的概念 給定兩個非空數(shù)集 A和B,如果按照某個對應關(guān)系 f，使對于集合A中的 _ 一個數(shù) X，在集合B中都存在 _ 確定的數(shù)f(x)與之對應，那么就把對應關(guān)系f叫作定義在集合 A 上的 _ ，記作 _ .此時，x叫作自變量，集合 A叫作函數(shù)的 _ ，集合 f(x)|x A叫作函數(shù)的 _ . 函數(shù)的表示法 函數(shù)的表示法：_ 三分段函數(shù) 若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同 ，可用幾個式子表示，則這種形式的函數(shù)叫 作 _ . ?左學右考 判斷下列結(jié)論是否正確，正確的在括號內(nèi)畫 “V”，錯誤的畫“X ?2 (

11、1)f(x)=?與g(x)=x是同一個函數(shù) (2)f(x)=|x| 與 g(x)= (3)函數(shù) f(x)= ?+ 3+1 的值域是y|y 1. ( ) 若函數(shù)f(x)的定義域為x| K x3,則函數(shù)f(2x-1)的定義域為X|1W x 0,所以x +3 3,所以函數(shù)f (x)=v2?+ 3+1 的值域是y|y v+1. 錯誤，因為f (x)的定義域為x| 1 x3,所以 K 2x-1 3，解得 K x2,故函數(shù)f(2x-1)的定義 域為x| 1 x 0, x (-2,0)U 1,2),故選 C. (2)由已知函數(shù)f(x)的定義域為1,20，可知 1 x+1 20,解得 0W x 19,故函數(shù)f

12、(x+1)的定 0 V ?V 19 義域為0,19. 使函數(shù)g(x)有意義的條件是?；為宀，解得 0V x1 或 11),則 x=茹, f(t)=lg 舟,即 f(x)=lg 右(x1).2 2 _ (2)設(shè) f (x)=ax +bx+c(a 0)則 f (x)=2ax+b=2x+2,二 a=1 ,b=2,.f (x)=x +2x+c.又/ 方程 2 f (x)=0 有兩個相等的實根，.A = 4-4c=0,得 c=1.故 f(x)=x+2x+1. 2 2 【答案】(l)lg 兩(X1) (2)f(x)=x +2x+l 求函數(shù)解析式常用的方法有待定系數(shù)法、換元法、配湊法、轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造方程組法

13、【變式訓練 2 (1)已知 f (V?+1)=x+2v?測 f(x)= _ . 1 (2)已知函數(shù) f(x)的定義域為(0,+ X)，且 f(x)=2f(? J?1 則 f(x)= _ . 【解析(1)設(shè) v?+1=t(t 1),則后t- 1,所以 f(t)=(t- 1)+2(t- 1)=t -1(t 1), 2 所以 f(x)=x-1(x 1). (2)在 f (x)=2f (? V?1 中,用1代替 x,得 f (*?=2f (x) 為? h 將 f (? =2?)1 代入 f (x)=2f(? v?1 中,可求得 f (x)=3/靈. 【答案(1)x2-1(x1) (2)3 耳 題型三分

14、段函數(shù)問題 . 2 【例 3 (1)函數(shù)f(x)=s：( n Tx 0 A 1或-竺 B-竺 2 2【答案】(1)B (2)2 (1 -2?)?+ 3? ? 1 (2)已知f(x)=(n?；?J； ? 的值域為 R 則a的取值范圍是 _ 1 1 【解析】(1) Tf(1)=e =1 且 f (1)+f (a)=2,Af(a)=1. 2 2 2 2/2 當-1a0 時,f (a)=sin ( n a )=1, v 0a1，二 0n a 0 時,f (a)=e 1=1? a=1. 綜上可得a二身或a=1,故選 A 1 (2)要使函數(shù)f(x)的值域為 R 應滿足篇2?鳥?，3?即?：2,二-仁a1,

15、 故a的取值范圍是卜1,2). 1 【答案】(1)A卜1,2) 解決分段函數(shù)問題先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間 ，其次選定相應的解析式，根據(jù)要求求 解但要注意檢驗所求值(或范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍 【變式訓練 3】(1)已知函數(shù) 心尸黑仔；)；?0。則f(f)的值為( ) A 1 /3 1 V3 A- 2B.- T C2 (2)設(shè)函數(shù) f(x) =；? 1 若 f(?()=4,則 b= _ 【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得f (|)=f(|-1)=f(-1)=sin Tt-1)=-扌故選 B. (2)f (6) =3 x 6-b=|-b，若2-b2,則 3 x (|-b) -b2-

16、4b=4,解得 b=8,不滿足條件，舍去若 2-b 1,即b 0 【突破訓練 1】已知函數(shù)f (x)=?+若f(a)+f(l)=O,則實數(shù)a的值為( ). A- 3 B.- 1 C 1D. 3 【解析】當a0 時，由 f (a)+f (1 )=0 得 2a+2=0，故不存在實數(shù)a滿足條件；當a 0, ? 0, 即? 0, In?工 0, ?工 1, 所以 0 xw 2 且x豐1,所以函數(shù)f(x)的定義域為(0,1) U (1,2,故選 D. 【答案】D 4. (2017 安徽黃山質(zhì)檢)已知f (x)是一次函數(shù)，且 f(f(x)=x+2,則f(x)=( ). Ax+ 1 B. 2x-1 C-x+

17、 1 D.x+ 1 或-x- 1【答案】X- V-? 【解析】設(shè) f(x)=kx+b(kM0),則由 f(f(x)=x+2,可得 k(kx+b)+b=x+2,即 2 2 k x+kb+b=x+2, Ak =1,kb+b=2，解得 k=1,b=1,則 f (x)=x+1.故選 A 【答案】A 5. (2016 河南八市高三質(zhì)檢)已知函數(shù) 倫農(nóng):為益是奇函數(shù)，則g(f(-2)的值為(). A0 B. 2 C.- 2 D- 4 【解析】因為函數(shù)f (x)= ?(? ?曙是 奇函數(shù)，所以 f(-2)=-f (2)=- (4-2)=-2,所以 g(f (- 2)=g(- 2)=f (- 2)=-f (2

18、)=-2,故選 C 【答案】C 6. (2017 江西金溪高三上期中)設(shè)函數(shù)4,則f(3)+f(4)= . ?(?,x -1且XM 2, 1 1 故函數(shù)y=lg (3x+1)+2?的定義域是? - 3且 x工 2. 1 【答案】?!? -亍且 x工 2 8. _ (2017山東青島一中檢測)奇函數(shù)f(x)在(0,+)上的表達式為f (x)=x+“測在(-巴 0)上f (x) 的表達式為f (x) = . 【答案】X- V-? 【解析】設(shè)X 0,Af (-x )=-x+佰？又 Tf(X)為奇函數(shù),Af (x)=-f (-x )=x-佰?即當 x (- g ,0)時,f (x)=x-口？ x-1(

19、x 0), 9. (2017 山東省煙臺市高三上期中)設(shè)函數(shù)f (x)= 若f(a)a,則實數(shù)a的取值范圍 ?(x 0 時,f (a)=1a-1a,解得a-2,無解; 當 aa,解得 a1(舍去). 綜上可得,a-1. 【答案】(-g,-1) 10. (2017 四川遂寧零診)設(shè)函數(shù)f(x)=?r,則f(2?+f(即的定義域為( ). A ,4 B. 2,4 C (1,+g )D. 1,2 故所求函數(shù)的定義域為2,4. 【答案】B 11. (2017 湖北武漢四月調(diào)考)已知函數(shù)f (x)滿足f(?+1j(-x)=2x(x 0),則f(-2)=( ). 【解析】已知函數(shù)f(x)滿足f(?+1?(

20、-x )=2x(x豐0),令x=2可得f(2)+f (-2)=4; 令 x=-1可得 f(-2)-2f(2)=-1. 聯(lián)立可得f(-2)=|.? 【解析】 函數(shù) f (x)=V?f的定義域為1，+ g),則 4 A 1, 解得 2 x4, 1, 9 9 - - 2 2 D D 7 7 - - 2 2 C C 9 9 一 2 2 B B 7 7 - - 2 2 A A 【答案】C 12. (2017 山東煙臺高三上期中)已知函數(shù)f(x)=lg(1-x)的值域為(-,0),則函數(shù)f(x)的定義域 為(). A 0,+* ) B (0,1) C-9,+*) D-9,1) 【解析】函數(shù)f (x)=|g

21、 (1-x )的值域為(-*,0), ig (i-x)0, 0V1-XV1,解得 0 x1, 則函數(shù)f(x)的定義域為(0,1). 【答案】B n ? 1 13. (2017 河北衡水武邑中學高三上二調(diào) )已知函數(shù)f (x)=sin空,x 1, ( ). 【解析】 ? “ sin 片，x 1, 當 a 1 時,f (a)=-log 2a=-3,解得 a=8. f6-a)=f(-2)=sin (吟)=-亨. 【答案】D 14. (2017 鐵嶺市協(xié)作體第一次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)n叮)喏f (m)f(-m),則實數(shù)m的取值范 -in?,? u, 圍是 _ . ln(-?) ?f(-m),即為-In

22、 mn mW ln m0，解 AB-jc.字 V3 D- T 得 0m; 當 mf(-m),即為 In (-m)-ln (-m),則 In (-m)0,解得 m-l. 綜上可得,m-1 或 0m. 【答案】(-g,-1)U (0,1) 2.2 函數(shù)的單調(diào)性與最值 7 一 二 函數(shù)的單調(diào)性 一般地，設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為I ,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量 X1 ,X2, 當X1X2時都有 _ ，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)； 當xiX2時都有 _ ，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù). 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是 _ 或 _ ，那么就說函

23、數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具 有(嚴格的)單調(diào)性， _ 叫作y=f (x)的單調(diào)區(qū)間. 函數(shù)的最值 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù) M滿足: (1)對于任意的x I,都有 ； (2)存在 xo I，使得 _ . 那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大(小 )值. ?左學右考 1判斷下列結(jié)論是否正確，正確的在括號內(nèi)畫 “V” ，錯誤的畫“x” . (1) 若定義在 R上的函數(shù)f(x),有f(-1)f(X2) 二、 增函數(shù) 減函數(shù)區(qū)間D 三、 (1)f (x) M (2)f(xo)=M 基礎(chǔ)訓練 1.【解析】(1)錯誤，不符合函數(shù)單調(diào)性的定義. (2)錯誤，函數(shù)y=f(x)在1,+g)

24、上是增函數(shù)，只能說明1,+屬于單調(diào)遞增區(qū)間 (3) 錯誤,有多個單調(diào)區(qū)間的情況，只能用“，”隔開或?qū)懗伞昂汀保荒軐懗刹⒓ⅰ盎颉钡男问? 錯誤,如函數(shù)y=x就沒有最值 【答案】(1)X X (3) X (4) X 2.解析】函數(shù) 2 2 2 2 f (X)=?1 在區(qū)間2,6上單調(diào)遞減，所以 fgmaxnfrnZf (x)min=f(6)=：廠虧 2 【答案】2 5 訂關(guān)鍵能力 題型一函數(shù)單調(diào)性的證明 【例 1】已知函數(shù)f (x)=V ? 1-ax,其中a0. 證明：當a 1時,f (x)在區(qū)間0,+上為減函數(shù) 【解析】任取X1,X2 0,+x )，且X1VX2, 則 f (xi)-f(X2

25、)=?+ 1-axi- V?+ i+ax2 =V?+ 1- V?+ 1-a(x-X2) TO X1V? + 1 ,0X2V?+ 1, Ov+? 1,.f (x1)-f (x2)0,.“匕)在區(qū)間0,+x)上為減函數(shù) 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：任取X1,X2 D且X1VX2；作差;變形(通 =(X1-X 2)( ?+? V?+1+ V?+1 V?+1+ V?+1 -a (x1-x 2) 常是因式分解、 通分、 配方);判斷符號(判斷f(xJ-f(X2)的符號);下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定區(qū)間D上的 單調(diào)性). 【變式訓練 1】已知定義在區(qū)間(0,+少上的函數(shù)f

26、(x)滿足f(気)=f(xi)-f(X2),且當x1 時,f(x)0,則 f (1)=f (xi )-f (xi)=0,故 f (1)=0. 任取 X1,X2 (0,+B )，且 X1X2，則?1. 當 x1 時,f (x)0,Af(?)0,即 f(x1)-f (X2) 0,解得x 3,故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 【3,+). 【解(1)因為y=lo g1t (t0)在定義域上是減函數(shù) 2 ，所以要求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)，即求函數(shù)t=x2- 4 【答案】【3,+ 題型三單調(diào)性的應用 【例 3】(1)已知函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當 X2xi時,【f (X2)-f (xi)】(x2-x

27、i)v0恒成立，設(shè) 1 a=f(-2),b=f(2),c=f(e),則 a,b,c 的大小關(guān)系為( ). A.cab B.cba C.acb D.bac (2)設(shè)定義在(0,+上的增函數(shù)f(x)對任意的x (0,+都有f(f(x)-log 3X)=4,則不等式f (a2+2a)4的解 集為( ). A. a|a1 B. a|a1 C a|-3a1 Da|aX11,f (X2)-f (X1)(x2-X1)V0 恒成立, 5 5 知f (x)在(1，+X)上單調(diào)遞減.因為 1 22f(2f (e),所以bac. (2)設(shè)f (b)=4,則對任意的x (0,+ X),有 f (x)- log 3X=

28、b恒成立再將x=b,f (b)=4代入前式，得 log 3b+b=4,可求 得 b=3,則 f (x)=3+log 3X,f (3)=4.又 f (x)是定義在(0,+)上的增 函數(shù)所以f(a2+2a)4 的解集為不等式 a2+2a3 的解集，即為a|a1,故選 A. 【答案】(1)D (2)A (1)比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi) ，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.已知函數(shù) 單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題是討論單調(diào)性的可逆過程 ，解法是根據(jù)單調(diào)性的概念得到“恒成立”的不等式，同 時要注意定義域. 【變式訓練 3】已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間0,+*)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則關(guān)

29、于x的不等式 f(2x-1)vf(3)的解集是 3 2?1 20， 1 2 【解析】由題意知2?1 1解得2三x x1x20, 1 1 則 f (xd-f(X2) =2(x-x 2)-(?-?) -1 - 2 ?，/? ? 當v-2X20,.X1-X20,X1X20. f(X1)f(X2), f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，無最小值， 當x=1時,f (X)取得最大值 1 , 當 xT 0,且 x0 時,f(0) T- f(x)的值域為(- OO ,1. 若a0,則y=f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，無最小值，當 x=1 時,f (x)取得最大值 2-a. 若ao,則f(x)=2x+?當 1,即a

30、 (- O,-2時,y=f(x)在(0,1上單調(diào)遞減，無最大值，當 X=1時,f (x)取得最 小值 2-a; 調(diào)性求值域；三是要掌握利用導數(shù)法求值域這是三種最基本的方法，此外還有基本不等式法、數(shù)形結(jié)合法等 【變式訓練 4】函數(shù)f(x)=?x 1, 的最大值為 -? + 2,x 1時，函數(shù)彳以)=?為減函數(shù)，所以f(x)在x=1 處取得最大值,最大值為f(1)=1 ;當xf(X2)的形式，然后根據(jù)其 單調(diào)性脫掉“ f”，轉(zhuǎn)化為關(guān)于X1與X2的不等式問題求解. 【突破訓練 1】 已知定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1;當x0 時,f(x)-1. (1) 求 f(

31、0)的值,并證明f(x)在 R上是增函數(shù); (2) 若 f(1)=1,解關(guān)于 x 的不等式 f(x2+2x)+f(1-x)4. 【解析】(1)令 x=y=0,得 f (0)=-1. 在 R 上任取 X1X2,則 X1-X20,即 f (X1-X2)-1. 又 f (X1)=f (X1-X 2)+X2)=f(X1-X 2)+ f (X2)+ 1 f(X2), 所以f (x)在 R上是增函數(shù). (2)由 f(1)=1,得 f(2)=3,f(3)=5. 由 f (x2+2x)+f(1-x )4,得 f (x2+x+1)f(3). 2 又函數(shù)f (x)在 R上是增函數(shù)，故x +x+13, 解得x1,

32、故原不等式的解集為x|x1. 方法二 分類討論思想在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用 使用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍時，常常需要討論，把要研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，轉(zhuǎn)化成若干個 小問題來解決，即先按不同情況分類，然后逐一解決. 【突破訓練 2】若函數(shù)f(x)=ax2 3+2x-3 在區(qū)間(-,4)上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是 _ . 【解析】當a=0時,f(x)=2x-3,它在定義域 R上是單調(diào)遞增的，故f(x)在(-0，4)上單調(diào)遞增； 1 當az 0時，二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線 x二?因為f(x)在(-0,4)上單調(diào)遞增， 所以a0,且-身4，解解得-存a)上均為減函數(shù)，但在定義

33、域內(nèi)不單調(diào)；B選項中的函數(shù)是非奇 非偶函數(shù)；C選項中的函數(shù)是偶函數(shù)；D選項滿足題意. 【答案】D 2. (2017 長春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|x+a|在(-8,-1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是( ). A. (-8,1 B. (- 8,-1 C -1 ,+8 ) D . 1 ,+8 ) 【解析】因為函數(shù)f(x)在(- 8,-1)上是單調(diào)函數(shù) 所以-a -1,解得a b時,a b=a2；當ab時,a b=b.函數(shù) 1 f(x)=(1 x)x-(2 x)在區(qū)間-2,2上的最大值為( ). A- 1 B. 1 C. 6 D 12 3 【解析】由已知得，當-2 x 1 時,f(x)=x-2 ;

34、當 1x 2時,f (x)=x - 2. vf(x)=x-2,f (x)=x3-2 在定義域內(nèi)都為增函數(shù), . . 3 在區(qū)間-2,2上,f(x)的最大值為f(2)=2-2=6. 【答案】C 4. (2017 衡水調(diào)研)已知函數(shù)f(X)珥? + 2x,x 0,若f(-a)+f(a) 2f(1),則a的取值范圍是( ). ?-2x,x 0. A. -1,0) B. 0,1 C -1,1 D.-2,2 【解析】由題意知函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，所以f (-a)=f(a),故原不等式等價于f (a) f (1),即f (|a| ) f (1),而函 數(shù)f (x)在0,+8)上單調(diào)遞增，故 1,解得-K

35、 a 1, ? 4- 2 0,解得 ? ? (4 - ?) + 2, 【答案】B 1,? 0, 6. (2017 鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f (x)=0,?= 0,g(x)=x2f (x-1),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ?,x 1, (4 - 5.(2017 湖南師大附中高三月考)已知f(x)= A.(1,+8) B. 4,8) C (4,8) D.(1,8) 【解析】由已知可4 a8. -1,? 1, 由題意知函數(shù)g(x)=0,?= 1,其圖象是如圖所示的實線部分，由圖象可得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0,1). -?,x 1, 【答案】0,1) 7. (山東臨沭一中 2018 屆月考)對于任意實

36、數(shù)a,b,定義 mina,b=?,?設(shè)函數(shù)f(x)=-x+3,g(x)=og 2X,則函數(shù) J. h(x)=minf (x),g(x)的最大值是 log2x,0 x 2. 當 02時,h(x)=3-x是減函數(shù), /.h(x)在x=2 時取得最大值，最大值是h(2)=1. 【答案】1 .? 8. _ (2017 石家莊調(diào)研)函數(shù)f(x)=(-log 2(x+2)在-1,1上的最大值為 _ 1 ? 【解析】因為y=(3)在 R上單調(diào)遞減，y=log 心+2)在-1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在-1,1上單調(diào)遞減，故 f (x)在-1,1 上的最大值為f (- 1) =3. 【答案】3 9. _ (

37、河北館陶一中 2018 屆月考)函數(shù)y=f(x )的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且在1,+)上單調(diào)遞減，f(0)=0,則 f (x+1)0 的解集為 . 【解析】由f (x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,f (0)=0,可得f(2)=f(0)=0. 當 x+1 1,即 x0 時,f (x+1)0,即為 f (x+1 )f(2), 由f (x)在1，+2)上單調(diào)遞減，可得x+12,解得x1, 即有 0 x1. 當 x+1 1，即 x0,即為 f (x+1)f (0), 【解【解析】依題意， 由f (x)在(-2,1)上單調(diào)遞增，可得x+10,解得x-1, 即有-lvx0. 由可得所求不等式的解集為x|-

38、 1VXV1. 【答案】x|- 1X-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1w 1. 若存在實數(shù) a,b，使得 f (a)=g(b)，則 g(b) (-1,1,所以-b+4b-3-1,即 b-4b+20, 10. (遵義四中 2018屆月考)已知函倉 2, 詳(2)?i,x2 滿足對任意實數(shù) xi ,X2且 為 工X2, 都有 ?(簣了)0成立 A.（-2） B.（卡 【解析】?（?-f（） ?-? ?20, O x2)得f(x)為減函數(shù)所以2(?字 2)胡 解得a噸,故選 解得 2-v2b0,a 1)在-1,2上的最大值為 4,最小值為m且函數(shù)g(x)=(1-4n)V?在 0,+

39、上是增函數(shù)，則a=( ). 【解析】當a1時,f (x)=ax是增函數(shù)，有a2=4,a-1=mW得a=2,m=,此時g(x)=- J?在0,+叼上是減函數(shù) 不合題意. 當 0a1 時,f (x)=a 4, 取值范圍是 _ . 【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知f(x)在(a,a+1)上單調(diào)遞增，需滿足a+1 4,即 a4. $ /gy J 尸 4) 【答案】(-31 U 4,+ 15. (甘肅天水一中 2018 屆月考)已知函數(shù)f(x)=x+|sin專? -1,1,其中x表示不超過x的最大整數(shù) 例如 -3.5=-4,2. 1=2. (1) 試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由

40、 求函數(shù)f(x)的值域. 【解析】(1)f (- 1)=-1+1=0,f (1)=1+1=2, f(-1)半 f 且 f(-1)半-f (1), 故函數(shù)f (x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). n ? -1-sin ,-1 $ 0, (2) f (x)=x+|sin Tl= sin 寧?0$ 1, 2,?= 1, 當 x 匕-1,0)時,f(O)vf(x)$ f (-1),即-1f(x)$ 0; 當 x 0,1)時,f (0) $ f (x)f(1),即 0$ f (x)1; 當 x=1 時,f (x)=2. 綜上可得，函數(shù)f(x)的值域為(-1,1) u 2. 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性 於曲

41、緒圏曲倍夠曲強書列沁曲曲注 函數(shù)的奇偶性 1. 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個 X,都有 _，那么函數(shù)f(x)就叫作 偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱. 2. 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個 X,都有 _那么函數(shù)f(x)就叫作 奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 . 函數(shù)的周期性 1. 周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù) T使得當x取定義域內(nèi)的任何值時 都有 _ ,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱 T為這個函數(shù)的周期. 2. _ 最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個 _ 的正數(shù)，那么這個 就叫作f(x)的最小正周期. ?

42、左學右考 1判斷下列結(jié)論是否正確，正確的在括號內(nèi)畫 “V”，錯誤的畫“X” . (1)偶函數(shù)的圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點. ( ) 若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱. ( ) (3) 若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)對稱. ( ) (4) 定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件 ( ) 2設(shè)f(x)是定義在 R上的周期為 2的函數(shù)，當 x -1,1)時，f (x)=；4?+2；-1系xv 0,則f(i.5)= . ! ?，? 1， 3如果f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù)

43、，那么a+b的值是 _ .1 所以a+b=3. 1 【答案】3 函數(shù)f (x)的定義域為x|x R且x工 0,關(guān)于原點對稱. 2 2 當 x 0, z.f(-x )=- (-x) +2(-x)- 3=-(x +2x+3)=-f (x)；題型一 函數(shù)奇偶性的判斷 【例 1】判斷下列函數(shù)的奇偶性 f (x)=xlg(X+V?+ 1 工彳(x)=(1-x 冷而; f(x)= ?+ 2x+ 3,x 0; 1?+3卜3 【解析】 ？升 1|x| 0,二函數(shù)f(x)的定義域為 R,關(guān)于原點對稱 又 Tf (-x )=-x lg (-x+ V ? 1 )=xlg (V ?+ 1 +x)=f(x), -f (

44、x)是偶函數(shù). 當且僅當帶0時函數(shù)有意義 ，-K x1. T定義域不關(guān)于原點對稱 函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù) V4-?2， 又-f (-X )= =-f (x), 函數(shù) f (x)是奇函數(shù). 判斷函數(shù)的奇偶性，先判斷定義域，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷. 分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)X取值的任意性，應分段討論，討論時可依據(jù)X的范圍取相應的 解析式化簡，判斷f (x)與 f (-X )的關(guān)系，得出結(jié)論. 【變式訓練 1】判斷函數(shù)f(X)V3?+V?3的奇偶性. 【解析】由煖 3?J 得X2=3, 心価，即函數(shù)f(X)的定義域為-皿回 從而 f(x)=3- ?+V?3=0. 因此 f (-x

45、)=-f (X)且 f (-X )=f (X)， 函數(shù)f (X)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 題型二函數(shù)周期性的應用 【例 2】已知f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，且 g(x)=f(x-1)，則f(2017)+f(2019) 的值為( ). A.- 1 B 1 C. 0 D 無法計算 【解析】由題意得g(-x )=f (-x- 1 )， f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在 R上的奇函數(shù)， g-x )=-g(x)，f (-x)=f(x)， f(x- 1)=-f (x+1)， f (x)=-f (x+2)，/.f (x)=f (x+4)， f(x)的周期為 4

46、. f(2017)=f(1)，f(2019)=f(3)=f(-1). 又f(1)=f(-1)=g(0)=0， /.f(2017)+f (2019)=0. 【答案】C (1)判斷函數(shù)的周期性只需證明 f (x+T)=f(x)(T工 0). (2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函 數(shù)的整體性質(zhì). 【變式訓練 2】已知f(x)是定義在 R上且最小正周期為 2的周期函數(shù)，當 0 x2 時,f(x)=X-x,則函數(shù)y=f(x) 在0,6上的圖象與x軸的交點個數(shù)為( ). A. 6 B 7 C. 8 D) 9 【解析】函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點即為y=f(x)的零點，先在0,2)上討論

47、，令 f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0, 解得x=0或x=1 (x=-1舍去).又函數(shù)f (x)在 R上是以 2為周期的周期函數(shù)，所以當x=2,x=4,x=6或x=3,x=5時也 有f (x)=0,即在0,6上f (x)的圖象與x軸的交點個數(shù)為 7. 【答案】B 題型三 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 【例 3】已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x- 4)=-f (x),且在0,2上是增函數(shù) 則( ). Af (- 25)f(11)f (80) B. f (80)f(11)f (- 25) C. f (11)f(80)f (- 25) D. f (- 25)f(80)f (11) 【解析】

48、因為f (x)滿足f (x- 4)=-f (x), 所以 f(x-8)=f(x),所以函數(shù) f(x)是以 8 為周期的周期函數(shù)，則 f(-25)=f(-1),f (80)=f(0),f(11)=f(3). 由f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f (x- 4)=-f (x),得f (11)=f(3)=-f (- 1)=f(1). 因為f (x)在0,2上是增函數(shù),f(x)在 R上是奇函數(shù) 所以f (x)在-2,2上是增函數(shù), 所以 f(-1)vf(0)vf(1),即 f (- 25)f(80)f(-m2+2m-2), 則m的取值范圍是 _ . 【解析】因為函數(shù)f (x)在定義域2-a ,3上

49、是偶函數(shù)，所以 2-a+3=0，所以a=5. 所以 f (-m2-1)f(-m2+2m-2),即 f(m+1)f(m-2m+2).又函數(shù) f (x)在0,3上單調(diào)遞減,而 2 2 2 m+10,m-2m-2=(m-1) +10, 1 【答案】1 - V2,2) 方法一整體代換思想在函數(shù)解題中的應用 整體代換思想是指將問題或者問題的一部分看成一個整體 ，或者將一些相關(guān)量看作整體，從整體入手，簡 化解題過程. 21?1-1-?刁 +2 【突破訓練 1】已知函數(shù)f(x) 的最大值為M最小值為m則M+n等于( ). A 0 B 2 C 4 D 8 2|?|+1+?3+ ? 【解析】f(x)= 2|?+

50、1 =2+2， ? 設(shè) g(x)=n , /g(-x )=-g (x), g(x)為奇函數(shù)， gx) max + g(x)min=0. / M=1(X)max=2+g(X)max,m=XX)min =2 + g(X, M + m=+g(X)max+2+g(X)min=4. 【答案】C 方法二 化歸轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)性質(zhì)中的應用 【突破訓練 2】設(shè)f(x)是定義在 R上且周期為 2的函數(shù)， ? 1,-1 ?f(nT-2m-2)得 ?2-2m ? + 1 二 3,解得 1-透m|. f (f) Bf (V2)f (-謁 3 Cf (4)f (3)D.f (- v2)f(V3) 【解析】已知f(x)是偶

51、函數(shù)，則f (-x)=f(x). f(x)在(-x ,-1上是增函數(shù). 對于 A,f (f) =f (-曽)，丁 -身-1,Af(-1)與 f(身)的大小關(guān)系不確定 對于 B,f(x)是偶函數(shù)，即 f (-x)=f(x),f (v2)=f (- v2); 對于 C,f (4)=f (-4),f(3)=f (-3), T- 4-3, .f(4)f (3); 對于 D,f (V3)=f (- V3), T-v5f(v3). 【答案】D ? 4. (山東濰坊四中 2018 屆月考)設(shè)常數(shù)a0,函數(shù)f (x)= ?a為奇函數(shù) 廁a的值為( ). 2 -a A 1 B- 1 C.4 D 3 2?+a 【解析】T函數(shù)f(x)=2?+a為奇函數(shù)， 2 -a .f (-x )+f (x)=0, 2-?+a 2?+a_o 即戶跖+苗=0 化簡得(1+a 2x)(2x-a)+(l-a 2x)(2x+a)=0, x 2 故 2 2 (1-a )=0,解得 a=1 或 a=-1. -a0,. - a=1. 經(jīng)檢驗，當 a=1時