高等數(shù)學(xué)1試題答案及復(fù)習(xí)要點匯總

1、:名簽生學(xué) 號學(xué) 級班 業(yè)專 。果后切一的起引此由擔(dān)承愿，位學(xué)士學(xué)予授不將分處上以及過記到受弊作因 和籍學(xué)除開被將者考人他代或考代人他請道知還，性重嚴的弊作、紀違試考道知，律紀場考守遵格嚴將我：諾承高等數(shù)學(xué)上冊試題答案及復(fù)習(xí)要點匯總(完整版)題號一二二四五總分123456712分值10157777777998閱卷人(全名)閉卷(V)考生注意事項：1、本試卷共_6_頁，總分100 分,考試時間120 分鐘。2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、 一、填空題(每題2分，共10分)x1、設(shè)f(x)e 2, x 0在x 0處連續(xù)，則a' 'a x, x 0、-f (1) f (1 2x)2、

2、設(shè)f(1)3,則呵)x- 答題紙和草稿紙帶出考場。得分評閱人年3、函數(shù)f(x) x3 9x 2在0, 3上滿足羅爾定理的3124、設(shè)£(*)在1.1上為偶函數(shù)、則 x x f(x)dx 315、微分方程ycosx的通解為ycosx C1x C2、選擇題(每題3分，共15分)21 lim (xsinxxA. 4 B. 3sin2x) ( C ) xC. 2 D. 1得分評閱人3、不定積分.2 ,xsin x dx ( DA2A. cosx2C B. cos x1212C C. cosx C D. cosx C224、由曲線xjy、直線y 1及y軸圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體 積為（

3、B ）-12A. B. C. D.5、極限A. 1limx 0B. 00 t2 e dtxxC. 1D.、解答題（每題7分,2共49分)1、設(shè)m （x2x2xTaxb)6,求a、b.得分評閱人解 lim (x_22x2 xx 1axb)limx_2(2 a)x (1a b)x b1a 2, b2、求極限lim x 0ln( x 1).解原式limx 0ln( x 1) xxln( x 1)得分評閱人11x 1 x ln(x 1)x 11lixml(x 1)211x 1 (x 1)2得分 評閱人得分評閱人3、設(shè)y (cosx)s1nx，求 dy.解 兩邊取對數(shù)得ln y sin x In cos

4、x1 sin xy cosx In cosx sin xycosx,、sin x ,y (cosx) (cosx In cosx sin xtan x)dy y dx.sin x .(cosx) (cos x In cosx sin x tan x)dx得分評閱人5、求定積分e 2 .,x ln xdx.i解原式1 e 3 ln xdx3 i13 e 1 e 3(x ln x) 1- x d In x3、1 13 12e3 16、求曲線2lnx在區(qū)間1,2上的長度.x 12 2x得分評閱人I/12 .y dx2(x1)dx x1(1 x2 2'2In x)7、求微分方程y ,皿Y滿足丫

5、u(ln u 1)du-dx xx 1 e2的特解得分評閱人1 u(ln u ln(ln udu1)1) In1dx xIn C通解yCx 1 xee2得C特解yx 1 xe四、綜合題(每題9分，共18分)得分評閱人1、求函數(shù)f (x) xe 2x的極值及該函數(shù)圖形的 拐點.解 f (x) e 2x 2xe 2x1令f (x)。得 x 一 1 一，一 1 一，當x 2時，f (x) 0,當x 1 時，f (x) 0當x 2時f (x)取極小值，極小值為f (2) 2e 1f (x) 4e 2x 4xe 2x令f (x) 0得 x 1當x 1 時，f (x) 0,當x 1 時，f (x) 0.，

6、-2拐點為(1,e )得分評閱人解特征方程為r2 6r 8 02、求微分方程y 6y 8y (x 1)e4x的通解.r12,24y 6y 8y 0的通解 Y C1e2x C2e4x24為r6r 8 0的單根可設(shè) y* x(axb)e4x把y*代入原方程得4ax 2a 2b x 14a 12a 2b* Jy* x(4x3、4x4)e通解 y x(1x 3)e4x C1e2x441C2e4x五、證明題(8分)1、設(shè)f (x)在0,1上連續(xù),證明:得分評閱人2 f (sin x)dx2 f (cos x)dx;2、證明當x0 時，.1 x1與1等價.則dx 出0f (cost)( dt)2大一上學(xué)期

7、高數(shù)期末考試、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分,1 設(shè) f ( x)(A)f (0)cos x(x2(B)sin x ),則在x 0處有(f (0) 1 (C)f (0) 0(D)共16分).f (x)不可導(dǎo).設(shè)2.(x)x,(x) 3 3雙,則當x 1時(x(A) 無窮小;(C)(x)與(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小;(x)是比(x)高階的無窮小;(D)x3.若F(x)0 (2t x)f出，其中f(x)在區(qū)間上(則(A)(B)(C)(D).函數(shù)F (x)必在函數(shù)F (x)必在0處取得極大值;0處取得極小值;函數(shù)F(x)在x 0處沒有極值,函數(shù)F(x)在X 0處沒有極值,4 設(shè)f(

8、x)是連續(xù)函數(shù)，且 f (x) .5.(A) 2(B) 2、填空題(本大題有2lim (13x)3x 0 /2(C) x6.7.8.(B)與(x)是等價(x)是比(x)高階的無窮小.m二階可導(dǎo)且f (x) 0,但點(0,F(0)為曲線y 點(0,F(0)也不是曲線F(x)的拐點；y F(x)的拐點。12 0 f (t)dt ,則f (x)(D) x 24小題，每小題4分，共16分)已知cos工是f(x)的一個原函數(shù) xlimn一(cos ncos2 2Lccosx,貝 1 f (x) d xx2 n 1 、cos )n2 _ arcsin1 dx三、解答題(本大題有9.設(shè)函數(shù)y y(x)由方程

9、5小題,每小題8分，共40分)exy sin(xy) 1 確定，求 y (x)以及 y (0).求dx.10.x(1x7)設(shè)f (x)11.、1求 3 f(x)dx .g(x)12.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，1f(xt)dt liml(x) a0，且x 0 x , A為常數(shù).求 g(x)并討論g(x)在x 0處的連續(xù)性.13.求微分方程xyy(1)2y x 1nx滿足19的解.9.解：方程兩邊求導(dǎo)四、解答題(本大題10分)14 .已知上半平面內(nèi)一曲線y y(x) (x 0),過點9。，且曲線上任一點M(x0，y0) 處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線x x0所圍成面積的2倍與該點 縱坐標之

10、和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)15 .過坐標原點作曲線y 1nx的切線，該切線與曲線y 1nx及x軸圍成平面圖 形D.(1)求D的面積A; (2)求D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V. 六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)16 .設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q 0,1, q1f(x) d x q f(x)dx00.f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017 .設(shè)函數(shù)f (x)在0,上連續(xù)，且。，。.證明:在°,內(nèi)至少存在兩個不同的點1 , 2 ,使f ( J f( 2) 0(提示：設(shè) xF(x) f(x

11、)dx 0 ) 解答 一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1 /Cosx、26() c 一5. e . 6.2 x 7.7.2. 8.3三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)ex y(1y) cos(xy)(xy y) 0y (x)0,10.解:xexe0y ycos(xy)yx cos(xy)y(0)7x6dxdu原式(1u(1“duu)2 )du u 111.解:7(ln |u|71n |x7|13 f (x)dx021n |u2ln |1 70xe12.解:g(x)g (x)g

12、(0)1|)3xd(xxe2e3 4(f(0)xtf (xt )dtxdx2x x21 (x 1)2dx02人cos d (令x2g(0)xf u0(u)du(xdx1 sin )0)xxf (x) f(u)du02xlimxf (u)du02xlim(x0)f(x)xf (x)xm0g(x)x 0 2xxf (u)du0-2 x0處連續(xù)。dy13.解：dx2一y x2dx xln x2dxe x ln xdxC)1xln x 1x Cx 2391 -y(i) 9C o四、解答題（本大題14.解：由已知且y1 . y x ln x 310分)x20 ydx y將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得y 2y特征方

13、程: 其通解為r2 r 2y Ce代入初始條件y（0）故所求曲線方程為:0 解出特征根：r11，C2e2(0) 12 y -e >3五、解答題（本大題10分）覆w1-e3C13, C22x2.15.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點為由于切線過原點，解出x0A則平面圖形面積1(ey0（2）三角形繞直線（x0,ln X。）,切線方程:e,從而切線方程為:1ey）dy -e 1x= e一周所得圓錐體體積記為曲線y 1nx與x軸及直線1V2 （e0y ln x0-(x x°) 0V1V1,則x = e所圍成的圖形繞直線x = e 一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2ey)2dyD繞直線x= e旋轉(zhuǎn)一周

14、所得旋轉(zhuǎn)體的體積2V V1 V2 (5e2 12e 3)6六、證明題16.證明:q(本大題有qf (x) d x02小題，每小題4分，共12分）1q f(x)dx0qf (x) d x q( f (x) d x01f(x)dx)q(1 q) f (x) d x01 0, q 2 q,11q f(x)dxqf( 1)f ( 2)故有:q(1 q) f ( 1) q(1 q) f ( 2)f(x)d x q f(x)dx00證畢。17.F(x)證：構(gòu)造輔助函數(shù)：導(dǎo)。F (x) f(x),且 F(0)f(t)dt , 0 xF( ) 00具滿足在0,上連續(xù)，在(0，)上可0由題設(shè)，有f (x) co

15、sxdxcosxdF (x)0F (x) cos x | sin x F (x)dx0F (x)sin xdx 有0綜上可知F(0) 知存在1(0,)和 20,由積分中值定理，存在(0,)，使F( )sinF( ) F( ) 0,(0,).在區(qū)間0,上分別應(yīng)用羅爾定理,(,)，使 F ( i) 0及F ( 2) 0,即 f( 1)f( 2) 0高等數(shù)學(xué)(上)試題及答案、單項選擇題(每小題 3分，本題共15分)4 一 一*1、若函數(shù) f(x) °,則 lim f(x)(x x 0A、0 BD 、不存在2、下列變量中，是無窮小量的為(1 , A. ln (x x0 ) B.ln x(x1

16、) C.cosx (x0)x 2 /c、D. "x2)3、滿足方程f (x)0的x是函數(shù)y f (x)的().極小值點.間斷點4、下列無窮積分收斂的是(A、 sin xdx B 02x ,e dx00 xdx05、設(shè)空間三點的坐標分別為M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)、B (2, 1, 2)。則 AMB =A B 、 C 、萬 D 、二、填空題(每小題 3分，本題共15分)21、lim(1 3x)7.。x 0x,e x 0,八一2、當k 時，f(x) 2在x 0處連續(xù).x k x 0, dx3、設(shè) y x lnx,貝Udx dy4、曲線y ex x在點(0,1)處的切線

17、方程是 5、若 f(x)dx sin2x C, C 為常數(shù)，則 f(x) 。三、計算題(每小題7分，本題共56分)4x21、求極限 lim 4x2 x 0 sin 2x112、求極限 lim(1 -)x 0 x ex 1cosxe t dt3、求極限 lim二一-一x 0v24、設(shè) y e5 ln(x<1 x2),求 y5、設(shè)f y(x)由已知x ln(1 ,),求嗎 y arctant dx1 2.6、求不te積分2-sin( 3)dxx x、求不定積分excos xdx8、設(shè) f(x)1111四、應(yīng)用題（本題7分）20 f (x 1)dx求曲線五、證明題（本題7分）所圍成圖形的面積

18、A以及A饒y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。若f（x）在0,1上連續(xù),1在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f (0) f (1) 0, f(1)2在（0,1）內(nèi)至少有一點，使 f ( ) 1。參考答案O填空題（每小題3分，本題共15分）1、e6 2 、k =1 .4 x 21.解：limx 0 sin 2x.xlim -x 0 sin 2x( . 4x 2)1lim2x02xsin 2x( 4 x 2)一 12.斛：lim (x 0 xlimj x 0 x(ex 1)lim 一 x 0 eex 11 xexlim x 0exx xe xe3、解:cosxe t dt12xsin xe lim x 0 2x2

19、cos x12e14、解:x 11, . 4 分5、解:dydx12t6、解:7、解:8、解:2t, . 7 分(4分)2d2y dx2122t2t21 t2-2 sin(3)dxsin(2 x0f(xex cosxdx1 t2Tt(7分)3)d(2 3)3cosxdexxe cosxxe cosxxe cosxex(sin x11)dx 1 f (x)dx0 dx11 ex13) C(7分)exsinxdxsin xdex .x _e sin xcosx) C01f (x)dx1 dx01 xex cosxdx10f(x)dx 四.應(yīng)用題(本題解：曲線y x2與x于是曲線y x2與x0(1

20、-111 ln(1x e-)dx ln( 1 x) e1 ln(1 e7分)1)y2的交點為(1,0In 21ln(1 e)1),2 一y所圍成圖形的面積 A為x2)dx 3x2 1x203 5分6分7A繞y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為:1v (y)2 y4 dy0五、證明題(本題 7分)證明： 設(shè) F(x) f(x) x1 .一顯然F (x)在,1上連續(xù)，在1q ,1)內(nèi)可導(dǎo),F(1)1 0.1 .一由零點定理知存在 x1q,1,使F(x1) 0.由F(0) 0,在0,x/上應(yīng)用羅爾定理知，至少存在一點(0,Xi)(0,1),使 F ( ) f ( ) 1 0,即 f ( ) 1第一章函數(shù)與

21、極限函數(shù)和極限都是高等數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念，極值方法是最基本的方法，一切內(nèi)容都將 從這二者開始。§ 1、 函 數(shù) 一、集合、常量與變量 、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫字母A R C等來表示，組成集合的各個事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個元素，就記a M(ta 屬若事物a不是集合M的一個元素，就記a M或a-h/l(i賣a不屬于M);集合有時也簡稱 為集。注：若一集合只有有限個元素，就稱為有限集；否則稱為無限集。 2:集合的表示方法：、若集合為有限集，就 可用列舉出其全體元素 的方法來表示，如：A 1,2,3, 10, B 一只貓，一只狗

22、，一只 雞;(ii)、對無限集，若知道其 元素的規(guī)律，也可類似 寫出，如：A 1,23為全體自然數(shù)集,B 2,46為全體偶數(shù)集；枚舉法(iii卜列不出全體元素或找 不到元素規(guī)律的集合，若知其元素有某種性質(zhì)，那么該集合可表示為：A xx所具有的某種性質(zhì)，即：有此性質(zhì)的必在 A中，且A中的元素必 須有此性質(zhì)。如：A xx3 5x2 7x 3 0； B xx為我校的學(xué)生； C (x, y)點 (x, y)在D中等。全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實數(shù)的集合記為R。 以后不特別說明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。4:集合間的基本關(guān)系：若集合 A的元素都是集合B的元素，

23、即若有x A,必有x B,就稱 為B的子集，記為A B,或B A(讀B包含A)。顯然：N Z Q R.若A B,同時B A,就稱A、B相等，記為A=B5:當集合中的元素重復(fù)時，重復(fù)的元素只算一次.如：1,2,2,3=1,2,3。6:不含任何元素的集稱為空集，記為，如：xx2 1 0,x R=, x:2x 1=，空集是任何集合的子集即Ao7:區(qū)間：所有大于 a、小于b(a < b)的實數(shù)組成一個集合，稱之為開區(qū)間，記為(a,b),即a,b)=xa x b。同理：a,b= xa x b為閉區(qū)間，a, b xa x b和a,b xa x b分別稱為左 閉右開、左開右閉的區(qū)間，統(tǒng)稱為半開區(qū)問。以

24、上均成為有限區(qū)間，a、b分別稱為左、右端點。對無窮區(qū)間有：，b xx b, (a, ) xa x, ( , ) x x R ,在不特別要求下，有限區(qū)間、無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間，用 I表示。8:鄰域：設(shè)a和 為兩個實數(shù)，且0.集合xx a 稱為點a的 鄰域，記為U(a, ),a為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑，事實上，U (a, ) xa x a (a ,a )。同理：我們稱U(a, ) x0 x a 為2的去心 鄰域，或a的空心 鄰域。9:集合的內(nèi)容很多，其它內(nèi)容(如集合的運算)在此不作一一介紹了。2、常量與變量：在自然科學(xué)中，我們會遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有的

25、量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化， 可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量?！纠繑S同一鉛球數(shù)次，發(fā)現(xiàn)鉛球的質(zhì)量、體積為常量，而投擲距離、上拋角度、用力大小均 為變量。注1:常量與變量是相對而言的，同一量在不同場合下，可能是常量，也可能是變量，如在一 天或在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而， 一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。2 :常量一般用a,b,c等字母表示，變量用x,y,u,t等字母表示，常量a為一定值, 在數(shù)軸上可用定點表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動點表示，如：x (a,

26、b) 表示可代表(a, b)中的任一個數(shù)二、函數(shù)的概念【例】正方形的邊口與面積S之間的關(guān)系為：S x2,顯然當x確定了，S也就確定了。這就是說，同一過程中變量之間往往存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系。它們在遵循某一規(guī)律時相互聯(lián)系、 相互約束著。定義：設(shè)和y為兩個變量，D為一個給定的數(shù)集，如果對每一個 x D,按照一定的法則f變量y總有確定的數(shù)值與之對應(yīng)，就稱 y為x的函數(shù)，記為y f (x).數(shù)集D稱為該函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量。當x取數(shù)值X0 D時，依法則f的對應(yīng)值稱為函數(shù)y f(x)在x xo時的函數(shù)值。所有函數(shù)值組成的集伸 yy f(x),x D稱為函數(shù)y f(x)的值域。注：函數(shù)通

27、常還可用y g(x), y F(x),s u(t)等表示。2:約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實數(shù)值的全體?！纠齀】y sin x的定義域為(，),值域為1,1 0【例】y 7c的定義域為1,),值域為0,)。2x 0 x 11【例】y -x 0的止義域為1,1,值域為0,2。21 x 1 x 0州4】f(x) 1的定義域為(，)，h(x)學(xué)的定義域為(，0) (0,)，從而顯然 x(x) h(x)。3、若對每一個x D ,只有唯一的一個y與之對應(yīng)，就稱函數(shù)y f(x)為單值函數(shù)；若有不止一個與之對應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。如：x2 y2 1,x2 y2 1等。以后若不特別聲

28、明，只討論單信函數(shù)。4、函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學(xué)式子來表示對應(yīng)法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當自變量x在(0,1上取值，其函數(shù)值1方；當x取0時，f(x) 1;當x在1,0)上取值時，其函數(shù)值為1 x。(這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，在以后經(jīng)常遇見，希望注意！)盡管有幾個不同的算式，但它們合起來只表示一個函數(shù)！5、對D中任一固定的x,依照法則有一個數(shù)y與之對應(yīng)，以x為橫坐標，y為縱坐標在坐標平面上就確定了一個點。當x取遍D中的每一數(shù)時，便得到一個點集C (x, y) y f(x),x D,我們稱之為函封 f(x)的圖形。換言之，當x在D中變

29、動時，點(x,y)的軌跡就是y f(x)的圖形?！纠?書上的幾個例子。(同學(xué)們自己看)【例】例3的圖形如下圖三、函數(shù)的幾種特性函數(shù)的有界性:0，使得：|f (x) M ,就稱 f (x)設(shè)y f(x)在D上有定義，若對x D, M 右上有界，否則稱為無界。M,使得f(x) M(f (x) M),就稱f(x)在D上有上(下)界。f(x)在D上有界f(x)在D上同時有上界和下界。2、f(x)在D上無界也可這樣說：對 M 0,總x0 D,使得|f(x0) M【例】 上段例1、3、4中的函數(shù)是有界的；例2中的函數(shù)是無界的，但有下界c 、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若對 x1、x2

30、I ,當x1 x2時總有：(1) f(xi) f (x2),就稱f(x)在I上單調(diào)遞增，特別當嚴格不等式f (xi) f(x2)成立時, 就稱(x)在I上嚴格單調(diào)遞增。(2) f(xi) f (x2),就稱f(x)在I上單調(diào)遞減，特別當嚴格不等式f(xi) f(x2)成立時,就稱(x)在I上嚴格單調(diào)遞減。注1、此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！2、這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴格單調(diào)函數(shù)。3、調(diào)遞增有時簡稱單增、遞增或不減，其它也一樣?！纠?符號函數(shù)和取整函數(shù)均為單增函數(shù)，但不嚴格單調(diào)。1 .【例】y 1在(0,)上是嚴格單減函數(shù)。 x【例0例3中的函數(shù)在定義域1,1上不是單調(diào)的，但在1,0

31、)上是嚴格單減的，在(0,1上 是嚴格單增的。、函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D為對稱于原點的數(shù)集，即若x D,有x D,1)若對x D,有f( x) f(x)恒成立，就稱f(x)為偶函數(shù)。2)若對x D,有f( x)f(x)恒成立，就稱f(x)為奇函數(shù)。【例1】y x2 , y cosx, y x,是偶函數(shù)，y x3, y sin x, y sgnx ,是奇函數(shù)。y x2 x3, y cosx sin x是非奇非偶函數(shù)。【例1】* y ln(x v1 x2)是奇函數(shù)。注1、偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點對稱的。2、若f(x)是奇函數(shù)，且0 D,則必有f (0) 0

32、03、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也 為偶函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。4、周期性：設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為D ,如果l 0 ,使得對 x D ,有x l D ,且(x l) f(x)恒成立，就稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周期?！纠?】y sin x,y cosx, y tgx分別為周期為2 ,2 ,的周期函數(shù)，y x x為周期為1的函數(shù)。注:若l為f(x)的周期，由定義知2l,3l,4l 也都是f(x)的周期，故周期函數(shù)有無窮多個周期，通常說的周期是指最小正周期(基本周期)，然而最小正周期未必都存在(為什么？)例如：y sin2 x c

33、os2 x 1 ,設(shè)有最小正周期。2:周期函數(shù)在一每個周期(a kl,a (k 1)l) (a為任意數(shù)，k為任意常數(shù))上，有相同的形四、反函數(shù)設(shè)f(x)的定義域為D ,值域為W,因此，對y W,必x D,使得f(x) y,這樣的x可 能不止一個，若將y當作自變量，x當作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù) x (y),稱 之為函數(shù) f(x)的反函數(shù)，而f(x)叫做直接函數(shù)。注：反函數(shù)x (y)的定義域為W ,值域為D ;2:由上討論知，即使y f(x)為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單信函數(shù)，以后對此問題還作 研究；3:在習(xí)慣上往往用x表示自變量，y表示因變量，因此將 x (y)中的x與y對換一下

34、，f(x)的反函數(shù)就變成y (x),事實上函數(shù)y(x)與x(y)是表示同一函數(shù)的，因為，表示函數(shù)關(guān)系的字母"沒變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒什么關(guān)系。所以說：若y f(x) 的反函數(shù)為 (y),那么y (x)也是y f(x)的反函數(shù)，且后者較常用；4:反函數(shù)y (x)的圖形與直接函數(shù)y f(x)的圖形是對稱于y x (證明很簡單，大家自 己看書;)5:有些書上，對反函數(shù)的定義與此不同，希加與之區(qū)別。y b1【例3】 函數(shù)y ax b,y x2, y x3的反函數(shù)分別為：x y,xJy,x y3或分別為ax b3,yVx, y x。 a§ 1、2初等函數(shù)一、幕函數(shù) 形如

35、x (為常數(shù))的函數(shù)叫做幕函數(shù)。其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡單的討論：D 當為非負整數(shù)時，定義域為(，)；2$當 為負整數(shù)時，定義域為(，0) (0,);3$當為其它有理數(shù)時，要視情況而定1【例1】y x3的定義域為（,）； 13y X2,y x4的定義域為0,;1y x 2的定義域為（0,）。4$當 為無理數(shù)時，規(guī)定其定義域為（0,）,其圖形也很復(fù)雜，但不論 取何值，圖形總過（1, 1）點，當 >0時，還過（0, 0）點。二、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)：形如y ax（a 0,a 1）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域為（，），其圖形總在 軸上方，且過（0, 1）點，U 當a 1時，y ax

36、是單調(diào)增加的；20當0 a 1時，y ax是單調(diào)減少的；以后我們經(jīng)常遇到這樣一個指數(shù)函數(shù)y ex,e的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地，ax與y ax關(guān)于y軸對稱。、對數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)y ax的反函數(shù)，記為y logax（a為常數(shù)，a 0,a 1）,稱為對數(shù)函數(shù)， 其定義域地，），由前面反函數(shù)的概念知：y ax的圖形和y logax的圖形是關(guān)于y x對稱 從，從此，不難得y log a x的圖形，y logax的圖形總在y軸右方，且過（1, 0）點10當a 1時，y logax單調(diào)遞增，且在（0, 1）為負，（1,）上為正；2$當0 a 1時，y logax單調(diào)遞減，且在（0, 1）為

37、正，（1,）上為負;特別雷取e時，函數(shù)記為y ln x ,稱為自然對數(shù)函數(shù)。三、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、三角函數(shù)三角函數(shù)主要是：正弦函數(shù)：y sin x x (,)正切函數(shù)：y tanx余切函數(shù)：y cot x余弦函數(shù)：y cosx x (,)x n n Q 1, 2, 2x nn 0, 1, 2,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為 2的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為的周期函數(shù)。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個：正割1 一一1secx 和余割 y cscx ,其圖形在此不做討論了。cosxsin x、反三角函數(shù)：反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：反

38、正弦函數(shù):反余弦函數(shù):反正切函數(shù):反余切函數(shù):y Arc sin xy Arc cosxy Arc tan xy Arc cot xx 1,1x 1,1x (,)x (,)顯然反三角函數(shù)都是多信函數(shù)，單我們可選取其一個單值分支，叫做主值，選法如下：將 Arc sin x限制在-,-±,得一單值函數(shù)，記為 y arcsin x ,它就是所取主信函數(shù),一,一叫做主值區(qū)間，顯然一 arcsinx ,2 222同理：將 Arccosx限制在0,上，得y arccosx將y Arc tan x限制在&,金上，得y arctanx將 y Arc cot x 限制在0,上，得 y arc

39、cot x從圖中不難看Harcsinx和arctanx是單調(diào)遞增的，arccosx和arc cot x是單調(diào)遞減的。四、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)諛f (u),定義域為Di ,u (x),定義域為D2,值域為W2 ,且W2Di,這樣對于xD2,由 (x)可算出函數(shù)值u W2 Di,所以u Di ,由y f(u)又可算出其函數(shù)值y,因此對于 x D2,有確定的值y與之對應(yīng)，從而得一個以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，我們稱之為 以f(u)為外函數(shù)，u(x)為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，記為 y f ( (x),其中u為中間變量?！纠齀】y sin 2 x就是y u2和u sin x復(fù)合而成； 22 一八一 r

40、、y cosx 就是 y cosu和u x 復(fù)合而成。注：并非任何兩函數(shù)都可以復(fù)合的，例如：y arcsin u和u 2 x2不能復(fù)合；y VG和u i x2也不能復(fù)合。2:復(fù)合可推廣到三個或更多的函數(shù)上去，如：y tan(lnx)2就是 y tanu,u v2,v In x復(fù)合成的。3:在函數(shù)復(fù)合中，未必都有 y f(u)、u (x)的形式，一般為y f(x)和y g(x),這時 候就要注意哪個為外函數(shù)，哪個為內(nèi)函數(shù)，從而復(fù)合后有y f(x)和y g(x)之分。、初等函數(shù)我們把幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù) 和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次

41、復(fù)合后所得到的能用一個解析式子表示的函數(shù)，稱 為初等函數(shù)。- I ;【例】y 弋i x, y 寸i 2x , y sin2 x, y tan(ln x)2, y arctan J-一sn-x 等都是初等函數(shù)。；i sin x 本教材討論的主要都是初等函數(shù)。五、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)x x 雙曲正弦：y shx x (,)2x x雙曲余弦：y chx x (,)2x a x雙曲正切：y thx 皂-ex e x x (,) chx e e反雙曲正弦：y arshx ln(x . x 3 1) x (,)反雙曲余弦：y archx ln(x .x2 1) x 1,)(多信函數(shù)yln(x ,x2 1)

42、取“+”號為主值)1 1 x反雙曲正切：y arthx Inx ( 1,1)2 1 x由于這類以后用得較少，只要掌握上面的內(nèi)容就行了，其它的此外不細講了§ 1、3 數(shù)列的極限所謂的數(shù)列，通俗地講，就是將一系列的數(shù)排成一列(排)o在數(shù)學(xué)中，我們可用這樣的話 來定義：定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為xn f(n), n 1,2,3,由于全體自然數(shù)可以從小到大排成一列，因此數(shù)列的對應(yīng)值也可以排成一列：x1,x2,xn ,這就是最常見的數(shù)列表現(xiàn)形式了，有時也簡記為 xn或數(shù)列xn。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項，第n項xn稱為一般項或通項。他1】 書上用圓內(nèi)接正6 2n1邊形的面積來近似

43、代替該圓的面積時，得到數(shù)列(多邊形的面積數(shù)列)【傷2】長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進行下去，那么剩下部分的長構(gòu)成一數(shù)列:1112,22 ,23 ,一 1 1【例】1,1,12 312n，通項為，1, 1,(1)n 1,;2,4,6,2n,2 3 42 J, , ,都是數(shù)列，其通項分別為1,( 1)n1,2n,U nn注：在數(shù)軸上，數(shù)列的每項都相應(yīng)有點對應(yīng)它。如果將Xn依次在數(shù)軸上描出點的位置，我們能否發(fā)現(xiàn)點的位置的變化趨勢呢？顯然，是無限接近于0的；2n是無限增大2 n的；(1)n1的項是在1與1兩點跳動的，不接近于某一常數(shù)；無限接近常數(shù)1。n對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中

44、無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài), 這就是常說的數(shù)列的極限問題。我們來觀察 從情況。從圖中不難發(fā)現(xiàn)隨著n的增大，無限制地接近1,亦即n充nn, ,n 1 ,、 一分大時,n-與1可以任意地接近，即n1可以任意地小，換言之，當n充分大時可以小于預(yù)先給定的無論多么小的正數(shù)0例如，取1_1_n 100從第101項開始，以后的項X101102，x102101103102都滿足不等式Xn 1100時,有1。同理，若取 100從第10001項開始，以后的項X1000110002, X10002100011000310002110000n 10000,都滿足不等式1,或說，當n 1000010000時,

45、有1一般地，不論給定的正數(shù) 多么小, 10000總存在一個正整數(shù)N ,當nN時，有這就充分體現(xiàn)了當n越來越大時，無 n限接近這一事實。這個數(shù)”1”稱為當n時,成立,這是就稱常數(shù)a是數(shù)列Xn的極限，或稱數(shù)列 Xn收斂于a ,記為lim xna ,n或Xn a（n ）0如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)放的。3 4 n 1【例】證明數(shù)列2,3,4,口2 3 n收斂于1。證明：對 0,要使得1 ，只須n二，所以取N nN時，有定義:若對 0 （不論 多么?。?自然數(shù)N 0,使得當n N時都有xn a盡管 具有任意性,注：是衡量*0與2接接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。然而,但一經(jīng)給出，就應(yīng)視

46、為不變。（另外，具有任不那么2,2 , 2等也具有任意性，它們也可代替 ）2: N是隨 的變小而變大的，是 的函數(shù)，即N是依賴于 的。在解題中,不大，重要的是它的存在性，只要存在一個 N ,使得當nN時，有xnN等于多少關(guān)系a 就行了，而不必求最小的N 。22Ml 證明 lim -a1 on n明：對 0,因為（此處不妨設(shè)0,所以要使得,n2 a2n，因為22,n a /1n顯然有l(wèi)im n2, 只須-n2即有n -所以取N25當n、n2 a2n就行了。2an( n2 a2 n)1)N時，因為有造：有時找N比較困難，這時我們可把Xn2 n limn1。a適當?shù)刈冃?、放?千萬不可縮小！)，若放

47、大后小于,那么必有xn a【例】設(shè)q 1,證明1,q,q2, ,qn 1的極限為0,即lim qn 10on證明：為0,結(jié)論是顯然的，現(xiàn)設(shè)0 q 1,對0,(因為 越小越好，不妨設(shè) 1),要使得qn1 0 ，即qn1,只須兩邊放對數(shù)后，(n 1) ln q ln成立就行了。因為0 q 1,所以ln q 0 ,所以n 1lnln qlnln q取n 1 L ,所以當n N時，有qn1 0 成立。 ln q收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：定理：(唯一性)數(shù)列Xn不能收斂于兩個不同的極限。證明：談和b為Xn的任意兩個極限，下證a b o由極限的定義，對 0,必分別 自然數(shù)N1,N2,當n N1時，有xn a (1)當n 心時，有 b 令N MaxNhN2，當n N時，(1), (2)同時成立。現(xiàn)考慮：a b (Xn b) (Xn a) Xn b Xn a2由于a,b均為常數(shù) a b,所以Xn的極限只能有一個。注：本定理的證明方法很多，書上的證明自己看?！纠孔C明數(shù)列Xn(1)n1是發(fā)散的證明(反證法)假設(shè)Xn收斂，由唯一性,設(shè)lim Xna ,按定義，對n1-,自然數(shù)N