1.2反函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)ppt課件

1、交作業(yè)：交作業(yè)： P 15-16公共郵箱：公共郵箱：jiang_caida163密碼：密碼：jiangcaida()C ()x (sin )x (cos )x (log)ax (ln )x ()x 1()x ()xa ()xe (tan )x (sec )x (cot )x (csc )x (2 )x2(log) x ( )( )u xv x ( )( )u xv x ( )( )u xv x ( )Cf x ( )( )u xv x ( );Cfx ( ) ( )( ) ( );u x v xu x v x 2( ) ( )( ) ( )( ( )0).( )u x v xu x v xv

2、xvx 0()fx 000()()limxf xxf xx 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 0000()()()lim.hf xhf xfxh 0()fx 0()fx 000()()lim;xf xxf xx 000()()lim;xf xxf xx 000( )()limxxf xf xxx 000( )()limxxf xf xxx 第三節(jié)第三節(jié) 反函數(shù)的導數(shù)反函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則一、反函數(shù)的導數(shù)二、 復合函數(shù)的求導法則三、 小結(jié)一、反函數(shù)的導數(shù)一、反函數(shù)的導數(shù)定理定理 假設假設(1) 函數(shù)函數(shù) 在某區(qū)間在某區(qū)間 內(nèi)單調(diào)內(nèi)單調(diào);( )xy

3、 yI(2) 函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)可導且內(nèi)可導且( )xy yI( )0y 那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù) 在對應區(qū)間在對應區(qū)間 內(nèi)也可導內(nèi)也可導,( )yf x xI且有且有1( ).( )fxy 即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).證明證明于是有于是有所以所以給給 以增量以增量xx yxy 1lim0所以所以即即(0,)xxxxI 任取任取,xxI 由由 的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知( )yf x 0,y yx 因為因為 連續(xù)連續(xù), ( )f x0(0),yx 又知又知( )0,y ( )fx 1( )y 1( ).( )fxy 0limxyx 1,x

4、y 解解且且(sin )y 例例1 1 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù).arcsinyx sinxy 在在(,)2 2yI 內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導, 在在( 1,1)xI 內(nèi)有內(nèi)有(arcsin )x 1cos y 211sin y 21.1x 同理可得同理可得21(arccos ).1xx 21(arctan );1xx 21(cot ).1arcxx cos0,y 1(sin )y 4個公個公式式例例2 2解解特別地特別地(ln)x 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù).logayx 因為因為 在在 內(nèi)單調(diào)可導內(nèi)單調(diào)可導, yxa (,)yI 且且()ya 所以在所以在 內(nèi)有內(nèi)有(0,)xI (log

5、)ax 1lnyaa 1.lnxa 1()ya 1.x ln0,yaa 18個基本公式要熟練記住個基本公式要熟練記住!二、復合函數(shù)的求導法則二、復合函數(shù)的求導法則定理定理 假設假設(1) 函數(shù)函數(shù) 在點在點 可導可導;( )ux x(2) 在點在點 可導可導;( )yf u ( )ux 則復合函數(shù)則復合函數(shù) 在點在點 可導可導, 且其導數(shù)為且其導數(shù)為 ( )yfx xdydy dudxdu dx 復合函數(shù)對復合函數(shù)對x求導求導y=f(u)對中間對中間變量變量u求導求導中間變量中間變量u對對 x求導求導即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導,等于因變量對中等于因變量對中間變量求導間變量求導,

6、乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則鏈式法則)( ( ( )fx ( ( )( )fxx 注注: : ( ) ( ).與是不同的fxfx ( )( )fux ( ( ( )fx ( ( )( )fxx dydy dudxdu dx注注: : 復合函數(shù)求導的關鍵在于要正確地復合函數(shù)求導的關鍵在于要正確地設出設出“中間變量中間變量”: :1 1、分解復合函數(shù)：、分解復合函數(shù)：(1)(1)寫出運算順序；寫出運算順序；(2)(2)逆序從外到里分解。逆序從外到里分解。 221arcsinyx 如如：22,arcsin ,1 y u uv vw wx2 2、由外到里，一層一層地逐個

7、求導，不能、由外到里，一層一層地逐個求導，不能遺漏。公式可以推廣到任意有限個函數(shù)的復遺漏。公式可以推廣到任意有限個函數(shù)的復合。合。推廣推廣設設( ),( ),( ),yf uuvvx 則復合函數(shù)則復合函數(shù) ( )yfx 的導數(shù)為的導數(shù)為dydx解解例例3 3 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù).lnsinyx ln ,sin .yu uxdydx1cos xucossinxx cot x dy du dvdu dv dxdy dudu dx)()()(xvuf例例. .設設25(25) .dyyxdx ，求2552 (25) ,25.yxyu ux 解解可可看看成成由由復復合合而而成成的的 dydyd

8、udxdu dx 則420u x 2420(25)xx 454ux 2425(25)(25)dyxxdx 245(25)(4 )xx2420 (25)xx 252(25)(25)dyxxdx 這樣寫可以嗎：解解例例4 4 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù).210(1)yxdydx2910(1)2xx2920 (1) .x x 解解求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù).例例5 5222arcsin22xaxyaxa (0)a y 222221122xaxax 22.ax29210(1)(1)xx 222()(arcsin)22xaxaxa2222aax 解解 因為因為例例6 6 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù).23

9、1ln(2)2xyxx y所以所以y 213(2)1xxx 解解例例7 7 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù).1sinxye y 1sin11cos()xexx 1sin211cos.xexx 2111223(2)1xxx 1sin1(sin)xex 211ln(1)ln(2),23xx 例例8 求函數(shù)求函數(shù) )ln(221xxxeyx 的導數(shù)的導數(shù).解解 y )()()ln(xxxxxxexxxexx 1212112121222222121xxexxxexx )ln(21222ln(12)111(2)(22 )212xxexxxexxxxxx 綜合題綜合題(抽象函數(shù)的導數(shù)抽象函數(shù)的導數(shù))2(sin

10、)2sincosfxxx 例已知例已知)(uf可導可導, 求求)(cos)(sinxfxfy22 的導數(shù)的導數(shù).解解y )(cos)(sinsinxfxfx222 例已知例已知)(uf可導可導, 求求)()(sinxfxfy2 的導數(shù)的導數(shù).解解y ( )(sin )cos2f xfxx ( )(sin )2ln2( )f xfxfx 2(cos)2cos ( sin )fxxx 例已知例已知22323xxfxxfyarcsin)(),( , 求求.0 xdxdy解解y 2232332332323)()()()( xxxxxf223122323)()( xxxf0 xdydx 所以所以3232

11、()3232xxfxx 因為因為12( 1)4f 32 例例4知知)(0 xxyx, 求其導數(shù)求其導數(shù)解因為解因為xyx 所以所以1 (ln )xxxy 1ln(ln)xxex ()xx ln()xxe lnxxe 三、小結(jié)三、小結(jié)l反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則l復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則l（注意函數(shù)的復合過程（注意函數(shù)的復合過程,合理分解正合理分解正確使用鏈導法）確使用鏈導法）;已能求導的函數(shù)已能求導的函數(shù): :可分解成基本初等可分解成基本初等函數(shù)函數(shù), ,或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商差、積、商. .作業(yè)作業(yè): 3.2一、一、 填空題：填空題：

12、 1 1、 設設4)52( xy, ,則則y = =_._. 2 2、 設設xy2sin , ,則則y = =_._. 3 3、 設設)arctan(2xy , ,則則y = =_._. 4 4、 設設xycosln , ,則則y = =_._. 5 5、 設設xxy2tan10 ，則，則y = =_._. 6 6、 設設)(xf可導，且可導，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._. 練練 習習 題題二、二、 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)： 1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ； 3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ； 5 5、

13、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ； 7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. . 三、三、 設設)(xf，)(xg可導，且可導，且0)()(22 xgxf, ,求函數(shù)求函數(shù))()(22xgxfy 的導數(shù)的導數(shù) . . 四、四、設設)(xf在在0 x處可導，且處可導，且0) 0 ( f，0) 0 ( f, ,又又)(xF在在0 x 處可導，證明處可導，證明 )(xfF在在0 x 處也可導處也可導 . . 一一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxx