學而思小升初培優(yōu)六：數(shù)論綜合-學生版

1、小洲初格然g：毅粉徐合1加工某種機器零件,要經(jīng)過三道工序,第一道工序每名工人每小時可完成6個零件,第二道 工序每名工人每小時可完成10個零件,第三道工序每名工人每小時可完成15個零件.要使 加工生產均衡,三道工序最少共需要多少名工人？2甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90,乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105,甲、丙兩數(shù)的最小公倍 數(shù)是126,那么甲數(shù)是多少？枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對象分成若干種情況（分類），然后對各種情 況逐一討論，最終解決整個問題。運用枚舉法有時要進行恰當?shù)姆诸?，分類的原則是不重 不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有 按模的余數(shù)分類，按

2、奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等?！纠?】求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個數(shù)字的平方和?！痉治觥咳粩?shù)只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關量的范圍，以縮小討論 范圍，減少計算量。設這個三位數(shù)的百位、十位、個位的數(shù)字分別為X, y, z© 由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10,所以/ + V + z? «io。從而1 <x<3,0<y<3,0<z<3o所求三位數(shù)必在以下數(shù)中:100 101102103110 111 112120 121122130200 201 202211 212220221300 301 3

3、10不難驗證只有100,101兩個數(shù)符合要求.【例2】寫出12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。【分析】（法一）在尋找質數(shù)的過程中，我們可以看出100以內最多可以寫出7個連續(xù)的合 數(shù)：90, 91, 92, 93, 94, 95, 96。我們把篩選法繼續(xù)運用下去，把考查的 范圍擴大一些就行了 o用篩選法可以求得在113與127之間共有13個都是合數(shù)的連 續(xù)自然數(shù)：114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126.（法二）如果設這12個數(shù)分別是a, " + 1, ” + 2,，4 + 11,如果2能被2 到13中任意一

4、個數(shù)整除，那么a, 4 + 1, + 2,，“ + 11,能分別被2、3、 4,，13整除，所以，只要取“ =13!即可得到符合條件的12個數(shù)。（法三）上面的方法雖然巧妙，但是計算13!非常困難，所以應該選取折中的方法, 設這12個數(shù)分別是“-5, -4,，“ + 4, + 5, ” + 6。所以只要使。能被2 到6的所有整數(shù)整除，并且保證“-1和+ 1都是合數(shù)即可，通過試驗可得到 “ = 120即是符合條件的值。【例3】如圖，有三張卡片，在它們上面分別寫著“1“，”2“，“3"。從中抽出一張、兩張、 三張，按任意次序排起來，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請將其中 的素數(shù)都寫

5、出來。（素數(shù)即質數(shù)）【分析】因為這三個數(shù)字的和為6,能被3整除，所以用這三個數(shù)字任意排成的三位數(shù)都能被3整除，所以不可能是素數(shù)。再看兩張卡片的情形。因為1 + 2 = 3,根據(jù)同 樣的道理，用1, 2組成的兩位數(shù)也能被3整除，因此也不是素數(shù)。這樣剩下要討 論的兩位數(shù)只有13, 31, 23, 32這四個了。其中13, 31, 23都是素數(shù)。最后一 位數(shù)素數(shù)只有2, 3?！就卣咕毩暋俊⒑蚦都是兩位數(shù),a、b的個位分別是7和5 ,。的十位是1，如果它們滿 足等式"+c = 2OO5 ,則 a + + c =o代數(shù)表示法對于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常

6、有助于問題的 解決。這些常用的形式有：1. 十進制表示形式；N = qJ（T+ “。10° ；2. 二進制表示形式：N = q2” +4T2"t +為2。；3. 帶余形式：“ = 3 +，；（奇數(shù)可以表示為2 + 1,偶數(shù)表示為2，其中為整數(shù)）4. 標準分解式：XVf-rf ；5. 2的乘方與奇數(shù)之積式： =2力；（其中為奇數(shù)）。6. 最大公約數(shù)與系數(shù)之積式：加=力/，=而i ,其中（，,）=d ,（町, ） = 1。【例4】求一個四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字及后兩位數(shù)字分別相同，而該數(shù)本身等于一個整 數(shù)的平方.此文檔部分內容來源于網(wǎng)絡，如有侵權請告知刪除2本文檔可自行編輯和修改

7、內容，感謝您的支持【分析】設所求的四位數(shù)為X = 3貝IJx = 1000" + 100a + 10 + /)= U(100a+)，其中 0<t/<9, 0</7<9,可見平方數(shù)x被11整除，從而x被整除.因此，數(shù) 100。+ = 99 + (" +人)能被11整除，于是 +能被11整除.但Ov" + K18,以 a + b = .于是“ = l/x(9a + i),由此可知94 + 1是某個自然數(shù)的平方.對” =1, 2,，9逐一檢驗，易知僅“ =7時，9 + 1為平方數(shù)，故所求的四位數(shù)是 7744 = 882 o【拓展練習】一個兩位數(shù)，

8、其十位與個位上的數(shù)字交換以后，所得的兩位數(shù)比原來小27 , 則滿足條件的兩位數(shù)共有 個?！纠?】求一個最大的完全平方數(shù)，在劃掉它的最后兩位數(shù)后，仍得到一個完全平方(假 定劃掉的兩個數(shù)字中的一個非零)?！痉治觥吭O/滿足條件，令/ = 100,十人其中0<<100。于是>100,即210“ + 1。 因此 =/一100,/220 + 1 ,由此得2CS + 1V100,所以“44。經(jīng)驗算，僅當“ =4 時， =41滿足條件。若 >41則 2 - 40?N4224。2>100。因此，滿足條件的最 大的完全平方數(shù)為4=1681?！纠?】從自然數(shù)I, 2, 3,，1000中

9、，最多可取出多少個數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三 個數(shù)之和能被18整除？【分析】設。，c ,"是所取出的數(shù)中的任意4個數(shù)，則 + + c = 18/，“+ + ” = 1&?, 其中小，是自然數(shù)。于是<-4 = 18(?-)。上式說明所取出的數(shù)中任意2個數(shù) 之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設這個余數(shù)為廣， 則 ” =18%+> b = 18/?, + / , c = 18cj +r ,其中 , ，q 是整數(shù)。于是 a + + c = 18(q+A +cJ + 3/。因為 18l(a + b + c),所以 18l3r,即 6lr ,推知 =0

10、, 6, 12.因為 1000 = 55x18 + 10,所以，從1 , 2,，1000 中可取 6, 24, 42, ，996共56個數(shù)，它們中的任意3個數(shù)之和能被18整除?！纠?】如果(4 + 2)被5除余數(shù)為2, (3“-A)被5除所得的余數(shù)為3,求證：(“-/)能被5 整除。(。、都是自然數(shù))【分析】(法一)設"=52+2, 3“一 = 5/ + 4,解方程組、a+ 21)= 5k+ 23a = 5/ + 3*a = 得到b =10/ + 5k + 873+15*-5/7a* i 15/ 10k + 5 j 所以“一 =能被5整除。(法二)由題目條件2(3“-)-3(&quo

11、t; + 2)能被5整除，即3“-汕能被5整除，繼而得到九-3能被5整除,所以“-能被5整除?！就卣咕毩?如果(2,+ 3)是5的倍數(shù)，證明：%+%也是5的倍數(shù)。(。、b都是自然數(shù))【拓展練習2】如果(% + /?)是7的倍數(shù)，求證(a-。)也是7的倍數(shù)。(。、都是自然數(shù))【拓展練習3】如果“ + A + c是5的倍數(shù)，2，+初+ 4c也是5的倍數(shù)，求證c是5的倍數(shù)。(。、以，都是自然數(shù))【例8】有一個自然數(shù)，它除以15、17、19所得到的商(>1)與余數(shù)(>0)之和都相等，這 樣的數(shù)最小可能是多少。A +15 = aXu(= X a) => A = 15a + (X a)

12、= 14a + X【分析】a + 17=XgX b) n A = 17 + (X-) = 16 + XA + 19 = cX.(=X-c) = A = 19c + (X-c) = 18c + X14“ = 16/2 = 1&,=721 =” 至少為 72, A = 15a + X“ = 15x 72 + X. = 1080+ X.14a = 16 = l& = 63l = 至少為63, A = 17b +Xh =17x63+=1071 +X/, 14a = 16 = 18c = 561 c = c 至少為 56 , A = 19c + X,. = 19 x 56 + X, =

13、1054 + Xe 最小為1081o如何計算一個自然數(shù)的約數(shù)個數(shù)：a將該自然數(shù)用標準分解式表達：P；"PP；'b將該自然數(shù)的約數(shù)用標準分解式表達：p：, p?成，則 < q , b2 < a2 t;c對于任意的。可以取值0到這(q +1)個整數(shù)；d根據(jù)乘法原理不同的約數(shù)有( +1)(% +1). (4 +1)個。【例9】在1到600中，恰好有3個約數(shù)的數(shù)有幾個?【分析】3只能表示為(2 + 1),所以符合條件的數(shù)含有的不同質因數(shù)只有1個，且該質因數(shù) 有2個，注意到有3個約數(shù)的數(shù)一定是質數(shù)的完全平方，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23這9個

14、數(shù)的平方數(shù)在到600之間，共有9個符合要求?！就卣咕毩暋吭?到100中，恰好有6個約數(shù)的數(shù)有多少個？【例10】兩個自然數(shù)的平方差，則稱這個自然數(shù)為“智慧數(shù)”比如16 = 52-3、16就是一個“智慧數(shù)”.在自然數(shù)列中從1開始數(shù)起，試問第1990個“智慧數(shù)”是哪個 數(shù)？并請你說明理由。此文檔部分內容來源于網(wǎng)絡，如有侵權請告知刪除本文檔可自行編輯和修改內容，感謝您的支持3【分析】顯然1不是“智慧數(shù)”，而大于1的奇數(shù)殊+1=(工+爐-公，都是“智慧數(shù)”。4k =伏+1)2 - -1)2,可見大于4且能被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”而4不是“智 慧數(shù)”，由于丁-yW(x + y)(x-y)(其中x、yeN

15、),當x, '奇偶性相同時， (x + y)(x-y)被4整除。當一奇偶性相異時，(x + y)(x-y)為奇數(shù),所以形如 軟+2的數(shù)不是“智慧數(shù)”，在自然數(shù)列中前四個自然數(shù)中只有3是“智慧數(shù)”，此 后每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”，由于1989 = 3x663,所以2656 = 4 x 664是第 1990個“智慧數(shù)”?！就卣咕毩?】如果自然數(shù)使得2 +1和3 +1都恰好是平方數(shù)，試問5n + 3能否是一個素 數(shù)？【拓展練習2】將1表示成兩個自然數(shù)的倒數(shù)之和,有多少中表示方法？請給出所有的答案。 613, 假設n是自然數(shù)，”是2萬的正約數(shù).證明：2+"不是完全平方?！痉治觥?/p>

16、設2nH , k是正整數(shù)，如果1 +是整數(shù)x的平方，那么 二/=犬(/+4)= 2(二+呆)但這是不可能的，因為與2都是完全平方，而 由公公+ 2攵 (M +得出代+公不是平方數(shù)。14, 設正整數(shù)”不等于2、5、13。求證：2J-1、54-1、R/-1這三個數(shù)中至少有一個不是完全平方數(shù)?！痉治觥课?1、13J-1這三個數(shù)中至少有一個不是完全平方數(shù)即可.用反證法，設2,/-1 = 丁54 -1 = y2(2)13J-l = z2其中x、y、z是正整數(shù). 由式知，X是奇數(shù)，不妨設x = 2 -1。代入有gpd = 2n2 -2n + (4) 式說明”也是奇數(shù).于是由、知y、是偶數(shù)，設)，= 2p,

17、 z = 2g,代入、相減后除以4有2d =d-/=(,/ + )(,/-)。因勿是偶數(shù)，即是偶數(shù)，所以、q同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，從而。7 +和 夕-都是偶數(shù)，即%是4的倍數(shù)，因此"是偶數(shù).這與，/是奇數(shù)相矛盾，故命題 正確。15, 將95寫成若干個(至少兩個)連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種不同的寫法？給出全部可能的答案?！痉治觥吭O這個自然數(shù)可以表示為4個連續(xù)自然數(shù)和的形式，如果女是奇數(shù)，那么一定存在 中間數(shù)，即為，則這上個連續(xù)自然數(shù)的和為即，即為一個奇數(shù)和一個自然數(shù)的 乘積形式，如果上是偶數(shù)，那么存在兩個中間的數(shù)，即為夕，4+1,則這k個聯(lián)系 自然數(shù)的和為勺2夕+ 1), (24+ 1)是

18、奇數(shù)，A為偶數(shù)，所以g為整數(shù)，也是奇數(shù)與 一個自然數(shù)的乘積形式。95 = 5x19,其大于1的奇約數(shù)有5, 19, 95這三個，如 果有奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)相加：當=5時，p = 19,即5個連續(xù)的自然數(shù)，中間數(shù)為19,有17, 18, 19, 20, 21;當k = 19或95時，在在自然數(shù)范圍內沒有符合條件的連續(xù)數(shù)。如果有偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)相加：當=1時，2g + l=95,即2個自然數(shù)相加，中間兩個數(shù)中較小的數(shù)是47, 有47, 48；當：=5時，24+ 1-19,即10個自然數(shù)相加，中間兩數(shù)中較小的是9,有5,6,，14；當! = 19或95時，自然數(shù)范圍內不存在符合條件的連續(xù)數(shù)。所以符合條件的自然數(shù)一共有3種。1. 自然數(shù)的數(shù)字和用s()來表示°是否存在一個自然數(shù) 9