線性代數(shù)試題與答案解析詳解

1、«線性代數(shù)A »試題(A卷)試卷類別：閉卷考試科目：線性代數(shù)姓名：考試時(shí)間：120分鐘 考試時(shí)間：學(xué)號(hào)：題號(hào)一一三四五六七總分得分閱卷人一.單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共30分)1 .設(shè)A經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)?B,則().(下面的r(A), r(B)分別表示矩陣 A,B的秩)。(A)r(A)r(B);(B)r(A) r(B);(C)r(A)r(B)；(D)無(wú)法判定r(A)與r(B)之間的關(guān)系。2 .設(shè)A為n (n 2)階方陣且|A| 0,則()。(A) A中有一一行元素全為零；(B)A有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例；(C) A中必有一行為其余行的線性組合；(D) A的任一行為其余行的

2、線性組合。3 .設(shè)A, B是n階矩陣(n 2), AB O,則下列結(jié)論一定正確的是：()(A) A O或 B O;(B) B的每個(gè)行向量都是齊次線性方程組AX =0的解.(C) BA 0;(D) R(A) R(B) n.4 .下列不是n維向量組1, 2,., s線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是()(A)存在一組不全為零的數(shù) k,k2, ks使得k 1 k2 2ks s O;(B)不存在一組不全為零的數(shù) k1,k2，, ks使得k1 1k2 2ks s O(C)1, 2,.的秩等于s；(D)1,2,.中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示5.設(shè)n階矩陣(n3)(A)1；(B)6.四階行列式a10b4a2

3、b30(A) a©2a3a4a30b1b2b3b4;b10a4若矩陣A的秩為n 1，則a必為(C)(D)的值等于(B)a©2a3a4bb2b3b4；(C)(a© bb)(a3a4 b3b4)；(D)(a2a3 b2b3)(a1a4 bh).7.設(shè)A為四階矩陣且|A|b，則A的伴隨矩陣一*A的行列式為(A) b;(B)b2；(C).3b ;(D)b48.設(shè)A為n階矩陣滿足A23AInO，I n為n階單位矩陣，則A(A) In；(B) A3In；(C) A 3In；(D)3A In9.設(shè)A, B是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是(A) A與B的秩相同;(B) A與

4、B的特征值相同;(C) A與B的特征矩陣相同;(D) A與B的行列式相同;1 3 2 9 3)。如果 |A| 1 ,則|B|O10.設(shè)A為n階矩陣,則A以0為特征值是A0的()。(A) 充分非必要條件;(B)必要非充分條件;(C) 既非充分又非必要條件;(D)充分必要條件;二.填空題(每小題3分,共18分)計(jì)算行列式2.3.4.二次型已知1則向量f (X1,X2, X3)(0,0,1)，X1X2X2X3X3X1對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為(事3,0),(1,1,1旌這組基下的坐標(biāo)為3 (孝，¥,0)是歐氏空間？3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,7415.已知矩陣A 471的特征值為13(二重)，2 12,則x

5、3均為3維列向量，記矩陣 A1, 2, 3 , B ( 123, 12 24 3三.2(8 分)A113120 , B032131 0 , 1AXB,求 X。四.（10分）設(shè)向量組1(1,1,2,3)T,2(1,1,1,4,3(1,3,3,5)T,4(4, 2,5,6) T ,5(3, 1, 5, 7)T。試求它的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。X1X2Px32五.（12分）討論線T方程組x1 px2*31解的情況，并在有無(wú)窮多解時(shí)求其解 。px1 x2*31124六.(14分)設(shè)A(2)、求正交矩陣T ,22 2 , (1)、求出A的所有特征值和特征向量;4 21使得

6、T 1AT為對(duì)角矩陣。七.(8分)對(duì)任意的矩陣 A,證明：(1) A AT為對(duì)稱矩陣,A AT為反對(duì)稱矩陣;(2) A可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。線性代數(shù)A»參考答案(A卷)、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共30分)12345678910BCDABDCCCD二、填空題（每小題3分，共18分）4、1,72,0 ；5解：因?yàn)榫仃?A的行列式不為零，則0_1 2口 212021212，0A可逆，因此X1A B.為了求A1B,可利用下列初等行變換的方法:271427 141010106分）27所以XA 1B14（8分）四.解:對(duì)向量組1011143111431132102262213

7、550113131567022621,2 ,3 ,4,5作如下的初等行變換可得:3, 4, 5）11143102121,2,3, 4,個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為5 分）1,2， 故1,2 , 3 , 4 , 5 一 28 分）2 12，413 2，52110 分）五解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換：解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換:(1)與增廣矩陣的秩均為(2)解.(3)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為故原方程組與下列方程組同解21p1230p11p32p002 pp24 2p1pp101 0,且(2(21pp)(pp)(p( 4分)1)1)2p0時(shí) , 即 p1,且 p2時(shí) ,

8、系數(shù)矩陣3, 此時(shí)方程組有唯一解.p1時(shí), 系 數(shù) 矩陣 的秩為1, 增 廣矩p2時(shí) , 此時(shí)方程組有無(wú)窮多組解秩為5 分）2, 此時(shí) 方程 組無(wú)6 分）8分）XiX31X2X31令X30,可得上述非齊次線性方程組的一個(gè)特解0(1, 1,0)T;它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組XiX2X3X300,_的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)兀素，令X31,可得1(wT為該齊次線性方程組的一個(gè)解,它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.此時(shí)原方程組的通解為ko o k 1,這里k0,K為任意常數(shù)（12 分）1 1) 由于 A 的特征多項(xiàng)式1I I A| 242 4一一一2一22（3）（6）21故A的特征值為 13 (二重特征值)，3

9、6。3分）42 4 X113 時(shí)，由（1I A）X O,即： 212 x242 4 X3基礎(chǔ)解系為1 1,2,0T, 2 1,0,1T ,故屬于特征值13的所有特征向量為k1 1 k2 2, k1,k2不全為零的任意常數(shù)。(6分)52 4 X13 6 時(shí)，由（3I A）X O ,即： 282 x2425 x300得基0礎(chǔ)解系為3 2,1,2T ,故屬于特征值26的所有特征向量為k3 3, k3為非零的任意常數(shù)。(2)(8 分)1,2,0T,3單位化得:2.5八,054.51512分)是一個(gè)正交矩陣，且七.證明：（1）因?yàn)椋ˋ為對(duì)稱矩陣。（2分）同理，因?yàn)椋ˋAT）TA AT為反對(duì)稱矩陣。2,5 .515 , 34 5 552 5 -15-柜1ATAT)TAT2-3工 323AT(AT)TAT,(1