波函數(shù)和薛定諤方程

1、第二章 波函數(shù)和薛定諤方程本章討論問題1引進(jìn)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，并討論其性質(zhì)。2建立薛定諤方程3薛定諤方程在簡單量子力學(xué)體系中的應(yīng)用§2-1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋一、波函數(shù)定義：描述微觀粒子的函數(shù)叫波函數(shù)經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)的模型，僅有粒子性而無波動(dòng)性，通常用坐標(biāo)與動(dòng)量（）描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。而微觀粒子具有波粒二重性，坐標(biāo)與動(dòng)量不能同時(shí)準(zhǔn)確測量，因此，量子力學(xué)中用波函數(shù)來描述微觀粒子狀態(tài)。自由粒子的波函數(shù)（平面波）自由粒子的能量是常量，與其聯(lián)系的波是平面波，對(duì)非自由粒子受有力場作用，不再是常量，因此描述其狀態(tài)的波函數(shù)將比較復(fù)雜，不再是平面波。量子力學(xué)的基本原理（假設(shè)）微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)

2、波函數(shù)來描寫，這就是量子力學(xué)的基本原理之一（假設(shè)），這一假設(shè)是否正確將由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。說明：（1）量子力學(xué)描述微觀粒子狀態(tài)的方法與經(jīng)典力學(xué)描述宏觀物體的方法完全不同。（2）經(jīng)典力學(xué)用坐標(biāo)與動(dòng)量，量子力學(xué)用波函數(shù)。二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋用波函數(shù)描述微觀粒子的狀態(tài)是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，那么波函數(shù)的物理意義是什么？究竟如何將粒子性和波動(dòng)性這兩個(gè)似乎對(duì)立的性質(zhì)統(tǒng)一起來呢？歷史上關(guān)于這一問題有各種不同的看法。1歷史上幾個(gè)錯(cuò)誤的看法：波是由一群粒子構(gòu)成的，衍射圖樣是由粒子之間相互作用產(chǎn)生的。所以在前面介紹的電子衍射實(shí)驗(yàn)中，產(chǎn)生的衍射條紋是由于組成波的電子相互作用而產(chǎn)生的，但從實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電子槍中電子幾乎一個(gè)

3、個(gè)通過狹縫，當(dāng)電子數(shù)目通過較小時(shí)，圖上只有一些無規(guī)則的點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)歷很長時(shí)間，則出現(xiàn)規(guī)則的條紋。這說明，單個(gè)電子也具有波動(dòng)性，波不是由粒子構(gòu)成，若單個(gè)電子無波動(dòng)性，則電子一個(gè)個(gè)通過時(shí)就不會(huì)出現(xiàn)是的衍射條紋。一個(gè)電子就是一個(gè)經(jīng)典概念下的波如若真是這樣。當(dāng)一個(gè)電子通過后在圖上應(yīng)有條紋出現(xiàn)，但實(shí)驗(yàn)并非如此。所以上述結(jié)論是錯(cuò)誤的。2波恩（Born）對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋。統(tǒng)計(jì)解釋：波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）與t 時(shí)刻在點(diǎn)（）處單位體積找到粒子的幾率成正比。統(tǒng)計(jì)解釋對(duì)電子衍射實(shí)驗(yàn)結(jié)果的解釋：a)明條紋地方，波的強(qiáng)度大，說明每一個(gè)電子投射在此的幾率越大。b)暗條紋的地方，波的強(qiáng)度最小為零，說明每

4、個(gè)粒子投射在此的幾率為最小或?yàn)榱恪Ｈ?、波函?shù)的性質(zhì)波函數(shù)可以完全描述體系的量子狀態(tài)由于微觀粒子具有波粒二象性，粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)具有確定的值，當(dāng)粒子處于某一量子態(tài)時(shí)，它的力學(xué)量（坐標(biāo)與動(dòng)量）一般有許多個(gè)可能值，這些可能值各以一定的幾率出現(xiàn)，而由波恩解釋，這些幾率可由波函數(shù)全部給出。波函數(shù)滿足歸一化條件因?yàn)橛山y(tǒng)計(jì)解釋，要求粒子（不產(chǎn)生，不湮滅）在空間各點(diǎn)的幾率之和為1。與c（c為常數(shù)）作所描述的相對(duì)幾率分布是完全相同的，即波函數(shù)有一個(gè)常數(shù)因子的不定性。原因：是某一時(shí)刻粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率和為1，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度，而不決定于其絕對(duì)大小，若將波

5、函數(shù)在各點(diǎn)振幅的同時(shí)加大一倍，并不影響粒子在空間各點(diǎn)的幾率，所以與描述的是同一狀態(tài)。量子力學(xué)中波函數(shù)的性質(zhì)是其它波動(dòng)過程所沒有的，如光波、電磁波，例將光波的強(qiáng)度到處增加一倍其狀態(tài)就發(fā)生了變化。波函數(shù)乘以（是實(shí)數(shù)），不影響空間各點(diǎn)找到粒子的幾率，也不影響函數(shù)的歸一化，這個(gè)因子叫相因子（相角不定性）也就是波函數(shù)可以含任一相因子。例1設(shè)表示某一時(shí)刻某一粒子的狀態(tài)，則在t時(shí)刻在任一點(diǎn)找到粒子的幾率與成比例。若給乘以則成，則其表示的狀態(tài)在t時(shí)刻在任一點(diǎn)找到粒子的幾率與成比例，而即乘以后不影響空間找到粒子的幾率也不影響波函數(shù)的歸一化。例2 與是否同一狀態(tài)； 與是否同一狀態(tài)是否同一狀態(tài)；是同一類；與是否同一

6、狀態(tài)答案：否定，肯定四、波函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)表示：（1）幾率密度設(shè)是t時(shí)刻在 無限小區(qū)域找到粒子的幾率： （按波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋在區(qū)域找到粒子的幾率與成比例）表示在點(diǎn)附近單位體積找到粒子的幾率，我們稱這個(gè)幾率為幾率密度。（2）波函數(shù)的歸一化在全空間對(duì)上式積分，則在整個(gè)空間找到粒子的幾率應(yīng)為1，（歸一化條件）若原函數(shù)為乘上，而得它與表示同一幾率波，它不改變所描寫的狀態(tài)。與描述同狀態(tài)則我們滿足上式的波函數(shù)叫歸一化波函數(shù)，把換成的步驟叫歸一化，把叫歸一化常數(shù)，應(yīng)特別指出，這種歸一化條件要求有限，若發(fā)散，則，這是無意義的。例：自由粒子波函數(shù)就不滿足這種函數(shù)怎樣歸一化，下章再討論。注：波函數(shù)不能按歸一化時(shí)，仍能

7、和幾率成比例，但它被稱為相對(duì)幾率密度。例3設(shè)粒子作一維運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為 ， A為歸一化常數(shù)，求A=？幾率分布函數(shù)與幾率密度幾率密度在內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率§2.2 態(tài)迭加原理 量子力學(xué)描述微觀粒子的量子狀態(tài)的方式與經(jīng)典力學(xué)不同（用坐標(biāo)與動(dòng)量），它是用波函數(shù)描述。其原因是微觀粒子的波粒二象性。這種二象性，一方面體現(xiàn)了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，另一方面體現(xiàn)了量子力學(xué)的另一基本原理（基本假設(shè)）態(tài)迭加原理1態(tài)迭加原理在經(jīng)典力學(xué)中的聲波與光波均遵從迭加原理，例如光波，若與是兩個(gè)可能的光波動(dòng)過程，則也是一個(gè)可能的光波動(dòng)過程。光波的干涉現(xiàn)象是用上述原理來解釋的。光在空間任一點(diǎn)的強(qiáng)度可由前一時(shí)刻波列上各點(diǎn)傳播出來的

8、光波在P點(diǎn)的線性迭加得到。在上節(jié)，已經(jīng)通過用描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)成功地解釋了微觀粒子的干涉衍射現(xiàn)象，這說明在量子力學(xué)中態(tài)的迭加原理仍然成立。即：若分別是所描體系的兩個(gè)可能狀態(tài)，則它們的線性迭加。，也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。這個(gè)結(jié)論可推廣：若是體系的可能狀態(tài)，則也是體系的可能狀態(tài)。2如何理解態(tài)迭加原理（1）它是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)。（2）它與經(jīng)典波的迭加原理含義不同，當(dāng)粒子處于態(tài)和態(tài)的迭加態(tài)時(shí)，粒子即處于態(tài)，又處于態(tài)，這是經(jīng)典波所沒有的。例4假設(shè)在狀態(tài)中測量體系的某一力學(xué)量A（如動(dòng)量）結(jié)果得到P1，而在態(tài)只能測得一特定值P2，那么在這種情況下，態(tài)迭加原理的意義是：在狀態(tài)為復(fù)常數(shù)）中，測到力學(xué)

9、量A（動(dòng)量）的值，有可能是P1，也可以是P2，不會(huì)是其它值，也就是說在態(tài)時(shí)，測量A時(shí)，P1與P2均以一定的幾率出現(xiàn)，這是經(jīng)典波所沒有的，按經(jīng)典波，兩波迭加后所形成態(tài)的動(dòng)量應(yīng)是完全確定的。例5另外，若 ，則，則 與是同一狀態(tài)，而對(duì)于經(jīng)典波而言與=（C1+C2），則完全不同（參張懌慈，P35）3量子態(tài)表象任何一個(gè)波函數(shù)都可看作是各種不同動(dòng)量的平面波的迭加，即（） （例電子在晶體表面的衍射，參周P23）式中： 將代入有： 顯然式是一復(fù)數(shù)形式的付立葉積分是函數(shù)的付立葉變換式。 (參考梁昆淼數(shù)學(xué)物理方法P136)、都可描述粒子的量子態(tài)由前面討論可看出，粒子的量子態(tài)，即可用表示也可用描述（當(dāng)然也可用其它方

10、式），它們之間有確定的關(guān)系，彼此是等價(jià)的，它們描述的是同一狀態(tài)，只不過是表象不同而已，這就象一個(gè)矢量可在不同坐標(biāo)系中描述一樣。a) 是粒子在坐標(biāo)表象（表象）中的描述，表示粒子出現(xiàn)在處的幾率密度。b) 是粒子在動(dòng)量表象中的表示，表示粒子動(dòng)量是的幾率密度（參曾P39-40）一維情況下思考題：1如何理解態(tài)迭加原理？2的動(dòng)量幾率分布如何，位置幾率分布又如何？能否歸一化3試述動(dòng)量幾率密度的意義§ 23 薛定諤方程（S.E）經(jīng)典力學(xué)：描述粒子狀態(tài)用（坐標(biāo)動(dòng)量）遵從牛頓定律 知道某一時(shí)刻狀態(tài)，由定律就能知道以后時(shí)刻的狀態(tài)量子力學(xué)：描述粒子狀態(tài)用或（波函數(shù)）它遵從什么規(guī)律？（不再是牛頓方程）同經(jīng)典力

11、學(xué)，不同處是描述方式不同一、建立薛定諤方程的兩個(gè)條件建立的薛定諤方程就是描述波函數(shù)隨時(shí)間的變化方程1方程應(yīng)是線性微分方程這是態(tài)迭加原理的要求，若與是方程的解，那么是方程的解。這是一種線性迭加，所以要求方程是線性方程。2這個(gè)方程的系數(shù)不應(yīng)包括狀態(tài)參量（如動(dòng)量、能量）因?yàn)榉匠痰南禂?shù)如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各種狀態(tài)所滿足。二、薛定諤方程的建立（這里用了建立，而不用推導(dǎo)，參趙敏光配位場理論P(yáng)4）1方法：先建立自由粒子方程，然后推廣到一般情況2建立：自由粒子的波函數(shù)是它應(yīng)是所要建立的方程的解： （）這不是我們要求的方程，雖是線性的（及都是一次）但系數(shù)中含有E（能量）

12、同理 +，得 （仍含參量P2） （）其中又對(duì)自由粒子 而由（）有 a. 自由粒子薛定諤方程即自由粒子的薛氏方程b.能量算符與動(dòng)量算符由（） （）由此可以看出 自由粒子的薛氏方程可看作兩邊乘上，然后將E與P換成算符c. 力場中粒子的薛定諤方程，力場中的粒子能量上式兩邊同乘有將E用，用代替，則有上式即薛定諤波動(dòng)方程也即薛定諤方程（方程由薛定諤1926建立）關(guān)于薛定諤方程的幾點(diǎn)說明：薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程（基本假設(shè)），我們上面用了“建立”二字，是建立方程，不是用基本假設(shè)推導(dǎo)方程。薛氏方程的正確性由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。它在量子力學(xué)中的地位相當(dāng)牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中的地位。多粒子體系的薛定諤方程。， 三、動(dòng)

13、量表象中的波函數(shù)（表象概念作介紹）具有確定動(dòng)量的自由粒子波函數(shù)為 任意粒子的波函數(shù)可看作是具有各種可能動(dòng)量的平面波的線性迭加因動(dòng)量一般連續(xù)，所以，其中由復(fù)數(shù)付立葉變換 四、與關(guān)系1是坐標(biāo)表象中的波函數(shù)，是動(dòng)量表象中以動(dòng)量為變量的波函數(shù)，它們描述同一狀態(tài)。2與的意義§2-4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律一、粒子在空間出現(xiàn)的幾率隨t的變化規(guī)律假設(shè)描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)是，則由前面討論知，在時(shí)刻t在點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率（幾率密度）為（設(shè)是歸一化的），因此，幾率密度隨時(shí)間變化率為： (1)由薛氏方程 (2)上式的共軛復(fù)數(shù)方程為 （是實(shí)數(shù)） (3)將(2)和(3)代入(1)式得： 令則

14、(4)這個(gè)方程具有連續(xù)性方程形式，即幾率密度隨t的變化規(guī)律與流體力學(xué)中連續(xù)性方程形式一樣。這個(gè)方程即幾率守恒定律的微分形式。二、矢量的物理意義將(4)在空間任一體積V內(nèi)求積分有：由矢量分析中高斯定理（將體積分轉(zhuǎn)換成面積分） （5）而積分是對(duì)包圍體積V的封閉曲面S的積分。表示單位時(shí)間在閉域v中找到粒子的總幾率（即幾率在單位時(shí)間的增加量）而 表示單位時(shí)間內(nèi)通過封閉曲面S而流入V的幾率（注意負(fù)號(hào)，參曾P48）所以具有幾率密度的意義（可與電流密度比較，P180，電磁學(xué)，梁燦彬，叫做電流密度）表示單位時(shí)間流過S面上單位面積的幾率表明：單位時(shí)間內(nèi)V中增加幾率應(yīng)等于從體積V外穿過V的邊界面流進(jìn)V的幾率，所以

15、式也叫實(shí)域幾率守恒方程。若在無限遠(yuǎn)處波函數(shù)為零，則將V擴(kuò)大到整空間區(qū)域時(shí)即整個(gè)空間找到粒子的幾率與時(shí)間無關(guān)。三、質(zhì)量守恒與電荷守恒定律1質(zhì)量守恒定律是粒子質(zhì)量，上式是t時(shí)刻在（）點(diǎn)粒子的質(zhì)量密度。是質(zhì)量流密度。因此有：上式表明：單位體積V內(nèi)質(zhì)量的改變，等于穿過V邊界面S流入或流出的質(zhì)量，這是量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律。2電荷守恒定律+兩邊乘以e，則令 則這是量子力學(xué)中的電荷守恒定律，它說明粒子的電荷總量不隨時(shí)間發(fā)生變化，也就是單位時(shí)間V體積內(nèi)電荷總量的改變，就等于穿過S流入流出V的電荷量。四、波函數(shù)在其變量變化區(qū)域應(yīng)滿足的條件1有限性原因：是t時(shí)刻在（）點(diǎn)找到粒子的幾率密度，所以波函數(shù)應(yīng)是有限的。

16、2單值性原因：在t 時(shí)刻（）點(diǎn)找到粒子的幾率密度應(yīng)是唯一的。這就要求具有唯一性即單值性。3連續(xù)性描述粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方程是薛氏方程，它是一個(gè)偏微分方程，這就要求的二階微商存在。而微商存在的一個(gè)重要條件就是波函數(shù)連續(xù)性。思考題：1波函數(shù)應(yīng)滿足什么條件？為什么？2知道粒子的波函數(shù)，能得到粒子的什么統(tǒng)計(jì)知識(shí)？3如何理解波函數(shù)歸一化條件不隨t變化？§25定態(tài)薛氏方程一、薛定諤方程的解 （1）這是偏微分方程，當(dāng)場不含時(shí)間t時(shí)，可用分離變量法求解（參川大P146-147，參梁昆淼：方法P200。設(shè)上式特解為：方程左邊是t的函數(shù)與無關(guān)，而右邊是的函數(shù)與t無關(guān)，只有上式等式一個(gè)常數(shù)時(shí)，上式才能滿足，令

17、其為E。則 由可得到將C放到去（應(yīng)求出具體波函數(shù)后仍還要?dú)w一化），則得到薛氏方程（1）的特解為 （4）能量為E的自由粒子的波函數(shù)為：與此類比：表明E是體系處于（4）式波函數(shù)所描寫的狀態(tài)的能量。因此當(dāng)體系處于（4）所描寫狀態(tài)時(shí)，能量有確定的值，這種狀態(tài)叫定態(tài)，（4）叫定態(tài)波函數(shù)。二、定態(tài)、定態(tài)波函數(shù)、定態(tài)薛氏方程1定態(tài)是體系處于所描述狀態(tài)時(shí)，能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)。2定態(tài)波函數(shù)若粒子處于定態(tài)時(shí)，在解決實(shí)際問題中，我們感興趣的是而不是本身，知道了就知道了，所以有時(shí)就將叫定態(tài)波函數(shù)。（參張懌慈P37）3定態(tài)薛定諤方程由方程得到，因此該方程被稱為定態(tài)薛氏方程（或不含時(shí)間的薛氏方程）。4處于定

18、態(tài)的粒子的特征幾率密度及幾率流密度不隨t變化。任何力學(xué)量（不含t）的平均值不隨t 變化。（參曾P52（上）任何力學(xué)量（不含t）取各種可能測量值的幾率分布不隨t變化。三、本征值方程1哈密頓算符將 兩邊乘以將，兩邊乘以，則與是相關(guān)的能量算符，由于是由經(jīng)典的哈密頓函數(shù)代換而來的，所以叫哈密頓算符。即：2本征值方程這種類型方程叫本征值方程（定態(tài)薛氏方程），En稱為算符的本征值，稱為算符的本征函數(shù)。 結(jié)論：當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)描寫的狀態(tài)時(shí)（能量本征態(tài)），粒子的能量有確定的值，這個(gè)值就是能量算符的本征值。四、薛定諤方程的通解五、關(guān)于定態(tài)問題的一個(gè)重要結(jié)論若體系的Hamilton不含時(shí)間t，而且在t=

19、0時(shí)處于體系的一個(gè)定態(tài)，則在任一時(shí)刻仍處于該定態(tài)，即例：下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？123 思考題1粒子處于定態(tài)有哪些特征？2粒子處于定態(tài)的條件是什么？3怎樣從形式判斷一個(gè)波函數(shù)是否處定態(tài)？4兩個(gè)能量本征值不相等的波函數(shù)，它們的能量線性組合是否為定態(tài)？§26 一維無限深勢阱（中運(yùn)動(dòng)的粒子）定態(tài)問題是量子力學(xué)非常重要的一類問題，因此求一個(gè)微觀體系的能量的可能值和定態(tài)波函數(shù)成了量子力學(xué)的重要任務(wù)之一。（P39 張懌慈）一、一維無限深勢阱的勢能二、定態(tài)薛氏方程 ， （1）， （2）三、方程的求解1體系能量，方程中，因波函數(shù)應(yīng)滿足連續(xù)性與有限性，只有當(dāng)時(shí)，（2）式才能成立，所以，這就是

20、說粒子跑不到阱外，即在阱外的， 即出現(xiàn)的幾率為0假定，（在這里可以不講）由（2）式可變?yōu)?，令?（3）當(dāng)時(shí)，這不符合波函數(shù)有限的條件，這必要求C=0（1）方程可變?yōu)?令，則（1）變?yōu)椋ㄌ卣鞲?（4） 又薛定諤方程是關(guān)于的二階微分方程，它要求的的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。由（2） (C=0)由（4）得當(dāng)時(shí) （5）、是有界函數(shù)且A、B都是有限的。但是當(dāng)（5）式要求D=0由（1）令由的連續(xù)性要求：由此得到A、B不能同時(shí)為零，否則在物理上無意義因此上式有兩種情況（1），這要求（2），這要求由（1），n為奇數(shù)（2），n為偶數(shù)這就是說當(dāng)時(shí)（），波函數(shù)才有物理意義，（這里，原因是時(shí)，這無物理意義；為負(fù)數(shù)時(shí)，不能給出

21、新的波函數(shù)）而又因此體系本征能量為 （n=整數(shù)）說明：（1）這就是說并非任何E值對(duì)應(yīng)的波函數(shù)都滿足物理要求，只有En取上式時(shí)，對(duì)應(yīng)的波函數(shù)才能滿足。（2）當(dāng)粒子被束縛于無限深勢阱時(shí)，能量只能取一系列分立值為，無限多個(gè)可能值，能量是量子化的，n是量子數(shù)。2波函數(shù)（能量為En的波函數(shù)）n為偶數(shù)時(shí)，（B=0）n為奇數(shù)時(shí)（A=0） 合并其實(shí)，當(dāng)n=奇數(shù)是式，當(dāng)n=偶數(shù)是式，由波函數(shù)的歸一化條件 = = = 3結(jié)果討論是兩個(gè)沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波。 = （歐拉公式）粒子最低能為，即粒子最低能不為零，這是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，靜止波是無意義的（這與經(jīng)典粒子不同）。時(shí)，通常將無限遠(yuǎn)處的波函數(shù)所

22、描寫的狀態(tài)叫束縛態(tài)，束縛態(tài)的能級(jí)是分立的。能級(jí)分布不均勻，當(dāng)所以當(dāng)n很大時(shí)，可認(rèn)為E是連續(xù)的。本征函數(shù)的圖形（波形）參教材P37位置幾率分布由定態(tài)薛定諤方程求能量本征函數(shù)和本征值的步驟：a.寫出勢能及Hamilton。b.建立定態(tài)薛定諤方程，引入?yún)⒘亢喕笸ń?。c.由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件求出本征函數(shù)和本征值。d.根據(jù)歸一化條件，求歸一化常數(shù)。思考題：設(shè)粒子限制在矩形匣子里運(yùn)動(dòng)，熱能為求其本征值和本征函數(shù)§27 線性諧振子一、線性諧振子的概念及應(yīng)用若在一維空間運(yùn)動(dòng)粒子的勢能為，則該體系叫線性諧振子。例1雙原子中兩個(gè)原子之間的勢能在平衡位置近似地用諧振子勢能來代替。是的函數(shù)，為兩原子距離。

23、時(shí)，U取極小值，這是平衡位置，U在a處可展成的冪級(jí)數(shù)，在 處，所以二次以上項(xiàng)忽略。二、線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程1定態(tài)薛氏方程的建立經(jīng)典線性諧振子的方程為，解為它的狀態(tài)是用位置和動(dòng)量表示，而量子線諧振子問題其狀態(tài)是用波函數(shù)表示，該問題主要是如何求波函數(shù)及對(duì)應(yīng)的能級(jí)。與時(shí)間t無關(guān)，所以是定態(tài)問題。一般定態(tài)薛氏方程為 （1）又是一維問題 整理得 2方程的化簡令 （2）這是一個(gè)變系數(shù)二階常微分方程。3方程的求解首先考查在的漸近行為當(dāng)方程變?yōu)?（3）可以證明是上述方程的解，因而是原方程當(dāng)時(shí)的漸近解。又波函數(shù)要求有限（漸近解）我們可以認(rèn)為方程的真正解是乘以某一函數(shù)為 （4）將（4）代入（2），則 （5）這也是非常系數(shù)為二階微分方程顯然是（5）的一個(gè)解代入（5）式，得由于對(duì)應(yīng)任何態(tài)）又也是（5）的一個(gè)解，a1是任意常數(shù)將上式代入（5）式得同理 將代入（5）與的系數(shù)