1.2.平面及其方程ppt課件

1、平面及其方程平面及其方程 平面和直線是最簡單和最基本的空間圖形。本平面和直線是最簡單和最基本的空間圖形。本節(jié)和下節(jié)我們將以向量作為工具討論平面和直線節(jié)和下節(jié)我們將以向量作為工具討論平面和直線的問題。介紹平面和直線的各種方程及線面關系、的問題。介紹平面和直線的各種方程及線面關系、線線關系。線線關系。 確定一個平面可以有多種不同的方式，但在解析確定一個平面可以有多種不同的方式，但在解析幾何中最基本的條件是：平面過一定點且與定向量幾何中最基本的條件是：平面過一定點且與定向量垂直。這主要是為了便于建立平面方程，同時我們垂直。這主要是為了便于建立平面方程，同時我們將會看到許多其它條件都可轉化為此。將會看

2、到許多其它條件都可轉化為此。先介紹平面的點法式方程先介紹平面的點法式方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量該平面的法線向量法線向量的特征：法線向量的特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量知知,CBAn ),(0000zyxM設平面上的任一點為設平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zy

3、x若取平面的另一法向量若取平面的另一法向量m此時由于此時由于nm/ CBAnm , 平面方程為平面方程為0)()()(000 zzCyyBxxA 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形例例 1 1 求求過過三三點點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程. 解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為

4、所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx一般地一般地過不共線的三點過不共線的三點),(1111zyxM),(2222zyxM),(3333zyxM的平面的法向量的平面的法向量3121MMMMn 131313121212zzyyxxzzyyxxkji 平面方程為平面方程為0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx三點式方程三點式方程例例 2 2 求求過過點點)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量

5、21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行

6、于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.例例 3 3 設設平平面面過過原原點點及及點點)2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設平面為設平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 4 4 設設平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0

7、(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設平面為設平面為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設方程得代入所設方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距例例 5 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而與三個坐標而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程. 設平面為設平面為, 1 czbyaxx

8、yzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為例例6求過點求過點)3 , 0 , 1(),2 , 1, 1(21 MM且平行于且平行于z 軸的平面方程軸的平面方程解一解一用點法式用點法式設所求平面的法向量為設所求平面的法向量為n那么那么knMMn ,21kjiMM 22

9、1100112 kjinji2 由點法式得，所求平面的方程為由點法式得，所求平面的方程為0)1(2)1( yx即即012 yx解二解二 用一般式用一般式因平面平行于因平面平行于 z 軸，故可設平面方程為軸，故可設平面方程為0 DByAx21,MM在平面上在平面上0 DBA0 DA解得解得DBDA2, 所求平面方程為所求平面方程為02 DDyDx即即012 yx由以上幾例可見，求平面方程的基本思路和由以上幾例可見，求平面方程的基本思路和基本步驟：兩定基本步驟：兩定定點，定向定點，定向定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為

10、兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例7 7 研究以下各組里兩平面的位置關系研究以下各組里兩平面的位置關系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 01

11、2)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.例例8一平面過點一平面過點)1, 3 , 0(),1 , 1, 1(21 MM且垂直于且垂直于平面平面01 zyx求其方程求其方程解解設所求平面的法向量為

12、設所求平面的法向量為 CBAn, 24 , 121 MM在所求平面上在所求平面上21MMn 024 CBA又所求平面與已知平面垂直又所求平面與已知平面垂直0 CBA解得解得BABC2,3 代入點法式方程并整理得代入點法式方程并整理得0332 zyx例例 9 9 設設),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一點，求外一點，求0P到平面的距離到平面的距離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的