量子力學(xué)習(xí)題答案

1、2.1如圖所示 左 右 0 x設(shè)粒子的能量為，下面就和兩種情況來討論（一）的情形此時，粒子的波函數(shù)所滿足的定態(tài)薛定諤方程為其中其解分別為（1）粒子從左向右運(yùn)動右邊只有透射波無反射波，所以為零由波函數(shù)的連續(xù)性得 得 解得由概率流密度公式 入射反射系數(shù) 透射系數(shù) （2）粒子從右向左運(yùn)動左邊只有透射波無反射波，所以為零同理可得兩個方程 解 反射系數(shù)透射系數(shù)（二）的情形令,不變此時，粒子的波函數(shù)所滿足的定態(tài)薛定諤方程為其解分別為由在右邊波函數(shù)的有界性得為零（1）粒子從左向右運(yùn)動得 得 解得 入射 反射系數(shù)透射系數(shù)(2) 粒子從右向左運(yùn)動左邊只有透射波無反射波，所以為零同理可得方程由于全部透射過去，所以

2、反射系數(shù)透射系數(shù)2.2如圖所示 E 0 x在有隧穿效應(yīng)，粒子穿過壘厚為的方勢壘的透射系數(shù)為總透射系數(shù) 2.3以勢阱底為零勢能參考點(diǎn)，如圖所示（1） 左 中 右 0 a x顯然時只有中間有值在中間區(qū)域所滿足的定態(tài)薛定諤方程為其解是由波函數(shù)連續(xù)性條件得 相應(yīng)的因?yàn)檎?fù)號不影響其幅度特性可直接寫成由波函數(shù)歸一化條件得 所以波函數(shù) （2） 左 中 右 0 x顯然時只有中間有值在中間區(qū)域所滿足的定態(tài)薛定諤方程為其解是由波函數(shù)連續(xù)性條件得當(dāng)，為任意整數(shù)，則當(dāng)，為任意整數(shù)，則綜合得 當(dāng)時，波函數(shù)歸一化后當(dāng)時，波函數(shù)歸一化后2.4如圖所示 左 中 右 0 a顯然在中間和右邊粒子的波函數(shù)所滿足的定態(tài)薛定諤方程為

3、其中 其解為 由在右邊波函數(shù)的有界性得為零 再由連續(xù)性條件，即由得 則得 得 除以得再由公式 ,注意到 令,其中 ， 不同n對應(yīng)不同曲線,圖中只畫出了在的取值范圍之內(nèi)的部分 6 n=6 5 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 0 n=0 只能取限定的離散的幾個值，則E也取限定的離散的幾個值，對每個E，確定歸一化條件得2.5則該一維諧振子的波函數(shù)的定態(tài)薛定諤方程為令 則上式可化成令則只有當(dāng)有解 2.6由 和已知條件可得第三章3.1能量本征值方程為即分離變量法，令則有令則同理 令則式中能級簡并度為 3.2角動量算符 在極坐標(biāo)系下 則 由能量本征值方程 令 其解為由周期性得 歸一化條件 則 3.

4、4由能量本征值方程 令 當(dāng) 令 此時 滿足的方程為 時 時只考慮時 令其解分別為 由波函數(shù)有界性 得 由波函數(shù)連續(xù)性得 再由公式 ,注意到 令,其中 ， 不同n對應(yīng)不同曲線,圖中只畫出了在的取值范圍之內(nèi)的部分 6 n=6 5 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 0 n=0 只能取限定的離散的幾個值，則E也取限定的離散的幾個值，對每個E，確定歸一化條件得1 可求得3.5 同理 方差算符 則 由測不準(zhǔn)關(guān)系代入，驗(yàn)證該式是成立的第四章4.1在動量表象中 ， 則 代入 得 令 得 則 歸一化后的 4.5本征方程的矩陣形式上式存在非零解的條件是即 解得當(dāng) 再由 得 當(dāng) ，同樣第六章6.3解：在 表象

5、，的矩陣元為其相應(yīng)的久期方程為 即 所以的本征值為。設(shè)對應(yīng)于的本征函數(shù)的矩陣表示為，則由歸一化條件，得 同理可求得 對應(yīng)于的本征函數(shù)為6.1設(shè)在的表象下的本征函數(shù)為 ，本征值為 ，在的表象下的本征函數(shù)為 ，本征值為由在的表象下的矩陣得方程有非零解的條件為det=0，即 ，的本征值、本征函數(shù)有兩個當(dāng)時，代入得 由波函數(shù)歸一化條件得有同理由在的表象下的矩陣得方程有非零解的條件為det=0，即 ，的本征值、本征函數(shù)有兩個當(dāng)時，代入得 由波函數(shù)歸一化條件得有同理6.3節(jié)的證明題在中心場問題中（即氫原子中電子的狀態(tài)）（1）當(dāng)無自旋動量距與軌道動量矩的耦合（即存在算符與算符的相乘項(xiàng)）電子的哈密頓量為求其本

6、征值時轉(zhuǎn)化為球坐標(biāo)系下的方程則方程左邊可分解為三維表象下的三個方程，三個表象下各自的波函數(shù)相乘即是的本征函數(shù)。表象下是階連帶拉蓋爾多項(xiàng)式，記作算符的本征值表象下的方程顯示的對的作用關(guān)系即是算符是球諧函數(shù)，是與的共同本征函數(shù)表象下是其本征函數(shù)為主量子數(shù)角量子數(shù)軌道量子數(shù)自旋量子數(shù)（2）當(dāng)存在自旋動量距與軌道動量矩的耦合電子的哈密頓量為同樣求其本征值時轉(zhuǎn)化為球坐標(biāo)系下的方程表象下也是階連帶拉蓋爾多項(xiàng)式表象下的方程顯示的對的作用關(guān)系即是總動量矩算符 ， 是屬于不同自由度的 ，分別為其分量類似于在軌道角動量矩的性質(zhì)，具有共同本征函數(shù)下面先求的本征函數(shù)的本征函數(shù)為球諧函數(shù)的本征函數(shù)為則的本征函數(shù)為，顯然

7、的簡并度為屬于本征值的本征函數(shù)可表示為通過，確定可得表象下的本征函數(shù)在表象下由求得（以下只要記住就行） 時 時至此該情況下的本征函數(shù)為主量子數(shù)角量子數(shù)磁量子數(shù)內(nèi)量子數(shù)量子力學(xué)全書重點(diǎn)1. 量子力學(xué)三大作用：奠基作用、滲透作用、設(shè)計作用2. 量子力學(xué)中粒子的特點(diǎn)單一粒子具有波粒二象性多粒子體系具有全同性3. 量子力學(xué)的三大原理：態(tài)疊加原理：若波函數(shù) ，是描述粒子的一些可能態(tài)，則這些波函數(shù)線性疊加得到的也是描述粒子的可能態(tài)測不準(zhǔn)原理：對于任意兩個不可對易的力學(xué)量算符，設(shè)其滿足，則有對于時間與能量全同性原理：全同系的狀態(tài)不因交換兩個粒子而改變，其運(yùn)動狀態(tài)只能用對稱或反對稱的波函數(shù)來描述4. 量子力學(xué)的三大概率分布概率躍遷概率散射概率5. 量子力學(xué)的三大景象薛定諤景象 隨時間變化，不變海森伯景象 取時刻，含時互作用景象（狄拉克景象）6. 量子力學(xué)的三大方程薛定諤方程：含時形式：定態(tài)形式：海森伯方程泡利方程7. 波函數(shù)物理含義：描述微觀物體的運(yùn)動狀態(tài)，是描述的粒子在體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率性質(zhì)：連續(xù)性，有界性，單值性，歸一性厄米算符線性條件：厄米條件：本征函數(shù):正交歸一性、完備性具有完備的共同本征函數(shù)：兩算符必須對易力學(xué)量的完備集合1. 力學(xué)量的數(shù)目至少等于系統(tǒng)的自由度2. 這一組力學(xué)量必須兩兩對易3. 這一組力學(xué)量必須相互獨(dú)立8. 常見力