長方形椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)嗎

1、數(shù)學(xué)建模與系統(tǒng)仿真長方形椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)？一、問題提出在日常生活中有這樣的現(xiàn)象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍微挪動幾次，一般都可以使四只腳同時著地，課本上已經(jīng)證明了四條腿正方形連線的椅子能放平，現(xiàn)在建模說明長方形椅子的情況。二、模型假設(shè)首先對椅子和地面做一些必要的假設(shè)（同正方形椅子一致）：    （1）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處視為一點，四腳的連線呈長方形；（2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷 (沒有像臺階那樣的情況)，即從數(shù)學(xué)的角度看，地面是連續(xù)曲面； （3）地面相對平坦，

2、使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地；三、模型構(gòu)成    首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動。生活經(jīng)驗告訴我們，要把椅子通過挪動放穩(wěn)，通常有拖動或轉(zhuǎn)動椅子兩種辦法，也就是數(shù)學(xué)上所說的平移與旋轉(zhuǎn)變換。然而，平移椅子后問題的條件沒有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能解決問題的，于是可將椅子就地旋轉(zhuǎn)，并在旋轉(zhuǎn)過程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形。椅腳連線呈長方形，長方形是中心對稱圖形，把長方形繞它的對稱中心O旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉(zhuǎn)角度這一變量就表示了椅子的位置，所以可以在平面上建立直角坐標(biāo)系來解決問題。如下圖1所示，設(shè)椅腳連線為長方形AB

3、CD，以對角線AC所在的直線為x軸，對稱中心O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系。椅子繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度后，長方形ABCD轉(zhuǎn)至A1B1C1D1 的位置，這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角（02）表示出椅子繞點O旋轉(zhuǎn)后的椅子的位置。圖1 變量表示椅子的位置其次，把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來。由上述假設(shè)可知，當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時，椅腳就著地了，而當(dāng)這個距離大于零時，椅腳不著地。由于椅子在不同的位置是的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是的函數(shù)。由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個，它們都是的函數(shù)。而由假設(shè)(3)可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地，即這四個函數(shù)對于任意的，其函數(shù)值至少有

4、三個同時為0。因此，只需引入兩個距離函數(shù)即可，考慮到長方形ABCD是中心對稱圖形，繞其對稱中心 O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，長方形位置不變，但A、C和B、D對換了。因此，記A、B兩腳與地面豎直距離之和為f（），C、D兩腳與地面豎直距離之和為g（），其中0，2，從而將原問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型：已知f（）和g（）是的非負連續(xù)函數(shù)，對任意，f（）g()0，且g（0）= f（）=0，,f（0）>0，g（）>0. 證明：存在0，使得f（0）g（0）0. 四、模型求解如果f（0）g（0）0，那么結(jié)論成立。如果f（0）與g（0）不同時為零，不妨設(shè)f（0）0，g（0）0。這時，將長方形A

5、BCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角度后，點A，B分別與C，D互換，但長方形ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知，f（）g（0），g（）f（0），而由f（0）0，g（0）0，得g（）0， f（）0。令h（）f()g（），由f()和g()的連續(xù)性知h()也是連續(xù)函數(shù)。又h（0）f(0)g（0）0，h（）f()g（）0，,根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必存在0（0，）使得h（0）0，即f（0）g（0） ；又因為f（0）g（0）0，所以f（0）g（0）0。于是，椅子的四只腳同時著地，所以長方形椅子可以在不平的地面上放穩(wěn)。五、模型的進一步猜想在建模求解正方形椅子和長方形椅子的擺放問題時，通過比較可以發(fā)現(xiàn)兩者的共同點，正方形和矩形的任意一個頂點通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，可到達每一個頂點，即就是說正方形和矩形的四個頂點繞其中心旋轉(zhuǎn)一周所得軌跡是同一個圓周。這也就是正方形和矩形的四個頂點共圓，可通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)將椅子放平穩(wěn)。那么，猜想更一般的情況，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是否一定可通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)？猜想是可以的，假設(shè)把滿足假設(shè)（2）的地面看做是一個球面，不同的球半徑就可以構(gòu)成不同的曲面，如下圖2所示，把椅子擺在球面上，則當(dāng)椅腳共面時，即四個椅腳