有關(guān)定義域和值域的逆向問(wèn)題精

1、第3頁(yè)(共4頁(yè))定義域和值域的逆向問(wèn)題定義域和值域的逆向問(wèn)題，是數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，解決好此類問(wèn)題，可以鍛煉同學(xué)們的逆向思維能力，因此要重視此類問(wèn)題的解決。一、已知定義域求值域o + bx例1求定義域在-1,1上的函數(shù)y = 0 b-(a b 0)的值域。a bx2a解：函數(shù)式變形為 y - -1，顯然yz-1a bx由原函數(shù)表達(dá)式可得 -=a(y 1)。b(y+1)又-1 EX叮，得-仁a(y 一1)乞1 ,b(y+1)解得a -ba b即此函數(shù)的值域?yàn)?色辿,匚衛(wèi)。ILa b a -b注：此法是把函數(shù)式視為關(guān)于-的方程，解出x,再運(yùn)用已知的定義域，解關(guān)于y的不等式求得值域。二、已知值域求定義

2、域2x -1例2已知函數(shù)y的值域是y | y咗0或y _ 3，求此函數(shù)的定義域。x T2x T1解：由 0，解得丄 x 1 ox -122x -1由3，解得1 ： x乞2 ox -1此函數(shù)的定義域?yàn)? x 11蘭x蘭2且xH1? o注：此題直接由函數(shù)值域得出表達(dá)式的不等式，進(jìn)而求得定義域，同時(shí)還可以利用反比例函數(shù)圖象直觀地得出結(jié)論，同學(xué)們不妨試一試。三、已知定義域求解參數(shù)問(wèn)題例3已知函數(shù)f(x) = J(a2 1)x2+(a1)x+的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取a +1值范圍。2 2 2 解：由題意知R時(shí)，(a - 1)x (a-1)x0恒成立。a +1(1)當(dāng)a2 -1 =0且a 1 = 0時(shí)，

3、有a=1，此時(shí)f(x)=1，顯然對(duì)x R時(shí)，2 2 2(a2 -1)x2 (a -1)x0恒成立。a +1”a2 -1 a0(2 )當(dāng)a21式0時(shí)，有<222 解不等式組得A =(a_1)2 _4(a2 _1)<0l.a+11 ： a 乞 9。綜上知，當(dāng)R時(shí)，使得f (x)有意義的a的取值范圍是1, 9。注：此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，但要注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)的分類討論。四、已知值域求解參數(shù)問(wèn)題2x2 + ax + b例4 已知函數(shù)y =2的值域?yàn)?, 3，求a、b的值。x +1解：由題意知R，把原函數(shù)變形為(y-2)x2 - ax y-b =0當(dāng)y -2 =0時(shí)，滿

4、足題意當(dāng) y-2=0 時(shí)，因 xR ,所以尺=a2 -4(y-2)(y-b) _ 0 ,即224y -4(b，2)y，8b-a -0 。因 1_y_3 ,所以 1 和 3 是方程224y4(b 2) y ' 8b - a0的兩個(gè)實(shí)根，由韋達(dá)定理解得 a - 2, b = 2。注：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于把求值域的問(wèn)題和解一元二次不等式的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，最后通過(guò)比較同解不等式的系數(shù)，列方程求出參數(shù)的值。五、已知定義域和值域求解參數(shù)問(wèn)題例 5 已知二次函數(shù) f (x) = ax2 bx c( 0)滿足條件 f (x 5) = f (x3), f(2)=0,且方程f(x)二x有兩個(gè)相等實(shí)根。問(wèn)是否

5、存在實(shí)數(shù) m、n(m ： n)，使得f (x) 的定義域?yàn)閙, n時(shí)，值域?yàn)?m, 3n。如果存在，求出 m、n的值；如果不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由。解：因f(-X 5) = f (x -3)，所以函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x-y，可得舟J由 f (2) =0,得 4a 2b c =0因方程f(x)二x有兩個(gè)相等實(shí)根，即.'：=(b d) '4ac = 0ax2 (b - 1)x c = 0有相等實(shí)根，所以1將代入，得c = 0。由知，b=l，所以a = -丄。21 2 1 2 1 1 則 f (x) x x (X - 1)2 2 2 21 1所以3n _ ，即n _ 。6f

6、(x)在m, n上單調(diào)遞增，假設(shè)存在滿足條件的m、n,則' 1 2f (m) = 一 m + m = 3m1 2f (n) n n = 3nI 2解得丿m= 0或- 4n =減 _4第4頁(yè)(共4頁(yè))1又m ： n，貝U m=-4 , n=0,即存在 m=-4 , n=0滿足條件。6注：解決定義域和值域共存問(wèn)題時(shí)，不要盲目進(jìn)行分類討論，而應(yīng)從條件出發(fā)，分析和探討出解決問(wèn)題的途徑，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而使問(wèn)題得以解決。1.求下列函數(shù)的值域:522x2 -4x 32x 1: y: y =x 2、1 -x 2。3x 22.求函數(shù)y - x - x(x 一 0)的最大值。答案:1. y(0,5(提示：5UM 1，而 2(x)2，1所以02(x -1)2 1<1，可得0：2(x 一1)21第4頁(yè)（共4頁(yè)）另外，原函數(shù)變形為 2yx2 4yx亠3y5 = 0 ,因x三R ,所以：=（_4y）2 -4 2y（3y -5）亠 0 ,2即 y -5y 豈 0,0 < y < 5且 y = 0)2 77（提示:7 ，而 70，所以3 3(3x-2)3(3x-2) y(一匚*,4(提示：因 y -1 - x -1)2 4，所以 y 三(-：,4。另外，令 t = J -x(t _0)，則 x =1