矩陣的進一步討論

1、第三章 矩陣的進一步討論小結(jié)與復(fù)習(xí)一一. 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量1. 特征值與特征向量的定義特征值與特征向量的定義定義定義1:注：注：設(shè)設(shè) 是是 階方陣，階方陣，An若若數(shù)數(shù) 和和 維非零列向量維非零列向量 ，使得，使得 nx Axx 成立，則稱成立，則稱 是是方陣方陣 的一個的一個特征值，特征值， A為為方陣方陣 的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值 的一個的一個特征向量。特征向量。xA (1) A是方陣是方陣1.定義定義2.求法求法3.性質(zhì)性質(zhì)（2）特征向量）特征向量 是非零列向量是非零列向量x（4）一個特征向量只能屬于一個特征值）一個特征向量只能屬于一個特征值（3）方陣）方

2、陣 的與特征值的與特征值 對應(yīng)的特征向量不唯一對應(yīng)的特征向量不唯一A 2. 特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法Axx 0AE x 或或 0EA x 已知已知0,x 所以齊次線性方程組有非零解所以齊次線性方程組有非零解0AE 或或0EA 111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaa 定義定義2： ,n nijn nAa 數(shù)數(shù) 是是關(guān)于關(guān)于 的一個多項式，稱為矩陣的一個多項式，稱為矩陣 的的特征多項式。特征多項式。 A 1112121222120nnnnnnaaaaaafAEaaa 稱為矩陣稱為矩陣 的的特征方程。特征方程。A求特征值、特征向量：求特征值、特征向量：(1)

3、0AE 求出求出 即為特征值即為特征值; (2) Axx 0AE x 把得到的特征值把得到的特征值 代入上代入上 式，式， 求齊次線性方程組求齊次線性方程組的非零解的非零解 0AE x x即為所求特征向量。即為所求特征向量。3. 特征值和特征向量的性質(zhì)特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1： 若若 的特征值是的特征值是 ， 是是 的對應(yīng)于的對應(yīng)于 的特征向量，則的特征向量，則A xA (1) kA的的特征值是特征值是. (kk 是是任意常數(shù)任意常數(shù))(2) mA的的特征值是特征值是. (mm 是正整數(shù)是正整數(shù))(3) A若若 可逆，則可逆，則 的特征值是的特征值是1A 1. A 的特征值是的特征值是

4、1.A 1,mkA AAA且且 仍然是矩陣仍然是矩陣 x分別對應(yīng)于分別對應(yīng)于 的特征向量。的特征向量。11 , ,A mk (4) ( )f x為為x的多項式，則的多項式，則 的特征值為的特征值為 ( )f x( ).f 性質(zhì)性質(zhì)2： 矩陣矩陣 和和 的特征值相同。的特征值相同。TAA定理定理2：設(shè)設(shè) 階方陣階方陣 的的 個特征值為個特征值為 n ijAa n12,n 則則12n11221 1) ( )ninniiatraaAa 稱為矩陣稱為矩陣A的的跡。跡。（主對角元素之和）（主對角元素之和）112n2) niiA . 02211 mmpxpxpx則則 , 02211 mmpxpxpxA,

5、0222111 mmmpxpxpx 定理定理3：設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 的的 個特征值，個特征值，12,m Am12,mppp依次是與之對應(yīng)的特征向量。依次是與之對應(yīng)的特征向量。如果如果 各不相等，各不相等，12,m 12,mppp則則 線性無關(guān)。線性無關(guān)。書書p138 定理定理5.3.2即，即，方陣方陣 的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。A證明：證明：設(shè)設(shè)常數(shù)常數(shù) 使得使得12,mx xx類推之，有類推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上列各式合寫成矩陣形式，得把上列各式合寫成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 等號左邊第二個矩陣的行列式為等號左邊第二個矩陣的行列式為Vandermonde行列式，行列式， 當當 各不相同時，該行列式的值不等于零，所以存在逆矩陣。各不相同時，該行列式的值不等于零，所以存在逆矩陣。i 等號兩邊同時右乘它的逆矩陣，有等號兩邊同時右乘它的逆矩陣，有 ,0 ,0 ,0,