超彈性不穩(wěn)定

1、超彈性材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問(wèn)題任九生國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10402018，10772104)； 上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目（Y0103）， 程昌鈞 上海大學(xué)力學(xué)系，上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200444摘要 超彈性材料是一類性能獨(dú)特、不可替代且有廣泛工程應(yīng)用的材料，對(duì)其獨(dú)特的材料不穩(wěn)定性問(wèn)題的研究極大地推動(dòng)了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)有限變形理論和超彈性理論的發(fā)展。本文綜述了超彈性材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問(wèn)題的研究成果和最新進(jìn)展，包括Rivlin立方塊問(wèn)題、薄壁球殼和薄壁圓筒的內(nèi)壓膨脹問(wèn)題、圓柱的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題、塊體的表面不穩(wěn)定性問(wèn)題、空穴的生成、增長(zhǎng)和閉合問(wèn)題等。闡述了這類材料中各類非線性不穩(wěn)定性問(wèn)題的特點(diǎn)

2、、問(wèn)題的求解、主要結(jié)果及今后進(jìn)一步的研究方向等。關(guān)鍵詞 超彈性材料，材料和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性，非線性，分叉1引言 超彈性材料指存在一個(gè)應(yīng)變能函數(shù)，應(yīng)力可從應(yīng)變能函數(shù)求偏導(dǎo)得到的材料，主要包括橡膠，合成彈性體，部分高分子聚合物和血管、肌肉、皮膚等生物軟組織為代表的部分生物材料13 。以橡膠材料為例，它們具有大變形和高彈性的獨(dú)特特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)，作為密封、振動(dòng)吸收或承受負(fù)荷的橡膠配件幾乎在國(guó)民經(jīng)濟(jì)各領(lǐng)域都有應(yīng)用，特別是近年來(lái)在航空航天等高科技領(lǐng)域中的應(yīng)用。“挑戰(zhàn)者”號(hào)航天飛機(jī)因“O”型橡膠密封圈的緣故造成的失事使人們認(rèn)識(shí)到材料力學(xué)及超彈性材料和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的重要性，因此這類材料受到人們的極大關(guān)注；“哥倫比亞”

3、號(hào)航天飛機(jī)的失事再一次昭示了材料問(wèn)題的重要性。超彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系完全由它們的應(yīng)變能函數(shù)給出，且其幾何特性大都是非線性大變形的，問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般是非線性微分方程的初邊值問(wèn)題，求解比較困難，大變形問(wèn)題的求解和材料應(yīng)變能函數(shù)的確定一起構(gòu)成超彈性材料的兩個(gè)核心問(wèn)題。 圖1橡膠彈性的八條鏈微觀模型4橡膠材料的微觀結(jié)構(gòu)是由長(zhǎng)長(zhǎng)的分子鏈通過(guò)化學(xué)鍵交結(jié)在一起（熱固性橡膠）或通過(guò)部分聚集的分子進(jìn)入微區(qū)來(lái)連接（熱塑性橡膠），在空間形成三維分子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，代表性的模型有線性高斯鏈模型、三條鏈模型、四條鏈模型和八條鏈模型（圖1）。這些分子在常溫下具有不同的自由結(jié)構(gòu)，像一藍(lán)子蛇，在外力拉伸作用下，卷曲的長(zhǎng)鏈可以逐

4、漸伸長(zhǎng)，在宏觀上表現(xiàn)為高達(dá)百分之幾百的大變形，且當(dāng)外力消失后，拉直的長(zhǎng)鏈可以在自身熱運(yùn)動(dòng)允許的范圍內(nèi)回縮到原來(lái)的自由狀態(tài)，這就是橡膠材料的高彈性45 。當(dāng)外載荷達(dá)到某一程度時(shí)，材料內(nèi)部可以突然出現(xiàn)局部化的損傷構(gòu)造，材料由穩(wěn)定的連續(xù)形變狀態(tài)突然過(guò)渡到另一狀態(tài)，在宏觀上可以表現(xiàn)為許多令人感興趣的特殊現(xiàn)象，如軟化，變形局部化，裂紋起裂、傳播和分叉，空洞的形成、擴(kuò)大和聯(lián)合等不穩(wěn)定現(xiàn)象610。超彈性材料因其獨(dú)特的大變形彈性變形特性使其穩(wěn)定性問(wèn)題更為奇妙，空穴的生成、結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問(wèn)題等正是材料本身的不穩(wěn)定性產(chǎn)生的1115；其中，材料從一個(gè)平衡狀態(tài)向另一個(gè)平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變的分叉現(xiàn)象尤其重要，分叉也正是我們敘述

5、超彈性材料和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性問(wèn)題的核心。另外，考慮到橡膠材料的物理性質(zhì)和力學(xué)性質(zhì)對(duì)溫度影響的敏感性，在一定環(huán)境下還必須考慮溫度場(chǎng)及溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的耦合作用對(duì)超彈性材料和結(jié)構(gòu)各類不穩(wěn)定性問(wèn)題的影響1617。本文在簡(jiǎn)要介紹連續(xù)介質(zhì)力學(xué)有限變形理論和超彈性本構(gòu)理論的基礎(chǔ)上，概述了超彈性材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問(wèn)題的研究進(jìn)展，主要包括Rivlin立方塊問(wèn)題、薄壁球殼和薄壁圓筒的內(nèi)壓膨脹問(wèn)題、圓柱的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題、塊體的表面不穩(wěn)定性問(wèn)題、空穴的生成、增長(zhǎng)和閉合問(wèn)題等問(wèn)題的特點(diǎn)、問(wèn)題的求解、主要結(jié)果及今后進(jìn)一步的研究方向。問(wèn)題的研究一方面可以豐富連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的大變形彈性理論，另一方面能夠?yàn)橄鹉z復(fù)合材料的工程應(yīng)用提供參考

6、，特別是關(guān)于橡膠材料的斷裂和疲勞壽命等方面。2問(wèn)題的基本方程 因超彈性材料的大變形特點(diǎn)，其變形或運(yùn)動(dòng)由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限變形幾何描述1819，需建立初始時(shí)刻的物質(zhì)坐標(biāo)和當(dāng)前時(shí)刻的空間坐標(biāo)，兩者之間存在一一對(duì)應(yīng)的可逆關(guān)系 （1）即材料的變形模式。相應(yīng)的變形梯度張量 （2）描述物體的變形信息，是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)有限變形幾何中一個(gè)重要的量，成立如下極分解 （3）式中，是正交張量，表示純轉(zhuǎn)動(dòng)；和是對(duì)稱的正定張量，表示局部伸長(zhǎng)變形，分別稱為右和左Cauchy-Green伸長(zhǎng)張量，它們具有相同的主值即三個(gè)主伸長(zhǎng)。但兩個(gè)伸長(zhǎng)張量是一個(gè)平方根張量，使用不方便，故引入相應(yīng)的右和左Cauchy-Green變形張量 （

7、4）這兩個(gè)變形張量具有三個(gè)相同的主值或三個(gè)相同的不變量 （5）如第三不變量，則稱材料為不可壓材料，否則稱為可壓材料。關(guān)于超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù)，已有各種各樣的形式2023，包括不可壓的或可壓的，各向同性的、橫觀各向同性的、各向異性的，小變形的或大變形的，等溫的或考慮溫度變化影響的，不考慮材料硬化效應(yīng)的或考慮材料硬化效應(yīng)的，微觀模型或連續(xù)介質(zhì)模型，以不變量形式表示的或以主伸長(zhǎng)形式表示的等。如最常用的有不可壓neo-Hookean材料 （6）式中，材料常數(shù)為小變形時(shí)材料的剪切模量。不可壓Mooney-Rivlin材料 （7） 式中，為材料常數(shù)。不可壓Ogden材料 （8）式中，為材料常數(shù)。材料的應(yīng)

8、力狀態(tài)由作用于物體已變形構(gòu)形上的Cauchy應(yīng)力張量，“虛擬”的作用在物體初始構(gòu)形上的第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量或第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量描述。它們分別滿足各自的運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件，并由應(yīng)變能函數(shù)確定。以Cauchy應(yīng)力張量為例，滿足運(yùn)動(dòng)方程 （9）且應(yīng)力張量由下式確定 （10）以變形不變量形式表示的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 （11）式中，。對(duì)于不可壓超彈性材料，相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 （12）式中，為非確定的靜水壓力，是作為約束應(yīng)力引入的，是超彈性材料受到不可壓條件的約束限制時(shí)對(duì)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的修正。三類應(yīng)力張量之間具有如下關(guān)系 （13）3 Rivlin立方塊問(wèn)題受到突

9、然施加的、面內(nèi)均勻分布、三個(gè)方向大小相等的拉伸死載荷作用的不可壓neo-Hookean材料立方塊，當(dāng)荷載較小時(shí)，平衡狀態(tài)是唯一的，即立方塊保持不變形；但當(dāng)載荷達(dá)到某一臨界值時(shí)，除不變形的平凡解外還有六個(gè)分叉解存在，且分叉解是穩(wěn)定的，即立方塊不再保持均勻變形，而是在三個(gè)方向發(fā)生了大小不一的非對(duì)稱變形。這類在對(duì)稱載荷作用下產(chǎn)生了非對(duì)稱變形的分叉問(wèn)題稱為Rivlin非對(duì)稱分叉問(wèn)題。關(guān)于問(wèn)題的求解，Rivlin2425從最小勢(shì)能原理出發(fā)，構(gòu)造結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能，然后通過(guò)變分方法找到了問(wèn)題的解析解。三個(gè)方向均受拉伸死載荷作用的立方塊的總勢(shì)能為 （14）可由變分找到問(wèn)題的解，由的符號(hào)判定解的穩(wěn)定性。當(dāng)時(shí)，問(wèn)題只

10、要一個(gè)平凡解；但當(dāng)時(shí)，問(wèn)題除平凡解外還有六個(gè)解 （15）Rivlin立方塊問(wèn)題在平面應(yīng)力狀態(tài)下就是方板的拉伸失穩(wěn)問(wèn)題2628。Kearsley26分析了受均布拉伸死荷作用的Mooney-Rivlin材料方板，在面內(nèi)各邊完全相同的拉伸載荷作用下，當(dāng)載荷較小時(shí)，問(wèn)題只有平凡解，相應(yīng)的平衡狀態(tài)是唯一的，即方板在面內(nèi)兩個(gè)方向的伸展大小相等；但當(dāng)載荷達(dá)到某一臨界值時(shí)，除對(duì)稱性的伸展外，方板會(huì)產(chǎn)生非對(duì)稱的伸長(zhǎng)變形，在面內(nèi)兩個(gè)方向的伸展大小不再相等，且它是穩(wěn)定的。另外，非對(duì)稱分叉問(wèn)題在實(shí)驗(yàn)上也得到了證實(shí)。Trelor29于1948年在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)四邊受相同的拉力作用的方形超彈性薄板有三個(gè)平衡狀態(tài)，其中有兩個(gè)是

11、非對(duì)稱的。雙向等拉伸方板的變形控制方程為 （16）當(dāng)時(shí)（取定材料常數(shù)），方板僅產(chǎn)生對(duì)稱的變形；當(dāng)時(shí)，方板產(chǎn)生非對(duì)稱的變形。不可壓Mooney-Rivlin材料方板的分叉曲線如圖2所示30。圖2 方板的分叉曲線 圖3氣球的膨脹曲線4 薄壁球殼和薄壁圓筒的內(nèi)壓膨脹問(wèn)題對(duì)于受均布內(nèi)壓作用的不可壓超彈性薄壁球殼，當(dāng)內(nèi)壓較小時(shí)，球殼保持原來(lái)的形狀，發(fā)生對(duì)稱的均勻膨脹變形；但當(dāng)內(nèi)壓大于某一臨界值時(shí)，球殼產(chǎn)生復(fù)雜的非對(duì)稱變形，其中一部分膨脹變形很大，而另外部分僅僅是輕微膨脹，且球殼的形狀逐漸遠(yuǎn)離球形 3133。如對(duì)變形前半徑為，厚度為的Gent材料氣球在膨脹壓力作用下的變形問(wèn)題，可根據(jù)能量守恒定理得到其變形

12、與壓力間的關(guān)系為 (17)表示氣球的變形，材料常數(shù) 。氣球的變形曲線如圖3所示，可見(jiàn)存在一個(gè)膨脹壓力的局部極大值，當(dāng)壓力小于這個(gè)極大值時(shí)，隨著變形的增加，壓力迅速地增加，且氣球有一個(gè)穩(wěn)定的變形并且大致呈球形；但當(dāng)壓力大于這個(gè)極大值時(shí)，隨著變形的增加，壓力反而減小，氣球的變形變得不穩(wěn)定，微幅膨脹后的氣球有一個(gè)復(fù)雜的變形，其一部分只被輕微的拉伸而其他部分卻被高強(qiáng)度拉伸，所以明顯地遠(yuǎn)離球形而變得不規(guī)則；最后，當(dāng)壓力大于壓力的局部極小值時(shí)，隨著變形的增加，壓力持續(xù)地增加，氣球的變形又成為穩(wěn)定的變形，并恢復(fù)了球形。典型的氣球膨脹實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是基本如此。對(duì)于受均布內(nèi)壓作用的不可壓超彈性薄壁圓筒，當(dāng)內(nèi)壓較小時(shí)

13、，圓筒發(fā)生穩(wěn)定的均勻膨脹變形；當(dāng)內(nèi)壓大于某一臨界值時(shí)，圓筒產(chǎn)生復(fù)雜的非均勻變形，其中一段膨脹變形很大，形如“燈泡”狀，而另外部分僅僅是輕微膨脹3435，生物血管中形成的血管瘤就是一個(gè)典型的代表例子，如圖4所示。 圖4 血管瘤示意圖對(duì)不可壓材料薄壁球殼或薄壁圓筒，總是可以借助于不可壓條件得到變形模式函數(shù)，得到積分形式的壓力和變形之間的關(guān)系式3640。如對(duì)內(nèi)、外半徑分別為和，且受到內(nèi)壓作用的廣義不可壓Ogden熱彈性材料 為材料常數(shù)，為溫度場(chǎng)，為給定的參考溫度的薄壁圓筒，有 （18）由上式得到相應(yīng)的變形曲線，對(duì)等溫條件下壁厚（內(nèi)外半徑之比）為的圓筒在不同軸向拉伸情況下的變形曲線如圖5所示35。結(jié)合

14、圓筒的能量比較曲線圖6可知，當(dāng)內(nèi)壓小于某一局部極大值時(shí)，圓筒隨著內(nèi)壓的增加而均勻膨脹；當(dāng)內(nèi)壓大于極大值時(shí)，圓筒產(chǎn)生復(fù)雜的不穩(wěn)定的非均勻變形；當(dāng)圓筒的變形大于某一局部極小值時(shí)，圓筒會(huì)達(dá)到第二個(gè)穩(wěn)定的變形狀態(tài)。 圖5 薄壁圓筒的變形曲線 圖6 薄壁圓筒的能量曲線但對(duì)壁厚較厚的球殼或圓筒，則不存在不穩(wěn)定的變形狀態(tài)，內(nèi)壓總是隨著球殼或圓筒變形的增加而增加，即變形曲線是單調(diào)的，而不穩(wěn)定變形曲線則是非單調(diào)的。由此可得圓筒可以發(fā)生不穩(wěn)定變形的臨界壁厚條件（如對(duì)圓筒） （19）圓筒的臨界壁厚值隨著軸向伸長(zhǎng)的增加而增加，如時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，。當(dāng)圓筒的壁厚小于這個(gè)臨界壁厚時(shí)，圓筒中可以產(chǎn)生不穩(wěn)定的變形；但圓筒的壁厚

15、大于臨界壁厚時(shí)，圓筒的變形則總是穩(wěn)定的；軸向伸長(zhǎng)的增加可提高發(fā)生不穩(wěn)定變形的圓筒的壁厚。5 圓柱的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題對(duì)于受軸向拉伸和強(qiáng)扭轉(zhuǎn)作用的不可壓超彈性圓柱體，當(dāng)外加扭矩較小時(shí)，圓柱體發(fā)生均勻的扭轉(zhuǎn)變形；當(dāng)其受到足夠大的扭轉(zhuǎn)作用時(shí)，柱體產(chǎn)生復(fù)雜的非對(duì)稱變形，柱體轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)的一圈會(huì)被釋放，在柱體內(nèi)某一點(diǎn)會(huì)突然生成一個(gè)“結(jié)”4142，如圖7所示42。問(wèn)題的求解是從最小勢(shì)能原理出發(fā)，構(gòu)造結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能，然后通過(guò)變分找到了問(wèn)題的解。如受扭不可壓Mooney-Rivlin超彈性材料圓柱的總勢(shì)能為41 (20)式中，為柱體單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，為柱體的軸向伸長(zhǎng)率。由可得扭轉(zhuǎn)的臨界值 (21)由上式所得扭轉(zhuǎn)的臨界值如圖8

16、所示，可見(jiàn)扭轉(zhuǎn)的臨界值隨柱體伸長(zhǎng)率的增加而增加。且當(dāng)，柱體中的“結(jié)”形成時(shí)，外加扭矩和軸向拉力會(huì)發(fā)生不連續(xù)的跳躍，柱體中的應(yīng)力也會(huì)發(fā)生不連續(xù)的跳躍。 圖7 受扭圓柱的變形 圖8 曲線6塊體的表面不穩(wěn)定性問(wèn)題受表面壓縮作用的不可壓neo-Hookean材料半空間體，當(dāng)表面壓縮作用達(dá)到其臨界狀態(tài)時(shí)，半空間體表面會(huì)變得不穩(wěn)定，表面上會(huì)突然出現(xiàn)各種各樣的折疊和起皺現(xiàn)象4344，預(yù)示著強(qiáng)烈的應(yīng)力集中和材料可能的提前破壞。另外，對(duì)于受彎的不可壓neo-Hookean材料塊體，其內(nèi)表面會(huì)處于表面受壓狀態(tài)，從而當(dāng)達(dá)到其臨界狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)表面不穩(wěn)定現(xiàn)象4546。Gent47 在對(duì)受彎塊體的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)其內(nèi)表面會(huì)突然出

17、現(xiàn)很強(qiáng)的折疊和起皺現(xiàn)象。實(shí)際結(jié)構(gòu)中，輪胎經(jīng)常處于強(qiáng)烈的彎曲狀態(tài)，其內(nèi)表面會(huì)出現(xiàn)折疊和起皺現(xiàn)象。受壓不可壓neo-Hookean材料塊體表面產(chǎn)生表面不穩(wěn)定現(xiàn)象時(shí)，面內(nèi)兩個(gè)主伸長(zhǎng)滿足方程43 （22）式中，。如塊體除受壓方向外的兩個(gè)方向都能自由擴(kuò)張，則表面不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生時(shí)的；如塊體受壓表面的另一方向固定（即），則；如塊體雙向受壓，則。7空穴的生成和增長(zhǎng)問(wèn)題深海油井鉆探中當(dāng)壓力從一個(gè)高壓力值突然下降時(shí)會(huì)引起橡膠密封件的爆炸性解壓破壞的發(fā)生，由此材料中的空穴的生成問(wèn)題被重視?？昭ǖ姆植鎲?wèn)題有從實(shí)心固體中突然生成空穴和預(yù)存空穴的突然增長(zhǎng)兩種解釋4850。對(duì)受均勻分布的法向拉伸荷載作用的超彈性體，除有一個(gè)

18、均勻變形的平凡解外，當(dāng)外載荷達(dá)到其臨界值時(shí)，問(wèn)題存在分叉解，即物體中有空穴突然生成。早在1958年，Gent與Lindley51在對(duì)橡膠圓柱的側(cè)面徑向拉伸試驗(yàn)中就觀察到柱體軸線上的空穴的生成和貫通；1965年Williams和Schapery52對(duì)橡膠球體的拉伸實(shí)驗(yàn)中也觀察到類似的現(xiàn)象。1982年，Ball48應(yīng)用非線性彈性理論解決了當(dāng)外加載荷達(dá)到其臨界值時(shí)各向同性不可壓超彈性材料球體和柱體中的空穴生成現(xiàn)象，并將其歸結(jié)為非線性分叉問(wèn)題，并提出了超彈性材料中空穴生成的基本理論。另外，當(dāng)荷載接近空穴生成的臨界值時(shí)，超彈性物體中的預(yù)存微孔會(huì)突然得到快速的增長(zhǎng)，Horgan和Aberaratne49、

19、Sivaloganathan50研究了不可壓超彈性材料中預(yù)存微孔的突然增長(zhǎng)問(wèn)題，也將其解釋為一類分叉問(wèn)題。關(guān)于不可壓和可壓超彈性材料中的空穴生成和突然增長(zhǎng)的分叉問(wèn)題的進(jìn)展，可見(jiàn)Horgan和Polignone53，Gent54，Horgan55的綜述。對(duì)不可壓材料而言，由不可壓條件可得到變形模式函數(shù)，應(yīng)用逆解法或半逆解法可以得到問(wèn)題的解，目前已經(jīng)討論了各向異性、非均質(zhì)、非對(duì)稱情況下的分叉問(wèn)題5657。不可壓材料球體中空穴半徑和外加壓力之間的關(guān)系式如下58 (23)式中，為球體的半徑。對(duì)給定的壓力，如果上式有根，就意味著有空穴生成，此時(shí)的臨界壓力為 （24）如材料的應(yīng)變能函數(shù)表示為，則該應(yīng)變能函

20、數(shù)能夠描述空穴生成問(wèn)題的條件是。而關(guān)于可壓縮材料要求解二階微分方程，問(wèn)題的解法通常采用兩類換元降階積分方法55，一類是；另一類是。目前，僅對(duì)Blatz-Ko材料、廣義Blatz-Ko材料和廣義Varga材料等為數(shù)不多的幾種材料的軸對(duì)稱和球?qū)ΨQ問(wèn)題有封閉解析解，其他情況下只有打靶法等數(shù)值解。關(guān)于均勻材料，空穴生成的分叉曲線均為右分叉；關(guān)于橫觀各向同性材料，空穴生成時(shí)的臨界壓力隨材料各向異性程度的增加而增大；且當(dāng)其各向異性參數(shù)較小時(shí)，也為右分叉曲線，但當(dāng)各向異性參數(shù)大于某一臨界值時(shí)，存在左分叉曲線5960；如對(duì)徑向橫觀各向同性的Ogden材料球體，其應(yīng)變能函數(shù)為 （25）式中，表示材料各向異性的程

21、度，時(shí)材料為各向同性的；能夠發(fā)生左分叉的各向異性程度的臨界值為。關(guān)于由兩種材料組合而成的非均質(zhì)材料，當(dāng)外部材料強(qiáng)于內(nèi)部材料時(shí)，存在右分叉曲線，但當(dāng)外部材料弱于內(nèi)部材料時(shí)，有可能存在左分叉曲線6162。兩種不可壓Valanis-Landel材料組合圓柱體中的空穴生成的分叉曲線如圖9圖10所示62。關(guān)于溫度的影響，空穴生成時(shí)的臨界壓力隨材料溫度的降低而增大，隨材料溫度的升高而減?。辉诰鶆驕囟葓?chǎng)的情況下，不論溫度升高或降低，均為右分叉曲線；在非均勻溫度場(chǎng)的情況下，溫度降低時(shí)為右分叉曲線，但溫度升高時(shí)為左分叉曲線6364。另外，通過(guò)能量比較可以看到，右分叉曲線總是穩(wěn)定的，即右分叉發(fā)生時(shí)，材料中的空穴是

22、從零開(kāi)始生成的；左分叉曲線在曲線的拐點(diǎn)前是不穩(wěn)定的，僅在拐點(diǎn)后才是穩(wěn)定的，因此左分叉發(fā)生時(shí)，材料中的空穴是以一個(gè)有限的大小突然生成的，即左分叉是一個(gè)跳躍性的分叉。 空穴生成前材料中的應(yīng)力分布是均勻的，但空穴生成后材料中應(yīng)力分布發(fā)生顯著的變化；且不論是右分叉還是左分叉，空穴生成時(shí)空穴邊緣均存在明顯的應(yīng)力集中和應(yīng)力間斷現(xiàn)象6566。對(duì)不可壓材料，空穴生成時(shí)其環(huán)向應(yīng)力在其表面處可達(dá)無(wú)窮大，但對(duì)可壓材料，空穴生成時(shí)其環(huán)向應(yīng)力在其表面處是一個(gè)有限的值。不可壓材料中空穴生成時(shí)空穴邊緣的應(yīng)力間斷現(xiàn)象示意于圖11，可壓材料中空穴生成時(shí)空穴邊緣的應(yīng)力間斷現(xiàn)象類似，只是環(huán)向應(yīng)力是一個(gè)有限的值。 相應(yīng)于空穴的突然生

23、成的右分叉情況，當(dāng)外加載荷較小時(shí)，材料中預(yù)存空穴緩慢增長(zhǎng)或幾乎保持不變，而當(dāng)外加載荷接近于其臨界值時(shí)，材料中預(yù)存空穴突然會(huì)產(chǎn)生快速的增長(zhǎng)；相應(yīng)于左分叉情況，當(dāng)外加載荷接近于其臨界值時(shí)，材料中預(yù)存空穴突然會(huì)產(chǎn)生更快的跳躍性的增長(zhǎng)67。兩種不可壓Valanis-Landel材料組合圓柱體中的空穴增長(zhǎng)的分叉曲線如圖9圖10所示62，材料中空穴生成的分叉曲線可以看作空穴增長(zhǎng)曲線的極限。 圖9空穴的右分叉曲線 圖10空穴的左分叉曲線圖11空穴邊緣應(yīng)力間斷示意 圖12 相圖關(guān)于不可壓超彈性材料受到表面突加的均布拉伸載荷作用時(shí)空穴的動(dòng)態(tài)生成問(wèn)題，利用材料的不可壓條件，可以得到空穴半徑和外加荷載之間的二階非線

24、性常微分方程，應(yīng)用換元法將其降階可得到問(wèn)題的解。對(duì)于不可壓超材料球體或圓柱體，不論外加載荷大小，問(wèn)題總存在一個(gè)平凡解；當(dāng)外加載荷達(dá)到其臨界值時(shí)，材料中有空穴突然生成，利用動(dòng)力學(xué)規(guī)律對(duì)其相圖進(jìn)行分析，可證明生成后的空穴會(huì)產(chǎn)生周期性的非線性振動(dòng)6869。對(duì)于均勻材料，空穴的振動(dòng)會(huì)縮小到零，但對(duì)于非均勻材料和橫觀各向同性材料，空穴的振動(dòng)在某些情況下縮小到零，而某些情況下只能縮小到一個(gè)有限的值70。振動(dòng)的相圖圖12和圖13可說(shuō)明這一點(diǎn)。 圖13相圖 圖14空穴閉合的分叉曲線 8空穴的閉合問(wèn)題作為空穴生成和突然增長(zhǎng)問(wèn)題的補(bǔ)充是空穴的閉合問(wèn)題，當(dāng)含有空穴的物體受到足夠大的壓力作用時(shí)，空穴會(huì)突然塌陷或閉合。

25、一個(gè)受均布徑向壓力作用的、中心含有一個(gè)空穴的不可壓超彈性球體，對(duì)任何壓力，相應(yīng)于球體保持均布應(yīng)力和空穴保持張開(kāi)狀態(tài)的平凡解是存在的；當(dāng)壓力足夠大時(shí)，存在相應(yīng)于空穴塌陷的分叉解71，此時(shí)，空穴突然塌陷，并迅速完全閉合?？昭ò霃胶屯饧訅毫χg精確的關(guān)系式如下 (20)式中，為球殼的外半徑，為球殼的內(nèi)半徑。對(duì)給定的壓力，如果上式有根，就意味著球殼中的空穴塌陷了，此時(shí)的臨界壓力為 （21）如材料的應(yīng)變能函數(shù)表示為，則該應(yīng)變能函數(shù)能夠描述空穴塌陷問(wèn)題的條件是。不可壓冪形式的超彈性材料中空穴塌陷的分叉曲線如圖14所示。9結(jié)語(yǔ)橡膠材料的高彈性奠定了它在工程和制品中不可取代的位置，橋梁的橡膠支座、直升機(jī)槳葉的

26、橡膠彈簧、建筑物的橡膠支撐體均可簡(jiǎn)單巧妙地解決工程中的問(wèn)題，以橡膠材料為代表的超彈性材料在國(guó)民經(jīng)濟(jì)各領(lǐng)域中得到日益廣泛的應(yīng)用，2004年我國(guó)已成為世界第一耗膠大國(guó)，加強(qiáng)對(duì)此類材料和結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性等問(wèn)題的研究的重要性是不言而喻的，美國(guó)“挑戰(zhàn)者號(hào)”航天飛機(jī)因O型橡膠密封圈的緣故造成的失敗充分說(shuō)明了這一點(diǎn)。我國(guó)的橡膠工業(yè)在快速發(fā)展，橡膠制品在不斷升級(jí)換代，高新技術(shù)用精細(xì)橡膠制品不斷涌現(xiàn)。今后，需要加強(qiáng)對(duì)纖維加強(qiáng)的或顆粒填充的橡膠復(fù)合材料的研究，其特征是各向異性大變形，研究的核心仍然是應(yīng)變能函數(shù)的構(gòu)造和大變形問(wèn)題的求解。單向纖維加強(qiáng)橡膠復(fù)合材料為橫觀各向同性的，其應(yīng)變能函數(shù)可表示為應(yīng)變張量的五個(gè)不變量的

27、函數(shù)。兩個(gè)方向纖維加強(qiáng)的橡膠復(fù)合材料的應(yīng)變能函數(shù)可表示為應(yīng)變張量的八個(gè)不變量的函數(shù)。各種具體形式的應(yīng)變能函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用有待進(jìn)一步分析，其各類穩(wěn)定性問(wèn)題的分析會(huì)更復(fù)雜一些。加強(qiáng)對(duì)有特殊性能有特殊用途的特殊橡膠材料的研究也是必要的，如對(duì)火箭發(fā)射中耐燒蝕的硅橡膠膩?zhàn)雍惋w行器中即耐熱有耐寒的硅橡膠電線電纜的研究，對(duì)金屬橡膠材料的研究。對(duì)可壓超彈性材料而言，不像不可壓材料那樣可以用逆解法或半逆解法得到問(wèn)題的解，相應(yīng)問(wèn)題的求解要難得多，其各類穩(wěn)定性問(wèn)題的進(jìn)展相對(duì)緩慢，尋求各類解法，包括數(shù)值解法來(lái)解決各類穩(wěn)定性問(wèn)題是需要的。另外要充分考慮溫度對(duì)橡膠材料力學(xué)性能的影響，包括材料應(yīng)變能函數(shù)的構(gòu)造中如何考慮溫度

28、項(xiàng)及溫度和力的耦合項(xiàng)，溫度的升高或降低對(duì)各類不穩(wěn)定性問(wèn)題的影響。參 考 文 獻(xiàn)1 Beatty M.F. Topics in finite elasticity. Applied Mechanics Review, 1987, 40:1699-17342 Fu Y.B., Ogden R.W. Nonlinear Elasticity. New York: Cambridge University Press, 20013 愛(ài)林根.連續(xù)統(tǒng)力學(xué)，程昌鈞，俞煥然譯.北京：科學(xué)出版社，19904 Elias Zuniga A. A non-Gaussian network model for rub

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