第21講二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題

1、謝謝觀賞第21講二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題項目一知識概要1. 二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，直線I: ax+ by+ c= 0把直角坐標(biāo)平面分成了三個部分： 直線I上的點（x, y）的坐標(biāo)滿足ax+ by+ c= 0; 直線I一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x, y）的坐標(biāo)滿足ax+ by+ c>0; 直線I另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點 （x, y）的坐標(biāo)滿足ax+ by+ c<0.所以，只需在直線I的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點（xo, yo），從axo+ by°+ C直的正負，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域.2. 線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小

2、值的函數(shù)約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組可行解滿足約束條件的解（x, y）可行域由所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，通常在可行 域的頂點處取得二元線性規(guī)劃問題如果兩個變量滿足一組一次不等式，求這兩個變量的一 次函數(shù)的最大值或最小值問題叫作二元線性規(guī)劃問題3. 應(yīng)用利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進行變形.（3）確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解.（4）求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值項目二例題精講任務(wù)一二元一次不等式（組）

3、表示的平面區(qū)域問題所表示的平面區(qū)域被直線y= kx+40,【例 1】 若不等式組 x + 3y> 4,3x + y <4分為面積相等的兩部分，則k的值是（ ）7343A.3B.7C.3D.40，結(jié)合分析畫出平面區(qū)域，顯然點0, 3在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可.答案 A解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由于直線y= kx+ 4過定點jO,y= kx+善能平分平面謝謝觀賞區(qū)域.因為A(1,1), B(O,4)，所以AB中點D4(1 5當(dāng)滬kx+ 3過點2，2-25 k=2+所以k= 7.評注二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界

4、，測試點定域.注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線測試 點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點.任務(wù)二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題x 4yW 3【例2】 設(shè)x, y滿足約束條件:，求z= x+ y的最大值與最小值.3x+ 5yw 25x>1分析 作可行域后，通過平移直線 lo： x+ y= 0來尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.jc4)h-3=0解析 先作可行域，如圖所示中 ABC的區(qū)域，且求得A(5,2)、22B(1,1)、C(1,)，作出直線Io： x+ y= 0，再將直線lo平移，當(dāng)lo的平行線li過點B時，可使z= x + y達

5、到最小值；當(dāng)lo的平行線l2過點A時，可使z= x+ y達到最大值.故 zmin= 2 , zmax= 7.分析 （1）線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界處取得.求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線 的縱截距的關(guān)系.任務(wù)三 實際生活中的線性規(guī)劃問題【例3】某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55力兀韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入一總種植成本）最大，那么黃瓜和韭

6、菜的種 植面積（單位：畝）分別為（ ）A . 50,0B . 30,20C. 20,30D. 0,50分析 根據(jù)線性規(guī)劃解決實際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.答案 B解析 設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，"x + yw 50,則由題意可知1.2x + 0.9y w 54,y N+,求目標(biāo)函數(shù)z= x+ 0.9y的最大值，根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線I向右平移，移至點 A（30,20）處時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植 30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大.評注 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出

7、各量之間的關(guān)系，最好 是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題,再按如下步驟完成：（1）作圖一一畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點 的那一條I;（2）平移一一將I平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點A的位置；求值一一解方程組求出A點坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.任務(wù)四求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題x y-2W 0,【例4】設(shè)實數(shù)x, y滿足jx + 2y 4>0,則的最大值為 .x2y 3W 0,fx + y> 2,(2)已知O是坐標(biāo)原點，點A(1,0)，若點M(x, y)為平面區(qū)域x< 1,唇2,上的一

8、個動點，則iOm om的最小值是.分析 與二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題的求解般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成.3 3書答案 (1)22-解析(1)y表示點(x, y)與原點(0,0)連線的斜率，在點(1 , |)處取到最大值.依題意得，OM OM= (x+ 1, y), |Om OMU:Ui 2 + y2可視為點(x, y)與點(一1,0)間的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示 的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點中，由點(一1,0)向直線x+y=2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，且與點(1,0)的距離最小，因此|OAbOM勺最小值| 1 +

9、0 2|3 ,2""2-思維升華常見代數(shù)式的幾何意義有(1)1x2 + y2表示點(x, y)與原點(0,0)的距離;.：i日2+ I2表示點(x, y)與點(a, b)之間的距離;(3) y表示點(x, y)與原點(0,0)連線的斜率;x y b(4) 表示點(x, y)與點(a, b)連線的斜率. x a項目三感悟提高1.平面區(qū)域的畫法：線定界、點定域(注意實虛線).2 .求最值：求二元一次函數(shù) z= ax+ by (ab 0)的最值，將函數(shù) z= ax+ by轉(zhuǎn)化為直線的斜截azz式：y= ax+匚，通過求直線的截距-的最值間接求出 z的最值.最優(yōu)解在頂點或邊界取 b

10、 bb得.3 解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.4 畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.5 .在通過求直線的截距£的最值間接求出z的最值時，要注意：當(dāng)b>0時，截距-取最大值時，z也取最大值；截距Z取最小值時，z也取最小值；當(dāng)b<0時，截距Z取最大值時，z取最小bb值；截距£取最小值時，z取最大值.b項目四沖刺必練A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練（時間:40分鐘）、選擇題在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組yw x+ 1,y0,pw xWt所表示的平面區(qū)域的面積為

11、32則t的值為A. .3或 3C.D. 3答案解析yw x+ 1,不等式組y0,0w x<t所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分示.由=x + 1解得交點B(t, t + 1)，在y= x + 1中，令x= 0得y=1，即直線y= x+ 1與y軸的交點為C（0,1），由平面區(qū)域的面積 S=1+t+1 和 32得t2+ 2t 3= 0，解得t = 1或t = 3（不合題意，舍去），故選C.直線2x+ y 10= 0與不等式組匸X0,y> 0,x y> 2,4x + 3yW 20表示的平面區(qū)域的公共點有（D .無數(shù)個答案 B解析 在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出直線 2x+ y- 10= 0與不等式組

12、表示的平面區(qū)域，易知直線與此區(qū)域的公共點有1個."3x + y - 6> 0,則目標(biāo)函數(shù)z= y- 2x的最小值3.設(shè)變量x, y滿足約束條件“X y2W0,7 - 3< 0,A . - 7B. - 4 C. 1D. 2答案 Az解析 可行域如圖陰影部分(含邊界)令z= 0，得直線lo： y- 2x= 0，平移直線lo知，當(dāng)直線I過A點時, 取得最小值.y = 3,由芒得A(5,3).x-y-2= 0-Zmin = 3 2 X 5= 7,選 A."x2 + y2< 4,4. O為坐標(biāo)原點，點M的坐標(biāo)為(1,1)，若點N(x, y)的坐標(biāo)滿足*2x y>

13、;0,則OM-ON,y> 0,的最大值為A. 2B . 2 2C. .3D . 2 . 3答案 B解析 如圖，點N在圖中陰影區(qū)域內(nèi)，當(dāng)O、M、N共線時，OmOn最大，此時 N( 2, ,2), OMOh= (1,1) 2, . 2)= 2 2，故選 B.5 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組r2x - y - 2> 0, fx + 2y - 1> 0,3x + y 8W0所表示的區(qū)域上一動點，則直線 OM斜率的最小值為( )1 1A . 2B . 1C. 3D. 2答案 C解析 畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得出答案.如圖所示，x+ 2y 1> 0,3x + y 8W0所表示

14、的平面區(qū)域為圖中的陰影部分.x + 2y 1 = 0, 由*得 A(3, 1).3x + y 8= 0,1 當(dāng)M點與A重合時，0M的斜率最小，koM = g6 設(shè)不等式組x >1，x 2y + 3> 0,y > x,所表示的平面區(qū)域是 Qi，平面區(qū)域2是與關(guān)于直線3x 4y 9 = 0對稱的區(qū)域，對于 Qi中 的任意一點A與 Q2中的任意一點B, |AB|的最小值等于( )28 12A.yB. 4C75D 2答案 B解析由題意知，所求的|AB|的最小值，即為區(qū)域Q1中的點到直線3x 4y 9 = 0的距離的最小值的兩倍， 畫出已知不等式表示的 平面區(qū)域，如圖所示，可看出點(1

15、,1)至U直線3x 4y 9 = 0的距離最小，故|AB|的最小值為2X|3 X 1 4X 1 9|5=4，選 B.、填空題yw x,已知 z= 2x y,式中變量x,y滿足約束條件 x+y>1,xw 2,則z的最大值為答案 5解析 在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式表示的平面區(qū)域及直線2xy= 0,平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點 (2, 1)時,相應(yīng)直線在x軸上的截距最大，此時z= 2x y取得最大值，最大值 是 z= 2X 2 ( 1)= 5.x+ y>08.設(shè) z= 2x+ y,其中 x,y 滿足+x-yw00w ywk，若z的最大值為6，則k的值為, z的最小值為答案

16、2- 2解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線2x+ y= 6，結(jié)合圖形分析可知，要使z= 2x+ y的最大值是6,直線y= k必過直線2x + y= 6與x- y= 0的交點，即必過點(2,2)，于是 有k= 2;平移直線2x+ y = 6,當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(-2,2)時，相應(yīng)直線在y軸上的截距達到最小，此時z= 2x+ y取得最小值，最小值是z=2X ( 2) + 2=- 2.9 .鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的 CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格 c如表ab(萬噸)c(白力兀)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9萬噸鐵，若要求CO

17、2的排放量不超過2萬噸，則購買鐵礦石的最 少費用為百萬元.答案 15解析 設(shè)購買鐵礦石 A、B分別為x萬噸，y萬噸，購買鐵礦石的 費用為z(百萬元)，則0.5x + 0.7y > 1.9x + 0.5y <2y >0目標(biāo)函數(shù)z= 3x + 6y,0.5x + 0.7y = 1.9 , 由x + 0.5y = 2,得 = 1，記 P(1,2), y=2.畫出可行域可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z= 3x+ 6y過點P(1,2)時，z取到最小值15.10. 已知x, y滿足約束條件|x|+ 2|y|< 2，且z= y- mx(m 0)的最小值等于一2,則實數(shù)m的值等于答案1或1解析 原不

18、等式等價于以下四個不等式組x> 0,0,0, *y< 0,x + 2y< 2,/ - 2y< 2,XW 0,XW 0,y> 0,yw 0,x + 2y< 2, x 2y< 2,因此可畫出可行域(如圖)：由 z= y mx得 y= mx+ 乙1 一當(dāng)m>2時，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點A(2,0)處取得最小值，因此一2= 0 2m,解得m= 1.1 一(2) 當(dāng)0<m< g時，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點D(0, 1)處取得最小值，因此一2= 1 mx 0, m無解.1 一(3) 當(dāng)m< 時，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點C( 2,0)處取得

19、最小值，因此一2= 0+ 2m,解得 m= 1.1 一(4) 當(dāng)一乙三m<0時，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點D(0, 1)處取得最小值，因此一2 = 1mx 0, m 無解.綜上，實數(shù)m的值等于1或1.三、解答題11. 若直線x+ my+ m= 0與以P( 1， 1)、Q(2,3)為端點的線段不相交，求 m的取值范圍.解 直線x+ my+ m = 0將坐標(biāo)平面劃分成兩塊區(qū)域，線段PQ與直線x+ my+ m= 0不相了一 1 m m>0| 1 m m<Q交，則點P、Q在同一區(qū)域內(nèi)，于是，或所以，m2+ 3m m>02+ 3m m<01的取值范圍是m< 7x 5y

20、23W012. 已知x, y滿足條件x + 7y 11W0，求4x 3y的最大值和最小值.i4x + y + 10>07x 5y 23 W0解 不等式組 x+ 7y 11W0表示的區(qū)域如圖所示.4x + y + 10>07j-5j-23=0可觀察出4x- 3y在A點取到最大值，在 B點取到最小值.解方程組7x 5y 23 = 04x + y + 10= 0得.x = 1y = 6x= 3，得=2則 A( 1, 6).x + 7y 11 = 0解方程組*4x + y + 10 = 0則B( 3,2)，因此4x 3y的最大值和最小值分別為14, 18.B組專項能力提升(時間：20分鐘)

21、1.已知正三角形ABC的頂點A(1,1), B(1,3)，頂點C在第一象限，若點(x, y)在厶ABC內(nèi)部,則z= x+ y的取值范圍是()A . (1 3, 2)B . (0,2) C. ( . 3 1,2)D . (0,1 + . 3)答案 A解析如圖，根據(jù)題意得C(1 + 3, 2).作直線x+ y= 0，并向左上或右下平移，過點B(1,3)和C(1 +-. 3, 2)時，z= x+ y取范圍的邊界值，即一(1 + .3) + 2<z< 1 + 3,z= x+ y的取值范圍是(1 , 3, 2).rx + 4y>42 .給定區(qū)域D :x + yW4x>0令點集T=

22、（x°, yo） D|xo, y° Z, （x°, y°）是z= x + y在D上取得最大值或最小值的點，則T中的點共能確定幾條不同的直線（）A . 4B . 5 C . 6D . 7答案 C解析線性區(qū)域為圖中陰影部分，取得最小值時點為（0,1），最大值時點為（0,4）, （1,3）,(2,2) , (3,1), (4,0)，故共可確定rx+ 2y 3W 0,若目標(biāo)函數(shù)z= ax+ y（其中a>0）僅在點（3,0）處3.已知變量x, y滿足條件；x+ 3y 3>0,y-iw 0,取得最大值，則a的取值范圍是 .答案 1 ,+解析 畫出x、y滿

23、足條件的可行域如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)z= ax+ y僅在點（3,0）處取得最大值，則直線y= ax+ z的斜1 1率應(yīng)小于直線 x+ 2y 3 = 0的斜率，即a< 2,二a>j."x > 0,4 當(dāng)x, y滿足約束條件仃w x,2x + y + kw 0,（k為負常數(shù)）時，能使z= x+ 3y的最大值為12,則k的值為答案9（如圖所解析 在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組所表示的平面區(qū)域 示）.1 1當(dāng)直線y= §x+經(jīng)過區(qū)域中的點 A時，截距最大.k得 x= y= 3k kk點A的坐標(biāo)為(一3, 3)貝y z的最大值為一3 + 3(勾=空k,令一4k = 12,得 k= 9.所求實數(shù)k的值為9.5.已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)是增函數(shù)， 且函數(shù)y= f(x 3)的圖像關(guān)于點(3,0)成中心對稱.若s, t滿足不等式f(s2 2s)> f(2t t2),當(dāng)1 w sw 4時，+ s2 2s的取值范圍.解易知y= f(x 3)的圖像是將y= f(x)的圖像向右平移3個單位得到的且y = f(x 3)的圖像關(guān)于點(3 ,0)成中心對稱，故y= f(x)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，s >,t_s+1即y = f(x)是奇函數(shù)，故一f(2t 12)= f(t2 2t).又 y= f(x)是增函數(shù)，