線性代數(shù)(經(jīng)管類)-階段測(cè)評(píng)1,2,3,4

1、線性代數(shù)（經(jīng)管類）-階段測(cè)評(píng)11.單選題1.1 5.0設(shè)矩陣$A=(a_11,a_12),(a_21,a_22),B=(a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11,a_12),P_ 仁(0,1),(1,0),P_2=(1,0),(1,1)$，則必有()您答對(duì)了 aa$P_1P_2A=B$b$P_2P_1A=B$c$AP_1P_2=B$d$AP_2P_ B$考點(diǎn)：矩陣的行列變換，左乘行變，右乘列變。1.2 5.0設(shè)$A$為四階矩陣，且 $|A|=-3$，則 $|AA（*）|$=（）您答對(duì)了 C$-3$9$c$-27$d$81$|AA（*）|=|A|A（門-1）=-3人3=-27$.1.

2、3 5.0設(shè)$A, B$%$n$階方陣，滿足$AA2=BA2$，則必有（）您答對(duì)了 da$A=B$b$A=-B$c$|A|=|B|$d$£|人2=冋人2$方陣行列式的性質(zhì)，特別是 $|AB|=|A|B|$ 解1:因?yàn)?AA2=BA2$，故$片2|=戶人2|$ ，而因 為$|AB|=|A|B|$，故$|AA2|=|A|A2,戶人2|=冋人2$，所以 $£|人2=冋人2$解 2 :取$A=(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1),B=(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1)$，顯然 $AA2=BA2=E$,. 但選項(xiàng)A,B,C都不對(duì)，應(yīng)用排除法知正確答案為D1

3、.4 5.0設(shè) 3 階矩陣 $A$的行列式 $|A|=(1)/(3)$ ，則 $|-3AAT|=$()您答對(duì)了 dc-1d-9$|-3AAT|=(-3)A3|AAT|=-27|A|=-9$.1.5 5.0設(shè)矩陣 $A=a,b,c,d$ ，且已知 $|A|=-1$，則 $AA-1$=()您答對(duì)了 ba$d,-b,-c,a$b$-d,b,c,-a$d,-c,-b,a$-d,c,b,-a$AA-i=i/|A|AA(*)=-d,-b,-c,a= -d,b,c,-a$.1.6 5.0$3$階行列式 $|a_(ij)|=|(0,-1,1),(1,0,-1),(-1,1,0)|$中元素$a_21$的代數(shù)余子

4、式$A_2仁$ ()您答對(duì)了 c«a$-2$b$-1$c$1$d$2$考點(diǎn)：代數(shù)余子式。$A_2 仁(-1)A(1+2)xx|(-1,1),(1,0)|=1$1.7 5.0設(shè)$3$階行列式$D_3$的第2列元素分別為$1，-2，3$，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為$-3，2，1$,則$D_3=$()您答對(duì)了 d$-2$-1$c$1$d$-4$考點(diǎn)：行列式的展開。$1xx(-3)+(-2)xx2+3xx仁-4$1.8 5.0已知4階行列式$D_(4)$第一行的元素依次為1, 2, -1 , -1，它們的余子式依次為 2，-2，1，0，則$D4)=$ ()您答對(duì)了 aa5c-3d-5$D_(4)

5、$第一行元素的代數(shù)余子式依次為2，2，1，0,則$D_4=1xx2+2xx2+(-1)xx1+(-1)xx0=5$.1.9 5.0設(shè)行列式 $|(a_1,b_1),(a_2,b_2)|=1$l(a_1,c_1),(a_2,c_2)|=2$ ，則$l(a_1,b_1+c_1),(a_2,b_2+c_2)|=$()您答對(duì)了 da$-3$b$-1$c$1$d$3$行列式的性質(zhì)：將行列式的某行(或某列)元素拆成兩數(shù)的代數(shù)和，再將行列式按此行拆成 兩個(gè)行列式之和，其值不變。I-$l(a_1,b_1+c_1),(a_2,b_2+c_2)|=|(a_1,b_1),(a_2,b_2)|+|(a_1,c_1),

6、(a_2,c_2)|=1+2=3$1.10 5.0$D=|4,0,10,0,1,-1,3,1,2,-4,5,0,-3,2,-7,-1|$，則第二行第三列元素的代數(shù)余子式 $A_(23)=$ ()您答對(duì)了 ba1648d-48$A_(23)=(-1)A(2+3)|4,0,0,2,-4,0,-3,2,-1|=-16$.1.11 5.0設(shè)三階矩陣 $A=a_11,a_12, a_13,a_21,a_22,a_23,a_31,a_32,a_33$，若存在初等矩陣 $P$,使得 $PA=a_11-8 a_31,a_12-8 a_32, a_13-8 a_33,a_21,a_22,a_23,a_31,a_

7、32, a_33$，則$P=$ ()您答對(duì)了 aa$1,0,-8,0,1,0,0,0,1$b$1,0,0,0,1,0,-8,0,1$c$1,0,0,-8,1,0,0,0,1$d$1,-8,0,0,1,0,0,0,1$1.12 5.0設(shè)$3$階方陣$A$的秩為$2$,則與$A$等階的矩陣為（）您答對(duì)了 bb$(1,1,1),(0,1,1),(0,0,0)$c$(1,1,1),(2,2,2),(0,0,0)$d$(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)$必等測(cè)試點(diǎn)：矩陣等價(jià)的概念；等價(jià)矩陣有相等的秩；反之同型的兩個(gè)矩陣只要其秩相等,價(jià)。因?yàn)?A,C,D$的矩陣的秩都為$1$，$B$的矩陣的秩

8、等于$2$。故答案應(yīng)為B。1.13 5.0設(shè)$A$是 3 階方陣，且 $|A|=-1/5$ ，則 $|AA-1|=$（）您答對(duì)了 a«a$-5$b$-1/5$c$1/5$|AA-1|=1/|A|=-5$.1.14 5.0設(shè)矩陣 $A=(1,2),B=(1,2),(3,4),C=(1,2,3),(4,5,6)$，則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是()您答對(duì)了 ba$ACB$b$ABC$c$BAC$d$CBA$根據(jù)矩陣乘法定義運(yùn)算有意義必須前一矩陣的列數(shù)等于后一矩陣的行數(shù)，因?yàn)?A$為$1xx2$矩陣，$B$為$2xx2$矩陣，$C$為$2xx3$矩陣，所以$ABC$t意義。1.15 5.0矩陣

9、$(3,3),(-1,0)$的逆矩陣是()您答對(duì)了 Ca$(0,-1),(3,3)$b$(0,-3),(1,3)$解：法一：初等行變換法：$(3,3,1,0),(-1,0,0,1)stackrel(交換 1 行和 2行)->(-1,0,0,1),(3,3,1,0)stackrel(1行 xx3+2行)->(-1,0,0,1),(0,3,1,3)stackrel(1行-:(-1),(2 行-:3)(->)(1,0,0,-1),(0,1,1/3,1)$法二：(適合于三階以下的矩陣)：伴隨矩陣法：設(shè)$A=(a_(ij)_(nxxn)$，則$AA(-1)=1/|A|AA(*)$，其中

10、 $AA(*)$ 為$A$的伴隨矩陣。因?yàn)?Aa(*)=(o,-3),(i,3),|A|=|(3,3),(-1,O)|=3$，所以 $AA(-1)=(0,-1),(1/3,1)$法三：驗(yàn)證法：逆矩陣定義：設(shè)$A$是一個(gè)$n$階方陣，若存在一個(gè)$n$階方陣$B$使得$AB=BA=l_n(l_n為n階單位陣)$，則稱$B$是$A$的逆陣。A.$(0,-1),(3,3)(3,3),(-1,0)=(1,0),(6,)$ B.$(0,-3),(1,3)(3,3),(-1,0)=(3, ),( ,)$ C.$(0,-1),(1/3,1)(3,3),(-1,0)=(1,0),(0,1)$1.16 5.0設(shè)$

11、A$，$B$為任意n階矩陣，$E$為單位矩陣，$0$為n階零矩陣，則 下列各式中正確的是（）c您答對(duì)了 ca$(A-B)A2=AA2-2AB+BA2$b$(AB)A3=AA3BA3$c$(A-E)A2=AA2-2A+E$由 $AA2=O$,必有 $A=O$c$(A-B)A2=AA2-AB-BA+BA2$ ; $(AB)T=ABABAB$; $ (A-E) A2=AA2-AE-EA+EA2=AA2-2A+E$; 設(shè)$A=1,-1,1,-1工 O $但$AA2=O$.1.17 5.0已知矩陣 $A=(1,1),(0,-1),B=(1,0),(1,1)$，則 $AB-BA=$ ()您答對(duì)了 aa$(

12、1,0),(-2,-1)$b$(1,1),(0,-1)$c$(1,0),(0,1)$d$(0,0),(0,0)$AB-BA=(1,1),(0,-1)(1,0),(1,1)-(1,0),(1,1)(1,1),(0,-1)=(2,1),(-1,-1)-(1,1),(1,0)=(1,0),(-2,-1)$1.18 5.0設(shè)$A$, $B$都是可逆陣，且$AXB=C$則()您答對(duì)了 b$X=AA-1BA-1C$X=AA-1CBA-1$c$X=BA-1CAA-1$d$x=cba-iaa-i$由 $axb=c$ 得 $x=aa-icba-i$.1.19 5.0設(shè)$A$為n階方陣，令方陣$B=A-AAT$，

13、則必有()您答對(duì)了 b«a$BAT=B$* b$B=2A$* c$BAT=-B$*d$b=o$BAT=(A-AAT)AT=AA(AAT)AT=AAA=-(A-AAT)=-B$.1.20 5.0設(shè)$A$為$3$階方陣，且 $|A| = 2$，則 $|2Aa(-1)|=$()您答對(duì)了 d$-1$c$1$d$4$知識(shí)點(diǎn)：矩陣行列式的計(jì)算。$|2AA(-1)|=2A3|AA(-1)|=8(1)/(|A|)=8xx(1/2)=4$線性代數(shù)（經(jīng)管類）-階段測(cè)評(píng)21.單選題1.1 5.0設(shè)有向量組 $A:alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$ ，其中 $alpha_1,a

14、lpha_2,alpha_3$線性無關(guān)，則()您答對(duì)了 aa$alpha_1,alpha_3$ 線性無關(guān)$alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$線性無關(guān)c$alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$線性相關(guān)整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)。1.2 5.0設(shè)向量組$A$能由向量組$B$線性表示，向量組$B$也能由向量組$A$線 性表示，則下列命題中不正確的是()您答對(duì)了 C«a向量組$A$的極大無關(guān)組與向量組 $B$等價(jià)* b向量組$A$的秩與向量組$B$的秩相等 c向量組$A$的秩與向量組$B$的秩不一定相等 d向量組$A$的極大無關(guān)組與向量組 $

15、B$的極大無關(guān)組等價(jià)因?yàn)槿魏我粋€(gè)向量組都與它的極大無關(guān)組等價(jià)，故A正確，又因?yàn)橄蛄拷M$A$能由向量組$B$線性表示，向量組$B$也能由向量組$A$線性表示，則向量組$A$與$B$等價(jià)，故D也正確; 等價(jià)的向量組有相等的秩，故B正確。所以錯(cuò)誤的是 C。1.3 5.0設(shè)$n$維向量組 $alpha_1,alpha_2,alpha_m(m>=2)$ 線性無關(guān)，則()您答對(duì)了 b*a組中增加任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)組中減少任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)c存在不全為零的數(shù) $k_1,k_2,k_m$，使 $sum_(i=1)Amk_ialpha_i=0$d組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出由教材p

16、92定理323秩整體無關(guān)，則部分無關(guān)。故答案為B。1.4 5.0設(shè)有$4$維向量組$alpha_1,alpha_6$，則()您答對(duì)了 aa$alpha_1,alpha_6$中至少有兩個(gè)向量能由其余向量線性表出b$alpha_1,alpha_6$ 線性無關(guān)c$alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$必線性無關(guān)d$alpha_1,alpha_6$ 的秩為 $2$因?yàn)橹?$(4$ 維向量組 $alpha_(1),alpha_(6)<=4$，所以 $alpha_(1),alpha_鳥 至少有兩個(gè)向量能由其余向量線性表出。1.5 5.0設(shè)向量組$alpha_1,alpha_

17、2,alpha_3,alpha_4$線性相關(guān)，則向量組中()您答對(duì)了 aa必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合b必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合c必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合d每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合向量組線性相關(guān)則必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合。1.6 5.0若向量組$alpha_ 仁(1,t+1,0),alpha_2=(1,2,0),alpha_3=(0,0F2+1)$線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)$t$=()您答對(duì)了 ba0b1c2向量組 $alpha_仁(1,t+1,0), alpha_2=(1,2,0), alpha_3=(0,0F2+1)$線性相關(guān)，必有$

18、|alpha_rTquadalpha_2ATquadalpha_3AT|=|1,1,0,t+1,2,0,0,0,tA2+1|=(tA2+1)(1-t)=0$，即 $t=1$。1.7 5.0$V$是由向量組$alpha_ 1=(1,1,0,2),alpha_2=(1,0,1,0),alpha_3=(0,1,-1,2)$生成的子空間，貝U $V$的維數(shù)為()您答對(duì)了 ca0因?yàn)?$alpha_仁(1,1,0,2), alpha_2=(1,0,1,0), alpha_3=(0,1,-1,2)$的秩為 2,故 $V$的維數(shù)為2。1.8 5.0若行列式$|A|=0$，貝貝$A$ 中()您答對(duì)了 b*a必

19、有一行全為$0$行向量組線性相關(guān)c有兩列成比例d所有元素全為$0$|A|=0$的充要條件是行向量組線性相關(guān)，其他選項(xiàng)都是$|A|=0$的充分條件，而非必要條件。1.9 5.0在一組秩等于$n$的$n$維向量組中，加入一個(gè) $n$維向量后，該組的秩（）您答對(duì)了 Ca等于$n+1$b等于$n 1$c等于$n$d無法確定在一組秩等于$n$的$n$維向量組中，加入一個(gè) $n$維向量后，沒有改變秩。1.10 5.0$alpha_ 1= (1,1,1,1)$ , $alpha_2=(0,1,0,0)$ ,$ alpha_3=(0,0,0,0)$ 貝9()您答對(duì)了 ca$alpha_1$線性相關(guān)b$alph

20、a_2$ , $alpha_3$ 線性無關(guān)c$alpha_2$線性無關(guān)d$alpha_1$ , $alpha_2$ 線性相關(guān)$alpha_3$ 線因?yàn)?$alpha_1!=0$ ,故$alpha_1$ 線性無關(guān)；因?yàn)?$alpha_3=0$ ,故$alpha_2$ 性相關(guān)；因?yàn)?alpha_2!=0$，故$alpha_2$線性無關(guān)。故答案為 C。1.11 5.0向量組 $alpha_1,alpha_2,alpha_s$線性無關(guān)的充分條件是（）您答對(duì)了 ca$alpha_1,alpha_2,alpha_s$都不是零向量b$alpha_1,alpha_2,alpha_s$中任意兩個(gè)向量都不成比例c

21、$alpha_1,alpha_2,alpha_s$中任意一個(gè)向量都不能表為其余向量的線性組合$alpha_1,alpha_2,alpha_s$中任意$s-1$個(gè)向量都線性無關(guān)$alpha_仁(1,1),alpha_2=(2,2)$都不是零向量，但 $alpha_1,alpha_2$ 線性相關(guān)；$alpha_ 仁(1,1,0),alpha_2=(1,0,1),alpha_3=(0,1,-1)$中任意兩個(gè)向量都不成比例，但$alpha_3= alpha_1- alpha_2$，故該向量組線性相關(guān)。向量組$alpha_1,alpha_2,alpha_s$線性無關(guān)的充分條件是其中存在一個(gè)向量能由其余向

22、量線 性表示，即線性無關(guān)的充分條件是其中任意一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合。1.12 5.0設(shè)向量組$alpha_1,alpha_m$有兩個(gè)極大無關(guān)組$alpha_(i_1),alpha_(i_r)(1) ； alpha_(j_1), alpha_(j_s)(2)$ ，則成立的是()您答對(duì)了 ba$r,s$不一定相等b(1 )與(2)這兩個(gè)向量組等價(jià)c$r+s=m$d$r+s < m$向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)。1.13 5.0若 $alpha_ 1=(1,0,1),alpha_2=(1,-1,1),alpha_3=(1,t,0)$線性無關(guān)，則必有()您答對(duì)了 d$t=1$b

23、$t!=1$c$t!=0$d$t為任意實(shí)數(shù)$線性無關(guān)所以因?yàn)?$alpha_(1)=(1,0,1),alpha_(2)=(1,-1,1),alpha_(3)=(1,t,0)$ $|(1,1,1),(0,-1,t),(1,1,0)|!=0=>t$為任意實(shí)數(shù)。1.14 5.0設(shè)$A$為n階方陣。$|A|=0$的充分必要條件是()您答對(duì)了 b«a矩陣$A$中有兩行（列）成比例$A$中必有一行為其余行的線性組合c$A$中有一行元素全為 0$A$中任一行為其余行的線性組合$A$為n階方陣$|A|=0$。$|A|=0$的充分必要條件是$A$的行(列)向量組線性相關(guān)，故其充分必要條件是$A$

24、中必有一行為其余行的線性組合。I 1.15 5.0設(shè)$alpha_仁(2,1,0),alpha_2=(0,0,0)$，則()您答對(duì)了 ba$alpha_2$線性無關(guān)b$alpha_1$線性無關(guān)c$alpha_1$， $alpha_2$ 線性無關(guān)d$alpha_1$線性相關(guān)因?yàn)?$alpha_(1)=(2,1,0)!=(0,0,0)$，所以 $alpha_(1)$ 線性無關(guān)。1.16 5.0設(shè)向量組 $A:alpha_1=(a_1,b_1,c_1), alpha_2=(a_2,b_2,c_2), alpha_3=(a_3,b_3,c_3)$， $B:beta_1=(a_1,b_1,c_1,x_1

25、),beta_2=(a_2,b_2,c_2,x_2), beta_3=(a_3,b_3,c_3,x_3)$，則()您答對(duì)了 ba如果向量組$A$線性相關(guān)，則向量組$B$必線性相關(guān)b如果向量組$A$線性無關(guān)，則向量組$B$必線性無關(guān)如果向量組$B$線性相關(guān)，則向量組$A$必線性無關(guān)«d如果向量組$A$線性相關(guān)，則向量組$B$必線性無關(guān)由教材p93定理324知原向量組線性無關(guān)，則接長(zhǎng)向量組必線性無關(guān)，故答案為B。1.17 5.0設(shè)為$A$為$mxxn$矩陣，則齊次線性方程組 $Ax=0$僅有零解的充分必 要條件是（）a您答對(duì)了 a* a$A$的列向量組線性無關(guān)* b$A$的列向量組線性相

26、關(guān)*«c$A$的行向量組線性無關(guān)*d$A$的行向量組線性相關(guān)$Ax=0$可化為 $x_1alpha_1+ x_2alpha_2+ + x_nalpha_n=0$，其中$alpha_1,alpha_2,alpha_n$為矩陣$A$的列向量組。$Ax=0$僅有零解，即不存在不全為 零的 $x_1,x_2，,x_n$ 使得 $x_1alpha_1+ x_2alpha_2+x_nalpha_n=0$ 成立，從而$alpha_1,alpha_2,alpha_n$ 線性無關(guān)。1.18 5.0設(shè)向量$alpha_1=(a_1,b_1,c_1),alpha_2=(a_2,b_2,c_2),beta_

27、1=(a_1,b_ 1,c_1,d_1),beta_2=(a_2,b_2,c_2,d_2)$，下列命題中正確的是()您答對(duì)了 b若$alpha_1,alpha_2$ 線性相關(guān)，則必有 $beta_1,beta_2$ 線性相關(guān)b若$alpha_1,alpha_2$ 線性無關(guān)，則必有 $beta_1,beta_2$ 線性無關(guān)c若$beta_1,beta_2$ 線性相關(guān)，則必有 $alpha_1,alpha_2$ 線性無關(guān)d若$beta_1,beta_2$ 線性無關(guān)，則必有 $alpha_1,alpha_2$ 線性相關(guān)無關(guān)組的接長(zhǎng)向量組必為無關(guān)組。1.19 5.0$n$維向量組$alpha_1,al

28、pha_2,alpha_m$的秩等于$m$的充分必 要條件為（）您答對(duì)了 ba向量組中每一個(gè)向量都可由其余$m-1$個(gè)向量線性表示向量組中每一個(gè)向量都不可由其余$m-1$個(gè)向量線性表示c$m<=n$向量組中不含零向量該向量組滿秩即線性無關(guān)則向量組中每一個(gè)向量都不可由其余$m-1$個(gè)向量線性表示。1.20 5.0向量組 $alpha_仁(1,1,0,2)，alpha_2=(1,0,1,0)，alpha_3=(0,1,-1,2)$ 的秩為()您答對(duì)了 c«a0$A=alpha_1,alpha_2,alpha_3=1,1,0,2,1,0,1,0,0,1,-1,2->1,1,0,

29、2,0,-1,1,-2,0,1,-1,2->1,1,0,2,0,1,-1,2,0,0,0,0$故向量組的秩為 2.線性代數(shù)（經(jīng)管類）-階段測(cè)評(píng)31.單選題1.1 5.0已知$eta_1,eta_2,eta_3$ 是齊次方程組$Ax=O$的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則 此方程組的基礎(chǔ)解系還可以選（）您答對(duì)了 da$eta_1+eta_2,eta_2+eta_3, eta_1-eta_3$b$eta_1, eta_2+eta_3, eta_1+eta_2+eta_3$c與$eta_1,eta_2,eta_3$等秩的向量組 $alpha_1, alpha_2, alpha_3$d與$eta_1,eta_2

30、,eta_3$等價(jià)的向量組 $beta_1, beta_2, beta_3$因?yàn)?eta_1,eta_2,eta_3$ 是齊次方程組$Ax=0$的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則$eta_1,eta_2,eta_3$ 是 $Ax=0$的三個(gè)線性無關(guān)的解，故$Ax=0$的任意三個(gè)線性無關(guān)的解都是 $Ax=0$的基礎(chǔ)解系，因 為$beta_1, beta_2, beta_3$ 與$eta_1,eta_2,eta_3$ 等價(jià)，所以 $beta_1, beta_2,beta_3$ 都能由 $eta_1,eta_2,eta_3$ 線性表示，故 $beta_1, beta_2, beta_3$ 都是 $Ax=0$的 解，

31、且 $beta_1, beta_2, beta_3$ 必線性無關(guān)，故 $beta_1, beta_2, beta_3$ 也是 $Ax=0$ 的 基礎(chǔ)解系。1.2 5.0線性方程組$Ax=b$中，$A$是$4xx6$矩陣，且$A$與增廣矩陣$barA$的秩都等于$4$，則（）您答對(duì)了 ba方程組有唯一解b方程組有無窮多解c方程組無解d無法確定因?yàn)?A$與增廣矩陣$barA$的秩都等于$4<6$，所以方程組有無窮多解。1.3 5.0設(shè) $barA=(1,5,-1,-1,-1),(1,7,1,3,3),(3,17,-1,1,1)$是線性方程組$Ax=b$的增廣矩陣，則下列命題中錯(cuò)誤的是()您答

32、對(duì)了 Ca$eta=(6,-1,1,1)AT$是 $Ax=b$ 的一個(gè)特解b是$Ax=b$的通解$x=(-11,2,0,0)AT$ 是 $Ax=b$ 的解$x= (6),(-1),(1),(1)+k(11),(-2),(0),(1)$x=k_1(6),(-1),(1),(0)+k_2(11),(-2),(0),(1)$是導(dǎo)出組$Ax=0$的通解$barA=(1,5,-1,-1,-1),(1,7,1,3,3),(3,17,-1,1,1)->(1,5,-1,-1,-1),(0,2,2,4,4),(0,2,2,4,4)->(1,5,-1,-1,-1),(0,1,1,2,2),(0,0,0

33、,0,0)$故 $zeta_ 仁(6),(-1),(1),(0),zeta_2=(11),(-2),(0),(1)$為導(dǎo)出組$Ax=0$的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故D正確；將$eta=(6,-1,1,1)AT$, $x=(-11,2,0,0)AT$代入以$barB=(1,5,-1,-1,-1),(0,1,1,2,2),(0,0,0,0,0)$為增廣矩陣的線性方程組說明A,B 正確。1.4 5.0設(shè)$A$是$mx n$矩陣，則下列命題正確的是()您答對(duì)了 da若$r(A)=n$，則 $AX=b$有唯一解b若$r(A) < n$ ，則$AX=b$有無窮多解c若$r(barA)=r(A,b)=m$ ，則

34、 $AX=b$有解d若$r(A)=m$，則 $AX=b$有解若$r(A)=m$，則 $r(A,b)=m$，則 $AX=b$有解。1.5 5.0線性方程組$Ax=b$無解，其增廣矩陣經(jīng)初等行變換化成以下形式 $(1,2,3,4,5),(0,0,(a-1),0,0),(0,0,0,(a-1),b)$貝 U下列結(jié)論正確的是()您答對(duì)了 c$a=1,b=0$«b$a!=1,b=0$* c$a=1,b!=0$*«d$a!=1,b!=0$*A,B,D因?yàn)榫€性方程組$Ax=b$無解，故系數(shù)矩陣$A$的秩與增廣矩陣$barA$的秩不相等, 中二者都相等，C 中，$a=1,b!=0$ 時(shí)$r

35、(A)=1,r(barA)=2$，故應(yīng)選 C.1.6 5.0設(shè)$alpha_1,alpha_2,alpha_3$是齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系，下列向量組中不能構(gòu)成$Ax=0$的基礎(chǔ)解系的是()您答對(duì)了 C* a$alpha_1,alpha_1+alpha_2,alpha_1+alpha_2+alpha_3$* b$alpha_1+alpha_2,alpha_1-alpha_2,alpha_3$*c$alpha_1-alpha_2,alpha_2-alpha_3,alpha_3-alpha_1$alpha_1-2alpha_2,alpha_2,alpha_2+3alpha_3$只有選項(xiàng)

36、 C與$alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)$不等價(jià)，其余選項(xiàng)都與$alpha_(1),alpha_ (2) ,alpha_ (3) $等價(jià)。11.7 5.0對(duì)非齊次線性方程組 $A_(mxxn)x=b$，設(shè)$秩(A)=r$，則()您答對(duì)了 aa$r=m$時(shí)，方程組$Ax=b$有解$=門$時(shí)，方程組$Ax=b$有唯一解c$m=門$時(shí)，方程組$Ax=b$有唯一解$r < n$時(shí)，方程組$Ax=b$有無窮多解$r=m$時(shí)，$秩(A)=m=秩(A，b)$，則方程組 $Ax=b$有解。1.8 5.0設(shè)$A$是$5X 3$矩陣，若齊次線性方程組 $Ax=0$只有零解，則矩陣

37、$A$ 的秩 $r(A)$=()您答對(duì)了 da21因?yàn)?A$為$5X 3$矩陣，故齊次線性方程組 $AX=0$中含3個(gè)未知數(shù)，所以齊次線性方程組 $AX=O$只有零解的充要條件是 $r(A)=3$ 。I 1.9 5.05元齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系含3個(gè)解，則系數(shù)矩陣$A$只能為()您答對(duì)了 Ca$(1,2,3,4,5,0,2,1,3,6,0,0,2,5,8,0,0,0,0,0)$ b$(1,2,3,4,5,0,2,1,3,6,0,0,2,5,8,0,0,0,0,1)$ c$(1,2,3,4,5,0,2,1,3,6,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ d$(1,2,3,4,0

38、,2,1,3,0,0,0,0,0,0,0,0)$因?yàn)?元齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系含3個(gè)解，故系數(shù)矩陣必有5列，且它的秩等于 $5-3=2$，故只能為C。J1.10 5.0$A$是$rn n$矩陣$ ( m!=n) $，使齊次線性方程組 $Ax=0$只有零解的 充分必要條件是()您答對(duì)了 C$m > n$b$m < n$c$A$的$n$個(gè)列向量線性無關(guān)d$A$的$m$個(gè)行向量線性無關(guān)齊次線性方程組$Ax=O$只有零解$<=>r(A)=*=>A$的$n$個(gè)列向量線性無關(guān)。1.11 5.0設(shè)$mx n$矩陣$A$的秩為$n-1$，且$xi_1$ , $xi_

39、2$是齊次線性方程組 $Ax=0$的兩個(gè)不同的解，則 $Ax=0$的通解為()您答對(duì)了 d«a$kxi_1 ， kinR$* b$kxi_2 ， kinR$* c$kxi_1+xi_2 ，kinR$*d$k(xi_1-xi_2)，kinR$齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個(gè)數(shù)$=n-秩(A)=1$ ,而$xi_1$ , $xi_2$是齊次線性方程組$Ax=0$的兩個(gè)不同的解，貝U $xi_1-xi_2!=0$ ，則$xi_1-xi_2$ 線性無關(guān)，則 $Ax=0$的通解為 $k(xi_1- xi_2), kinR$.1.12 5.0若$X_1,X_2$是線性方程組$AX=b$

40、的解，$eta_1, eta_2$ 是方程組 $AX=0$的解，則()是$AX=b$的解。您答對(duì)了 a«a$1/3X_1+2/3X_2$*«b$1/3eta _1+2/3eta _2$c$X_1-X_2$d$X_1+X_2$因?yàn)?$X_1,X_2$是線性方程組 $AX=b$的解，故 $A(1/3X_1+2/3X_2)=1/3AX_1+2/3 AX_2=1/3b+2/3b=b$。即 $1/3X_1+2/3X_2$ 是$AX=b$的解。1.13 5.0設(shè)$A$為$mxxn$矩陣，齊次線性方程組 $AX=0$有非零解的充要條件是()您答對(duì)了 Ca$m < n$m >

41、n$r(A) < n$d$m=n$因?yàn)?A$為$mxxn$矩陣，故齊次線性方程組 $AX=0$中含$n$個(gè)未知數(shù)，所以齊次線性方程組 $AX=0$有非零解的充要條件是 $r(A) < n$ 。1.14 5.0設(shè)$alpha_1,alpha_2,alpha_3$是齊次線性方程組$Ax=0$的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是()您答對(duì)了 ba$alpha_1,alpha_2,alpha_1+alpha_2$b$alpha_1+alpha_2,alpha_2+alpha_3,alpha_3+alpha_1$c$alpha_1,alpha_2,alpha_1-a

42、lpha_2$d$alpha_1-alpha_2,alpha_2-alpha_3,alpha_3-alpha_1$alpha_(1)+alpha_ (2),alpha_(2)+alpha_ (3),alpha_(3)+alpha_(1)$與$alpha_(1),alpha_ (2),alpha_ (3) $等價(jià)，故$alpha_(1)+alpha_ (2),alpha_(2)+alpha_ (3),alpha_(3)+alpha_(1)$也是$Ax=0$的一個(gè)基礎(chǔ)解系。1.15 5.0四元線性方程組$(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(2x_1-x_2-x_3+x_4=1),(3x_

43、1+x_2-2x_3-x_4=a):$ 有解，則 $a=$ ()您答對(duì)了 b«a2線性方程組$(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(2x_1-x_2-x_3+x_4=1),(3x_1+x_2-2x_3-x_4=a):$的增廣矩陣. 為$barA=(1,2,-1,-2,0),(2,-1,-1,1,1),(3,1,-2,-1,a)->(1,2,-1,-2,0),(0,-5,1,5,1),(0,-5,1,5,a) ->(1,2,-1,-2,0),(0,5,-1,-5,-1),(0,0,0,0,a-1)$所以，線性方程組$(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(2x

44、_1-x_2-x_3+x_4=1),(3x_1+x_2-2x_3-x_4=a): $有解$hArra=1$。1.16 5.0已知$beta_1,beta_2$是非齊次線性方程組$Ax=b$的兩個(gè)不同的解， $alpha_1,alpha_2$ 是其導(dǎo)出組$Ax=0$的一個(gè)基礎(chǔ)解系，$C_1,C_2$為 任意常數(shù)，則方程組 $Ax=b$的通解可以表為()您答對(duì)了 a$1/2(beta_1+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)$b$1/2(beta_1-beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)$ c$1/2(beta_1

45、+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(beta_1-beta_2)$d$1/2(beta_1-beta_2)+C_1alpha_1+C_2(beta_1+beta_2)$根據(jù)$beta_1,beta_2$是非齊次線性方程組$Ax=b$的兩個(gè)不同的解，我們知道， $Abeta_ 仁b,Abeta_2=b,A(beta_1-beta_2)=0;A(1/2(beta_1+beta_2)=b$所以$beta_1-beta_2$ 是$Ax=0$的解；$1/2(beta_1+beta_2)$ 是$Ax=b$的解。1.17 5.0設(shè)向量 $zeta_仁(1,0,2)T$，$zeta_2=(0,1,

46、-1)AT$都是線性方程組$Ax=0$的解，則下列4個(gè)矩陣中可以作為系數(shù)矩陣 $A$的是()您答對(duì)了 aa$(-2" "1" "1)$b$(2,0,-1,0,1,1)$(-1,0,2,0,1,-1)$(0,1,-1,4,-2,-2, 0,1,1)$顯然$zeta_1$ ,$zeta_2$線性無關(guān)，故系數(shù)矩陣$A$必滿足未知數(shù)個(gè)數(shù)$3-R(A) >= 2$,故$R(A) <=1$，所以答案只能是 Ao1.18 5.0$A$為$mxxn$矩陣，且$m < n$ , $AX=0$是$AX=b$的導(dǎo)出組，則下述結(jié) 論正確的是()您答對(duì)了 b&#

47、171;a$AX=b$必有無窮多解b$AX=0$必有無窮多解c$AX=0$只有零解d$AX=b$必?zé)o解$A$為 $mxxn$矩陣，且 $m < n$，則 $r(A) <= m < n$ , $AX=0$必有無窮多解。1.19 5.0設(shè)$alpha_1, alpha_2,alpha_s$ 是$n$元齊次方程組 $Ax=0$的基礎(chǔ)解系，則()您答對(duì)了 ba$alpha_1, alpha_2,alpha_s$線性相關(guān)$Ax=0$的任意$s+1$個(gè)解向量線性相關(guān)c$S-R(A)=n$d$Ax=0$的任意$s-1$個(gè)解向量線性相關(guān)根據(jù)齊次方程組基礎(chǔ)解系的概念，$alpha_1, alp

48、ha_2,alpha_s$必線性無關(guān)，$Ax=0$的任意$s+1$個(gè)解向量必線性相關(guān)，且$s=n-r(A)$。所以應(yīng)選B。1.20 5.0設(shè)$A$為$mx n$矩陣，則$n$元齊次線性方程$Ax=0$存在非零解的充要 條件是()您答對(duì)了 b*a$A$的行向量組線性相關(guān)$A$的列向量組線性相關(guān)$A$的行向量組線性無關(guān)$A$的列向量組線性無關(guān)齊次方程組$Ax=0$有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩$ < n$即$A$的列向量組線性相關(guān)。線性代數(shù)（經(jīng)管類）-階段測(cè)評(píng)41.單選題1.1 5.0二次型$f（x,y,z）=xA2-yA2$的正慣性指數(shù)$p$為（）您答對(duì)了 ba0據(jù)二次型正慣性指數(shù)的定義

49、，$f（x,y,z）=xA2-yA2$的正慣性指數(shù)為1.1.2 5.0已知$A$有一個(gè)特征值$-2$，則$B=AA2+2E$、有一個(gè)特征值（）您答對(duì)了 da$-2$2$c$4$d$6$因?yàn)?A$有一個(gè)特征值$-2$，則$B=AA2+2EJ必有一個(gè)特征值為$(-2)人2+2=6$.1.3 5.0與矩陣 $A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)$相似的是()您答對(duì)了 a* a$(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1)$* b$(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2)$* c$(1,0,0),(1,1,0),(0,0,2)$*d$(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)

50、$因?yàn)楫?dāng)方陣能與對(duì)角陣相似時(shí)，其相似標(biāo)準(zhǔn)只與主對(duì)角線上元素有關(guān)，而與其順序無關(guān)，故應(yīng)選A。1.4 5.0已知$A=(1,2),(x,y)$ ，且$A$的特征值為1與2,則()您答對(duì)了 a$x=0,y=2$b$x=2,y=0$c$x=-2,y=0$d$x=0,y=-2$1.5 5.0二次型$f=xATAx$（$A$為實(shí)對(duì)稱陣）正定的充要條件是（）您答對(duì)了 da$A$可 逆b$|A|>0$c$A$的特征值之和大于 0d$A$的特征值全部大于 0據(jù)教材p175定理6.2.5知實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充分必要條件是$A$的$n$個(gè)特征值全大于 0.1.6 5.0設(shè)$3$階矩陣$A$與$B$相似，且已知$

51、A$的特征值為$2, 2, 3$,則$|BA(-1)|=$()您答對(duì)了 aa$1/12$b$1/7$c$7$d$12$A$與$B$相似，且$A$的特征值為$2,2,3$，所以$B$的特征值為$2,2,3$ 。$BA(-1)$的特征值 為$1/2,1/2,1/3$，所以 $冃人(-1)|=1/2*1/2*1/3=1/12$.1.7 5.0設(shè)$A$為4階矩陣，$E$為4階單位陣，若行列式$|3E-5A|=0$，$A$的 一個(gè)特征值為()您答對(duì)了 aa$3/5$b$5/3$-5/3$-3/5$lambda$為$A$的特征值的充要條件是 $|lambdaE-A|=O$，因?yàn)?|3E-5A|=0$，故

52、$|3/5E-A|=0$ ，所以$3/5$是$A$的一個(gè)特征值。1.8 5.0設(shè)$3$階實(shí)對(duì)稱矩陣$A$的特征值為$lambda_(1)=lambda_(2)=3,lambda_(3)=0$，則 $r(A)=$ ()您答對(duì)了 ca$0$b$1$*c$2$d$3$由題意知 $A$與對(duì)角陣 $(3,0,0),(0,3,0),(0,0,0)$相似，故 $r(A)=2$ 。1.9 5.0已知$3$階矩陣$A$的3個(gè)特征值為$1,2,3$，則$|AA(*)|=$()您答對(duì)了 C$63$6$c$36$d$3$因?yàn)?$3$階矩陣 $A$的 3 個(gè)特征值為 $1,2,3$，故 $|A|=lambda_1lambda_2lambda_3=6$