排列組合例題

1、1.排列的定義: 從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。2.組合的定義: 從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. 分類記數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N= m1+ m2 +.+ mn種不同的方法. 分步記數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2 步有m2種不同的方法， 做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=

2、 m1× m2 ×.× mn種不同的方法. 兩個(gè)原理的區(qū)別：前者各種方法相互獨(dú)立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；后者每個(gè)步驟相互依存，只有每個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成對(duì)前者的應(yīng)用，如何分類是關(guān)鍵，如排數(shù)時(shí)有0沒有0，排位時(shí)的特殊位置等；后者一般體現(xiàn)在先選后排從 n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù) 例1：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆中，問有多少不同的種法？ 解一：分兩步完成 第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第二步排其余的位置：解二：第一步由葵花去占位第二步由其余元素占位：小結(jié)：當(dāng)排列或組合問題中,

3、若某些元素或某些位置有特殊要求的時(shí)候，那么，一般先按排這些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，這種方法叫特殊元素（位置）分析法。例2：要排一個(gè)有5個(gè)獨(dú)唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排頭，并且任何2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同的排法有幾種？解：5個(gè)獨(dú)唱節(jié)目的排法是P55舞蹈不排在頭一個(gè)節(jié)目，又需任何兩個(gè)舞蹈不連排,只要把舞蹈節(jié)目,插入獨(dú)唱節(jié)目的5個(gè)空隙中即可,即舞蹈節(jié)目的排法是P53,所以排法的種數(shù)為 小結(jié)：當(dāng)某幾個(gè)元素要求不相鄰時(shí)，可以先排沒有條件限制的元素，再將要求不相鄰的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，這種方法叫插入法。 例3 學(xué)生要從六門課中選學(xué)兩門:（1）有兩門課時(shí)

4、間沖突，不能同時(shí)學(xué)，有幾種選法？ （2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？(1) 解法一：解法二：(2)解法一：解法二：例4 9人排成一行，下列情形分別有多少種排法？ 甲不站排頭，乙不站排尾；解法一：(分類法)解法二：(排除法)甲乙必須排在一起，丙丁不能排在一起；點(diǎn)評(píng)：小團(tuán)體排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合不相鄰問題的插空處理.甲、乙、丙從左到右排列；分成甲、乙、丙三組，甲組4人，乙組3人，丙組2人； 例5 從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。個(gè)

5、偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有_,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有_,和為偶數(shù)的取法共有_+_有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.例6設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法？ 解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球, 3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法,例7（徐州二模）從6人中選4人組成4×100m接力賽，

6、其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少種選法？分析：（一）直接法 （二）間接法=48（一）排列解排列問題，必須認(rèn)真審題，明確問題是否是排列問題，那是否有序，抓住問題本質(zhì)特征。1、特殊元素的“優(yōu)先按排法”。例1、用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少？（分析）由于三位數(shù)是偶數(shù)，故末尾數(shù)字必須是偶數(shù)，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，優(yōu)先按排。按“0”在末尾和不在末尾分為兩類。共A+AAA=302、相鄰問題有“捆綁法”。對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可將先相鄰的元素“捆綁”起來，作為一個(gè)“大”的元素，與其他元素排列，然后再對(duì)相鄰元素的內(nèi)部進(jìn)行排列

7、。例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相鄰有多少種不同的排法？（分析）先把甲乙丙三人“捆綁“看作一個(gè)元素，與其余4個(gè)元素進(jìn)行排列再對(duì)甲、乙、丙三人進(jìn)行排列。共AA種。3、不相鄰問題有“插空法”。對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙間插入即可。例3、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相鄰有多少種不同的排法？（分析）先讓其余4人站好，有A種排法，這時(shí)有5個(gè)“空隙”可供甲、乙、丙選取，即A種。共AA4、間接法或淘汰法。理解題中的要求，把不符合要求的除去，應(yīng)注意不能多減也不能少減。例4、5名男生，5名女生排成一行，其中5名男生

8、不排在一起，有幾種排法？（分析）先計(jì)算出10人的全排列數(shù)，再減去5名男生排在一起的排列數(shù)即可。共AAA5、合理分類與準(zhǔn)確分步。解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情發(fā)生的連續(xù)性分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。例5、五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個(gè)位置，共有多少種不同站法（分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有A種；若甲在第3、4、5位置上，則乙可站在其他3個(gè)位置上，有AAA種；共A+ AAA或用間接法：甲在第一位置，乙在第二位置有A種；甲在第一位置，乙不在第二位置有AA種；甲不在第一位置，乙在第二位置有AA種；即共有A+ AA+ AA

9、種不符合要求，則符合要求的有A(A+ AA+ AA)種。6“住店法”解決“允許重復(fù)排列問題”。要注意區(qū)分兩類元素，一類元素是可以重復(fù)，另一類元素是不可以重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”把可以重復(fù)的元素看作“店”再利用乘法原理求解的方法稱“住店法”例6、七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？（分析）因同一學(xué)生可同時(shí)奪得幾項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，把七名學(xué)生看作七家“店”，五項(xiàng)冠軍看作五名“客”。每個(gè)“客”有7種住法，共7種。7、順序固定問題有“除法”。對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例7、五人排列，甲在

10、乙前面的排法有多少種？（分析）先將5人全排列有A種排法，而甲、乙之間排法有A種排法，而甲在乙前的排法只有一種符合，故符合條件的排法有種。8、特征分析法。研究有約束這種的排列問題要緊扣問題所提供的數(shù)字特征、結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理分析求解。例8、由1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？（分析）6的倍數(shù)的數(shù)既是2的倍數(shù)不是3的倍數(shù)，其中3的倍數(shù)又滿足“各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)”的特征。把6個(gè)數(shù)字分成4組：（1，5）（2，4）（3）（6），每組數(shù)字之和為3的倍數(shù)，因而可分成兩類，一類由1、5、2、4、6作為數(shù)碼，另一類由1、5、2、4、3作為數(shù)碼，且末尾數(shù)字為偶數(shù)即可。

11、第一類有AA種，第二類有共有AA種，共有AA+ AA種。1、 有3名男生、4名女生、排成一排（1） 選其中5人排成一行（2）甲只能在中間或兩頭（3）甲、乙二人必須在兩頭（4）甲不在排頭，乙不在排尾（5）男生、女生各站一邊（6）男生必須排在一起（7）男生、女生各不相鄰（8）男生不能相鄰（9）甲、乙、丙三人中甲必須在前，丙必須在后，但三人不一定相鄰（10）甲、乙中間必須有3人，各有多少種不同的排法（答案）（1）A（2）AA（3）AA（4）3720（5）AAA（6）AA（7）AA（8）AA（9）（10）AAA 1、 由數(shù)字0、1、2、2、4、5組成（各位上數(shù)字不允許重復(fù)）（1）多少六位數(shù)？（2）多少

12、個(gè)六位偶數(shù)（3）多少個(gè)被5整除的五位數(shù)？（4）多少個(gè)被3整除的五位數(shù)（5）比240135大的六位數(shù)有多少個(gè)？（答案）(1)AA (2)312(3)216(4)216(5)407（二）組合組合與排列有許多聯(lián)系，在解決組合問題中常借用解決排列問題的方法。以下是解決組合問題的幾種方法1、 直接法或間接法例1、 在100件產(chǎn)品中有98件合格品，2件次品。從這100件產(chǎn)品中任意取出3件（1）一共有多少種不同的取法（2）恰好取出1件次品，有多少種取法（3）至少有1件次品，有多少種取法？（答案）(1)C (2)CC(3) CC+CC (或CC)練習(xí)：要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，按下列要求有多少種不同

13、選法？（1）A、B、C三人必須入選（2）A、B、C三人不能入選（3）A、B 、C三人只有一人入選（4）A、B、C三人至少一人入選（5）A、B、C三人至多二人入選（答案）(1)C (2)C (3)CC (4)CC+CC+CC ( 5)CC+ CC+ CC (或CC)2、分組分配例2、六本不同的書按下列條件各有多少種不同的分法？（1） 分給甲、乙、丙三人，每人兩本子（2）分成三份，每份兩本（3）分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本（分析）（1）先分給甲有 C種,再分給乙有 C種,最后為丙有 C種,共C C C=90種（2）問題（1）也可以分成

14、兩步完成：第一步先把六本書均分成三份，設(shè)有x種分法，第二步把已分好的書分給甲、乙、丙三人有A種,即有xA= C C C x=15種說明：（1）（2）兩題的區(qū)別在于（2）只分組不分配，（1）既分組又分配。那么為什么在（2）中也就是只分組的問題中要除去 A呢？比如A、B 、C、D四個(gè)元素要均分為兩組，先取AB再取CD為一種即 或先取CD再取AB為另一種即，由于只分組即AB與CD間是無序的因而只能算一種分法。因而“分組分配”有如下一般結(jié)論：a) 將2n個(gè)元素均分為兩組方法數(shù)：種。b) 將3n個(gè)元素均分為三組方法數(shù)：種。c) 將kn個(gè)元素均分為k組方法數(shù)：種。d) 將n個(gè)元素均分為m組每組r個(gè)（mr=

15、n）方法數(shù)：e) 若再將m組分配給m個(gè)對(duì)象，則分配方法有m! (3)先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三組的方法數(shù)共有CCC=60種(4)先要把收分成三組有CCC=60種，再分配給三人有A種 共有ACCC=360種。 練習(xí)：六本不同的書，分成3組，1組4本，其余各1本有多少種分法？3、隔板法例3、某中學(xué)從高中7個(gè)班中選出12名學(xué)生組成校代表隊(duì)，參加市課外知識(shí)競(jìng)賽，使代表中每個(gè)班至少有1人參加的選法有多少種？（分析）由于12個(gè)名額是不可區(qū)分的，所以將問題轉(zhuǎn)化為：把排成一行的12個(gè)“0”分成7份的不同方法數(shù)。12個(gè)“0”形成11個(gè)空隙，用6個(gè)隔板可將其分成7組，有C種不同的插法,即C=462種

16、。練習(xí)：10個(gè)相同的球放入6個(gè)盒中，每個(gè)盒中至少一個(gè)的放法有多少種。C=1264、插空法例4、某城市新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)約用電又不影響照明，可以熄滅其中的3盞，但兩端的燈不能熄，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，則熄滅的方法共有多少種？（分析）把要熄滅的三盞燈去掉，有九盞燈亮著，則有8個(gè)空隙，在這8個(gè)空隙中安排3盞燈故有C種。練習(xí)：一排無區(qū)別的座位10個(gè)，3個(gè)人來坐，都不能坐兩頭，且兩人之間至少有一個(gè)座位，問有多少種不同的坐位？C 鞏固練習(xí)1、 從五雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配在一雙的可能性有多少種？2、 有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)

17、盒子內(nèi)的球數(shù)不少于盒子的編號(hào)數(shù)，問有多少種不同的放法？3、 某校高二年級(jí)共有6個(gè)班，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生要按排到該年級(jí)的兩個(gè)班，每班二名有多少不同的方案？4、 四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子則恰好一個(gè)空盒的放法有多種？（答案）1、130 2、C 3、CC 4、CA=144 典型例題一例1 用0到9這10 個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 分析：這一問題的限制條件是：沒有重復(fù)數(shù)字；數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；個(gè)位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下： 如果從個(gè)位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個(gè)位數(shù)是“0”的四位偶做，個(gè)位數(shù)是2、4、6、8的四位偶數(shù)（這

18、是因?yàn)榱悴荒芊旁谇粩?shù)上）由此解法一與二 如果從千位數(shù)入手四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三 如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)，用排除法，得解法四 解法1：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來排列，故有個(gè)； 當(dāng)個(gè)位上在“2、4、6、8”中任選一個(gè)來排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來排，按乘法原理有（個(gè)） 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè) 解法2：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，同解一有個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)上排2、4、6、8中之一時(shí)，千位，百位，十位上可

19、從余下9個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：個(gè) 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè) 解法3：千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個(gè)，百位，十位上從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有 個(gè)干位上從2、4、6、8中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從余下的四個(gè)偶數(shù)中任意選一個(gè)（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個(gè)數(shù)字中任意選兩個(gè)作排列，有個(gè) 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè) 解法4：將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù) 沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)其中四位奇數(shù)有個(gè) 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個(gè)說明：這是典型的簡(jiǎn)單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常

20、見的解法、要認(rèn)真體會(huì)每種解法的實(shí)質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運(yùn)用典型例題二例2 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排 （1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？ （2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？ （3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？ （4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：（1）（捆綁法）因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，然成一排有種不同排法對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有對(duì)種不同的排法，因此共有種不同的排法 （2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出

21、一個(gè)空檔這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有種方法，因此共有種（3）解法1：（位置分析法）因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法 解法2：（間接法）3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首

22、位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有種不同的排法解法3：（元素分析法）從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來讓3個(gè)女生排入，有種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排活，其余5個(gè)位置又都有種不同的排法，所以共有種不同的排法，（4）解法1：因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排匀绻孜慌帕四猩瑒t未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時(shí)末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法因此共有種解法2：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中扣去兩端

23、都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有種不同的排法 說明：解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個(gè)以上約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其它條件若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素 間接法有的也稱做排除法或排異法，有時(shí)用這種方法解決問題來得簡(jiǎn)單、明快 捆綁法、插入法對(duì)于有的問題確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用典型例題三例3 排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。 （1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不

24、相鄰的排法有多少種？ （2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：43200. （2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：2880種方法。 說明：對(duì)于“間隔”排列問題，我們往往先排個(gè)數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個(gè)數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時(shí)，往往個(gè)數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有，再排舞蹈節(jié)目有，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目

25、相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。典型例題五例5現(xiàn)有輛公交車、位司機(jī)和位售票員，每輛車上需配位司機(jī)和位售票員問車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把輛車看成排了順序的三個(gè)空：，然后把名司機(jī)和名售票員分別填入因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問題解：分兩步完成第一步，把名司機(jī)安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法故搭配方案共有說明：許多復(fù)雜的排列問題，不可能一步就能完成而應(yīng)分解開來考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，?yīng)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理原理去解決在分類或分步時(shí)，要盡量把整個(gè)事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂典型例題六例6

26、下是表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有所重點(diǎn)院校，每所院校有個(gè)專業(yè)是你較為滿意的選擇若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？分析：填寫學(xué)校時(shí)是有順序的，因?yàn)檫@涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學(xué)校的兩個(gè)專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)因此這是一個(gè)排列問題解：填表過程可分兩步第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序，則在所學(xué)校中選出所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個(gè)專業(yè)中選出個(gè)專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有：種說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)

27、，有時(shí)題中并未直接點(diǎn)明，需要根據(jù)實(shí)際情景自己判斷，特別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點(diǎn)尤其重要“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開考慮典型例題七例5名同學(xué)排隊(duì)照相(1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法(2)若排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？分析：(1)可分兩步完成：第一步，從人中選出人排在前排，有種排法；第二步，剩下

28、的人排在后排，有種排法，故一共有種排法事實(shí)上排兩排與排成一排一樣，只不過把第個(gè)位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是，相當(dāng)于個(gè)人的全排列(2)優(yōu)先安排甲、乙(3)用“捆綁法”(4)用“插空法”解：(1) 種(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個(gè)位置上，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求的排法共有種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余個(gè)元素排成一排，即看成個(gè)元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種排法(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個(gè)空位，這樣可

29、保證女生不相鄰，易知有種插入方法由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個(gè)相鄰的特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間典型例題八例8從五個(gè)數(shù)字中每次取出三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和分析：可以從每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“”，當(dāng)它位于個(gè)位時(shí)，即形如的數(shù)共有個(gè)（從四個(gè)數(shù)中選兩個(gè)填入前面的兩個(gè)空），當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”所產(chǎn)生的和是當(dāng)位于十位時(shí)，即形如的數(shù)也有，那么當(dāng)這些數(shù)相加

30、時(shí)，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是當(dāng)位于面位時(shí)，可同理分析然后再依次分析的情況解：形如的數(shù)共有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是這樣在所有三位數(shù)的和中，由“”產(chǎn)生的和是同理由產(chǎn)生的和分別是，因此所有三位數(shù)的和是說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決如“由四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為，求數(shù)”本題的特殊性在于，由于是全排列，每個(gè)數(shù)字都要選用，故每個(gè)數(shù)字均出現(xiàn)了次，故有，得典型例題十一例11八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前

31、排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有如下算法：(種)解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法”這個(gè)數(shù)目是其中第一個(gè)因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)則表示

32、乙、丙中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí)典型例題十二例12 計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）ABCD解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列但4幅油畫、5幅國(guó)畫本身還有排列順序要求所以共有種陳列方式應(yīng)選D說明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將

33、被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來解答的問題典型例題十三例13 由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）A210B300C464D600解法1：（直接法）：分別用作十萬位的排列數(shù)，共有種，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個(gè)解法2：（間接法）：取個(gè)數(shù)字排列有，而作為十萬位的排列有，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個(gè))應(yīng)選B說明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來解(2)“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法典型例題十四例14 用，這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A24個(gè)B30個(gè)C40個(gè)D60個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷解法1：分類計(jì)算將符合條件的偶數(shù)