矩陣代數(shù)簡單介紹

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)1.1 矩陣的概念給定數(shù)域上個數(shù)把它們按一定次序排成一個行列的長方形數(shù)表， 稱為數(shù)域上的一個行列的矩陣，簡稱為矩陣。其中稱為矩陣的第行、第列的元素。矩陣（只有一行）稱為維行向量；矩陣（只有一列）稱為維列向量。零矩陣、方陣、對角矩陣、單位陣所有元素為零的矩陣稱為零矩陣，記為。如果矩陣的行、列數(shù)都是，則稱A為階方陣；階方陣A的元素按次序構(gòu)成的階行列式，稱為矩陣A的行列式，記為|A|。在階方陣中，若主對角線兩側(cè)的元素全為零，則稱之為對角矩陣，記為；若對角矩陣的主對角線元素全為1，則稱之為單位陣，記為；特別地，稱為數(shù)量矩陣1.2 矩陣的運算l 矩陣的加、減運算以及數(shù)乘運算當(dāng)矩陣A和B的行數(shù)

2、和列數(shù)相等時，它們可以進行加、減運算；AB等于所有對應(yīng)位置的元素相加、減。數(shù)乘運算就是數(shù)乘矩陣A中所有元素得到的矩陣。，l 矩陣相乘記，且，那么A和B相乘得到的矩陣C的元素可用公式表示為 ，。注意，在一般情況下矩陣乘法不滿足交換律和消去律，即；不能推出。矩陣相乘滿足如下運算規(guī)則：，l 轉(zhuǎn)置把矩陣的行和列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為。轉(zhuǎn)置矩陣滿足如下運算規(guī)則： ；。若，那么A稱之為對稱矩陣。l 矩陣的逆對于階方陣A，存在階方陣B，使得，那么A是可逆的，B稱為A的逆矩陣，記為。方陣A可逆的充要條件是，此時A是非奇異矩陣。若，A是奇異矩陣。逆矩陣具有的性質(zhì)：；。l 分塊矩陣的運算（重點！）在

3、運算中，可以把子塊當(dāng)作數(shù)量元素處理；但矩陣的分塊方式要與運算相配套。記，那么，其中，和都是非奇異的方陣。特別地，設(shè)是階方陣，是階方陣，那么，l 方陣的跡方陣的跡定義為矩陣主對角線上元素之和，記為；對于矩陣A和矩陣B，有。若多個矩陣不同次序相乘都是方陣，那么有。1.3線性組合、線性無關(guān)與矩陣的秩l 線性組合給定內(nèi)一個向量組，又給定實數(shù)域R內(nèi)s個數(shù),稱向量為向量組的一個線性組合。線性組合通?？杀硎緸椋海渲惺蔷仃嚕堑南蛄?。 l 線性相關(guān)與線性無關(guān)給定一組維向量，如果存在一組不全為零的數(shù),.,，使得成立，則稱線性相關(guān)，換句話說，向量組線性相關(guān)等價于組中至少有一個向量可以寫成其他向量的線性組合。是線

4、性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)推出。l 矩陣的秩矩陣的秩就是矩陣列向量組中極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)，記為rank(A)。它滿足以下性質(zhì)：1）2）對于矩陣A，；3）若A是n階方陣且秩為n，那么A是非奇異的，即|A|存在。1.4 矩陣的特征根與特征向量l 特征根與特征向量的定義設(shè)A是n維矩陣，若存在一個數(shù)以及一個非零的n維列向量c，使得，那么就是A的特征根，c就是A的特征向量。通過求解特征方程得到特征根，再計算其特征向量。l 特征根和特征向量滿足的性質(zhì)：1）所有特征根的和等于A的跡；2）所有特征根的乘積等于A的行列式；3）非零特征根的數(shù)目等于A的秩；1.5 一些重要的矩陣l 正交矩陣對于維向量和，稱以下運算為和的

5、內(nèi)積：。向量的長度定義為。若，則稱為單位向量。若，則稱向量、正交。如果階方陣滿足，則稱為正交矩陣。方陣為正交矩陣的充要條件就是的所有行（列）向量都是單位向量，而且兩兩正交。l 對稱矩陣如果階方陣滿足，則稱為對稱矩陣。l 冪等矩陣若n階方陣，那么M稱為冪等矩陣。冪等矩陣的性質(zhì)：1）冪等矩陣的特征根或者是1或者是0，所以它的秩等于它的跡；即rank（M）tr(M)；2）M是半正定的。例子（一個常用的冪等矩陣）給定一個列向量以及元素全為1的維列向量，那么有：；(用內(nèi)積表示多元素相加)令， 易證是對稱冪等矩陣，因此；，也就是說左乘矩陣能使Y中的原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成離差形式。；此外，都是對稱冪等矩陣，前者秩等

6、于k，后者秩等于nk。1.6 二次型與正定矩陣含有n個變量的二次齊次函數(shù)的一般形式是；并約定， 那么二次型可以表示為，其中的n階對稱矩陣，是數(shù)量，是n維列向量。正定矩陣、半正定矩陣若對于任意的非零向量，都嚴(yán)格為正，那么A就稱為正定矩陣；若對于任意的非零向量，都非負(fù)，那么A就稱為非負(fù)定矩陣。正定矩陣的性質(zhì)：1）實對稱矩陣A是正定（半正定）的充要條件是A所有的特征根都是大于零（不小于零）的。2）若A是正定，也是正定。3）若A是正定，B是非奇異矩陣，那么是正定的。4）若A是矩陣，那么和都是半正定矩陣；若A是矩陣，而且，那么是正定矩陣，因此也是非奇異的。1.7 線性二次型的微分運算假設(shè)一個多元函數(shù)，那么一個梯度向量為；海賽矩陣（二階偏導(dǎo)矩陣）為通常涉及的一些運算：1）當(dāng)，那么。2）令，是給定的向量，那么。3）令二次型，A是給定的對稱矩陣，那么；例子：1.8 隨機向量的分布與數(shù)字特征l 協(xié)方差矩陣 設(shè)Y是一個由多個隨機變量組成的向量，即，那么Y的期望為，Y的協(xié)方差矩陣為對于n個隨機變量的線性組合，有l(wèi) 多變量的正態(tài)分布XN(m,S)，其中X為n維列向量，常被稱為正態(tài)向量；為期望向量，S為協(xié)方差矩陣。X的密度函數(shù)為.l 正態(tài)向量的線性函數(shù)若，那么l 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量的二次型若，A是冪等矩陣，那么