選修2-1空間向量知識點歸納總結(jié)

1、第三章空間向量與立體幾何1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2. 空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）oB oA aB a b ； bA oA oB運算律：加法交換律：abba加法結(jié)合律：（a b） c a （b c）數(shù)乘分配律：（a b） a b3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作ab。當我們說向量a、b共線

2、（或abababbOab a b共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量a, b不共線，p與向量a, b共面的條件i是存在實數(shù)x, y使p xj yb。5.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量t, 存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z，使p xj yb zC。若三向量a,b,c不共面，我們把a,b,C叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向 量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。p，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x, y, z，使Op xoA yoB zOC6.空

3、間兩向量的夾角：已知兩個非零向量，在空間任取一點0,作-'，。"居(兩個向量的起點一定要相同)，則叫做向量a與的夾角，記作平移前00°<90°9尸町&吒18尸6-180°推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點7. 空間向量的直角坐標系：(1)空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系 0 xyz中，對空間任一點 A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)，使OA xi yi zk，有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標系 0 xyz中的坐標，記作A(x, y, z)， x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。(2)

4、右手直角坐標系：右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向;(3) 若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底，用j,k表示。若Jr a空間向量的直角坐標運算律：總勵，b (bi.b2.b3)，貝UJrb Jiba2a3bba1a2kbbJra(ai, a2, a3)(R),Jrb L»ra4bJf aba1al3 a b22 aD2a25a33-a 一 b2-a 一 b a1一 d 或JraLiba2若A(%, %,乙),B(X2,y2, Z2),則aB(X2Xi, y2yi,Z2 zi)。一個向

5、量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐 標減去起點的坐標(5)模長公式：若(8283) , b (bbb),Jra722 a2a32(6)夾角公式:Jlas o ca-ib-ia2b2a3b3o(7)兩點間的距離公式：若 A(x-i, y1,z-i) , B(x2,y2,z2),、(X2 x-)2 (y2 y-)2 (Z2 z-)2 ,或 dA,B x (X2 G2 (y2 y-)2 (Z2 乙)2(8 )空間線段 P1(x1, y.|, z,), P2(x2,y2,z2)的中點 M (x, y, z)的 坐標：XiX2yiy22ZiZ22(9)球面方程：x2 y2 z2

6、R28. 空間向量的數(shù)量積。(1) 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量在空間任取一點O，作 oA a,OB b，則AOB叫做向量a與的夾角，記作；且規(guī)定0 a,b ，顯然有a,bb,a ；若a,b，則稱a與b互相垂直，2記作：a b。III(2)向量的模：設(shè)oA a，則有向線段oA的長度叫做向量a的長度或模,記作：|耳|。(3)向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則|扌| | b | cos icosgb。b叫做a,b的數(shù)量積，記作a b，即b(4) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì):| a | cos(5) 空間向量數(shù)量積運算律: （0）b （昌 b）（b）。 a b ba a （b C）abac （分配

7、律）9、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用:AB （a,a2,a3）,CD 亠切二 ,（1）證明AB/CD，即證明AB/CD，也就是證明ai忌 b2,a3b3或0i a 283bib2b3!（3）證明AB/ （平面）（或在面內(nèi)），即證明（2）證明AB CD，即證明AB CD 0，也就是證明a1b1 a?b2 asbs 0 ab垂直于平面的法向量或證明 ab與平面內(nèi)的基底共面;（4）證明AB，即證明平行于平面的法向量或證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對應(yīng)的向量;（5）證明兩平面 （或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個面的法向量垂直于另一個平面;（6）證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一

8、個面的法向量在另一個面內(nèi)。10. 運用向量的坐標運算解題的步驟:（1）建坐標系，求相關(guān)點的坐標（2）求相關(guān)向量的坐標（3）運用向量運算解題11. 用向量方法來解決立體幾何中的空間角的問題:(1)兩條直線的夾角:兩直線I , m所成的角為(2)直線與平面的夾角:設(shè)直線I的方向向量分別為a，平面直線I與平面所成的角為(0 < w),2(3) 二面角：0法向量法:ccosff 二 cos AB,CD .IB CDAB-&法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角12. 利用“方向向量”與“法向量”來解決距離問題(1)點與直線的距離:d與n不共線,

9、如圖d,已知平面 的一個法向量為n,且則d=|分析：過P作PO丄于0,連結(jié)0A. p0 |= | pA| cos APO.v p0 丄,n ，二 p0 n. cos / APO=|cos二 d=| 曰 |cos(3)異面直線間的距離:CD已知a,b是異面直線,CD為a,b的公垂線,線a,b上d |CDn ABn AB(4) 其它距離問題: 平行線的距離(轉(zhuǎn)化為點到直線的距離) 直線與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點到平面的距離) 平面與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點到平面的距離)13. 補充：(1) 三余弦定理設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，且BC丄AC垂足為C,又設(shè)AO與 AB所成的角 為1 , AB與AC所成的角為2

10、 , AO與 AC所成的角為則cos cos 1COS 2.(2) 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是面角的棱所成的角是92 2 2 2 sin sin sin 1 sin 2 2sin 1 sin 2 cosJ1 12|180 （ 12）（當且僅當90：時等號成立）.（3）點Q到直線丨距離h八（|a|b|）L（a b）2|a|（點P在直線丨上，直線丨的方向向量a=PA，向量b=PQ）.（4）異面直線上兩點距離公式d Jh2 m2 n2 2mncos （ E AA' F ）（兩條異面直線a、b所成的角為9,其公垂線段AA'的長度為h.在直線a

11、、b上分別取兩點 E、F, a'e m, AF n , EF d）.（5）三個向量和的平萬公式a b c2 2bc 22b 1.2112|a| |b|cos，.a,b； 2|b| |c|cos4C（6）長度為1的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為爪12、13，夾角分別為"2、3,則有.2 .2 .2 .2 2 2 2 “ 2 2 21 li I2 I3 cos 1 cos 2 cos 3 1 sin 1 sin 2 sin 32（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）（7）面積射影定理S cos（平面多邊形及其射影的面積分別是 S、s'，它們所在平面所成銳二面角的為）.（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是I,側(cè)面積和體積分別是S斜棱柱側(cè)和V斜棱柱,它的直截面 的周長和面積分別是Cl和S,則 s斜棱柱側(cè) °i 若每個頂點引出的棱數(shù)為m，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.E -mV （10）球的組合體 球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長 球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是