橢圓綜合測試題含答案

1、高二數(shù)學橢圓測試、選擇題:1 離心率為2，長軸長為6的橢圓的標準方程是（）32 2 2 /八x討，x(A)1( B) 一9592 y_521或52y92 2x y1 (C)36202 x1( D)3622 2y1 或xy12020 362.動點P到兩個定點 F1 （-4 ,0) F2(4,0）的距離之和為8,則P點的軌跡為（）A.橢圓 B.線段F1 F2C.直線F1F2D不能確定22 y3已知橢圓的標準方程x1，則橢圓的焦點坐標為（）10A.（而0）B.（0,10） C. （0, 3）D. （ 3,0）224已知橢圓 -1上一點P到橢圓的一焦點的距離為3,貝U P到另一焦點的距離是（）59a

2、a 2A.( 2,)B.2, 12,C.(,1)(2,)D.任意實數(shù)R2 2xy6方程222(x1 (a >b> 0,k >0 且 k豐 1)與方程一22【2 1（a> b> 0）表示的橢圓（ka kbabA.有相同的離心率；B.有共冋的焦點；C.有等長的短軸.長軸；D.有相同的頂7“ m> n>0 ”是“方程2 2mx ny1表示焦點在y軸上的橢圓的”()A.2%/5 3B.2C.3D.62 25如果 篤 1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù) a的取值范圍為（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.若以橢圓上一點

3、和兩個焦點為頂點的三角形的最大面積為1，則長軸長的最小值為（）A.1B.2C.2D.2. 29.橢圓焦點為F1 ,F2 ,過F1的最:短弦PQ長為10,PF?Q的周長為36,則此橢圓的離心率為( )A仝B.1C.-D.亡3333210.橢圓2y_1的一個焦點為F1，點P在橢圓上且線段 PF1的中點M在y軸上，則點M的縱123坐標為 （)A GB.C.3D.4224二、填空題：（本大題共4小題，共16分.）13若一個橢圓長軸的長度短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2 2X y14 橢圓1上一點P與橢圓兩焦點 Fi, F2的連線的夾角為直角，貝URtA PF1F2的面積4924為.1

4、5.中心在原點，焦點在x軸上且過兩點P(3,2,7) , Q( 6, 7,7)的橢圓方程為2 216、在橢圓 乞= 1內(nèi)，過點(2, 1)且被這點平分的弦所在的直線方程是 164三、解答題：2 217、(12分)當m取何值時，直線I : y x m與橢圓9x 16y144相切，相交，相離?18. (12分)已知點2xM在橢圓一252-1上，M P垂直于橢圓焦點所在的直線，垂直為9P',并且M為線段P P'的中點，求P點的軌跡方程x2 y219 (12分)設(shè)F1, F2分別為橢圓C:二 2 1 (a b 0)的左、右焦點，過 F2的直線l與橢 a b圓C相交于A, B兩點，直線I

5、的傾斜角為60°, F1到直線l的距離為2 3 .(I)求橢圓C的焦距；uuunuum(n)如果AF2 2F2B,求橢圓C的方程.2 220 (12分)設(shè)橢圓C:冷篤 1(a b 0)的左焦點為F,過點F的直線與橢圓C相交于A, a bumruuuB兩點，直線l的傾斜角為60°, AF2FB .(I) 求橢圓C的離心率；15(II) 如果|AB|= ，求橢圓C的方程421( 12分)在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(-1,1 )關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線1AP與BP的斜率之積等于-3'(I )求動點P的軌跡方程；(n )設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于

6、點M,N，問：是否存在點 P使得 PAB與厶PMN勺面積相等？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，說明理由。222x(14分)已知橢圓ab21 (a>b>0)的離心率e=-3，連接橢圓的四個頂點得到的菱形2的面積為4.(I)求橢圓的方程；(n)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點 A、B,已知點A的坐標為(-a, 0)(i)若|AB|= 4-2，求直線l的傾斜角;5(ii)若點Q( 0, yo)在線段AB的垂直平分線上，且 QA?QB 4 .求 y的值橢圓(二)參考答案1選擇題:題號123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義

7、【解析】設(shè)直線I為橢圓的有準線,e為離心率，過 A，B分別作AAi，BBi垂直于I，Ai，B為垂足，過B作BE垂直于AAi與E，由第二定義得,佔| =凹.|畤凹ee得92竽；設(shè)上抽為加筠攤為2蘇焦距為2-則畏卩 a + c - 26 (j + c): = 4枳=4(d: -G1)整雀得：Stf4 Flflc2 =0. tP Sa +2e-3 = 0 e = -®c = -1(® J 選 B10【解析】由題意,f （-i , 0）,設(shè)點 P（x）, y°），則有2X。4X。1,解得 y 3(1°),4uur 因為FPuuu(Xo 1, y。), OPuuu

8、 uuu(Xo,y。)，所以 OP FPXo(Xo 1)2y。uur mu=OP FPXo(Xo 1)3(12X。4X。3，此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為X。因為2X。2 ,所以當X。uuu2 時，OPuuu22FP取得最大值46，選 Co【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學們對基礎(chǔ)知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算能力。11 解析：由題意，橢圓上存在點P,使得線段AP的垂直平分線過點 F ,即F點到P點與A點的距離相等2 2 ab而 | FA| = c cc| PF| a c, a+ c于是b2 a c,a +

9、c c即 ac c2w b2w ac + c22 2 2 ac cac 2 2 2 acac c又 e (0,1)故 e ,12答案：D 12 （2010湖北文數(shù)）9若直線y X b與曲線y 3 '4X x2有公共點，則b的取值范圍是A. 12,2,1 2.2B.1.2,3C.-1, 12 2D.122 ,3j【答畫】D【解析】曲SM方理可化簡為一 2)4(/-務(wù)4(1勺0BP浸示圓心為(L 3)半徑為1的半朗，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當宜讎丿二工與此半國相切時須滿足®tU2, 3)S1直iS? =x-J距畫無于,解得“齢2血或i.i-?©,因為是F半?yún)^(qū)故可馮4t = l&#

10、177;2-/2 (舍h臺直賤過(Di 3) GJ.解得b=久放1-20審所以DIE確屮二、填空題：(本大題共4小題，共16分.)13若一個橢圓長軸的長度短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2 2X V14 橢圓1上一點P與橢圓兩焦點 F1, F2的連線的夾角為直角，貝URtA PF1F2的面積4924為15 (2010全國卷1文數(shù))(16)已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的uiruur延長線交C于點D ,且BF 2FD，則C的離心率為【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程【解析1】如圖，|BF | b2 c2 a,與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形

11、 結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù) 研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題 的捷徑uuruur|OF |IDDj|BF |BD|作DD1 y軸于點D1,則由BF 2FD，得-所以 | DD! | 3 |OF | 3c,322即Xd西，由橢圓的第二定義得|FD |2e巨 3c)c 23c2a2a【解析2】設(shè)橢圓方程為第一標準形式2 X2a又由 |BF | 2|FD |,得 a 2a 竺a1 ,Xc0 2x21 2X2332Xc 2c;ycb 2y21 2y23yc b 3 0b號，代入94 a24 b23616 (2x 2010湖北文數(shù)）15.已知橢圓c: 2 的兩焦點為

12、Fi,F2 ,點P（xo, yo）滿足2X0y01,則|PFj+PF2|的取值范圍為【答案】【解析】2,2 . 2 ,0依題意知，點P在橢圓內(nèi)部.畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得，當P在原點處時(|Ph | |PF2 |)max 2，當P在橢圓頂點處時，取到（| PF | | PF2 Dmax為(21) =2 2故范圍為 2,2遼.因為（x0，y0）在橢圓21的內(nèi)部，則直線x Xoyo1上的點（X, y）均在橢圓外，故此直線與橢圓不可能有交點，故交點數(shù)為二填空題:31314 241552,2 . 2 ,0三.解答題:17解:設(shè)p點的坐標為p（x, y）， m點的坐標為（X0,y°），由題意可

13、知X0X0X2 y0y y0 -因為點2m在橢圓25f 1上，所以有2X。252Yq9把代入得2 x251，所以P點的軌跡是焦點在 y軸上，標準方程2y1的橢圓.18.解:由已知e所以 m b2a2 c245 25 20(2)根據(jù)題意SABFS/F1F2B 2°，設(shè) B(x,y)，則 SVf1f2b 那吋2 y| , F 2c 10,2 2所以y 4，把y4代入橢圓的方程 乂 1，得x3，所以B點的坐標為(3, 4),452044所以直線AB的方程為yx或yx3319( 2010遼寧文數(shù))(20)(本小題滿分12分)x2 y2設(shè)Fi，F(xiàn)2分別為橢圓C:二 2 1 (a b 0)的左、

14、右焦點，過 F2的直線I與橢圓C相 a b交于A, B兩點，直線I的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2、3.(I)求橢圓C的焦距；uuunuum(n)如果af2 2F2B,求橢圓C的方程解：(I)設(shè)焦距為2c,由已知可得F1到直線I的距離3c 2.3,故c 2.所以橢圓C的焦距為4.(n)設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),由題意知 yi 0, y? 0,直線 I 的方程為 y . 3( x 2).y聯(lián)立 x22 a' 3(x 2),y2得(3a2 b2)y2 4 ,3b2y 3b4 0.1b21解得yi-妊2(2 2a)蟲b2(2 2a)2 , 2 , y2

15、2 , 2 . 3a b3a buuju因為AF2jjjj2F2B,所以 y1 2y2.即、3b2(2 2a)2、3b2(2 2a)即卩222223a b3a b得 a 3而a2 b24,所以 b 5.22故橢圓C的方程為1.9520 (2010遼寧理數(shù))(20)(本小題滿分12分)2 設(shè)橢圓C:務(wù) a2占 1(a b 0)的左焦點為F,過點F的直線與橢圓C相交于A , B兩點, buuuuuu直線I的傾斜角為60°, AF 2FB .(III) 求橢圓C的離心率；15(IV) 如果|AB|=，求橢圓C的方程4解:設(shè) A(x, yi), B(x2, y2)，由題意知 y v 0, y

16、2 >0.(I)直線I的方程為 y、3(x c)，其中 c . a2 *b2 .y聯(lián)立x2zva 3(x c), y2得(3a?1b21b2)y2 2 . 3b2cy 3b4解得y1、.3b2(c 2a)3a2b2,y2、.3b2(c 2a)3a2b2uur 因為AFuuu2FB ,所以yi2y2 .即3b2(c 2a)3a2 b22?、,3b2(c 2a)3a2 b2c得離心率 ey2 yi，所以(n)因為2 ? 4 , 3ab23 ' 3a2b2由2得b逍a.所以5a 15 a 337，得a=3, b12分21 (2010北京理數(shù))(19)(本小題共14分)在平面直角坐標系

17、xOy中,點B與點A( -1,1 )關(guān)于原點O對稱，P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于(I )求動點13.P的軌跡方程;(n)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點 P使得PAB與 PMN的面積相等？若存在,求出點 P的坐標；若不存在，說明理由。(1, 1).(I)解：因為點B與A( 1,1)關(guān)于原點O對稱，所以點B得坐標為設(shè)點P的坐標為(x,y)由題意得化簡得4(x1).故動點P的軌跡方程為x23y24(x1)(II)解法一：設(shè)點P的坐標為(xo,y。)，點M , N得坐標分別為(3, yM ),(3, yN ).則直線AP的方程為y 1yo1Xo1(x 1)，直

18、線BP的方程為y令x 3得yM4 yoxo3XoyN2 yoxo3Xo1于是VPMN得面積1S/PMN I Ym2yN1(3xo)2Ixo yo 1(3 xo)Ixo2 1|又直線AB的方程為x|ab|2、2，點P到直線AB的距離|Xo、2yo ISVPAB當 SVPABSVPMN又I Xoyol o，所以(3xo)2=l2 因為Xo23yo于是VPAB的面積1jABIgd時，得|x0故存在點Ix)yolyo I2xo 11，解得 | xo4，所以yo2|xo y°|(3 Xo)Ixo2 1|339P使得VPAB與VPMN的面積相等，此時點 P的坐標為(i-33、v).解法二：若存在

19、點 P使得VPAB與VPMN的面積相等，設(shè)點 P的坐標為(x0, y0)1 1則 § |PA|gPB|sin APB ?|PM|gPN|sin MPN .因為 sin APB sin MPN ,所以ipai竺|PM | PB|3 xo|x 1|225即(3 xo) |x01|，解得xo -2 2因為X。 3yo 4，所以y09故存在點PS使得VPAB與VPMN的面積相等，此時點P的坐標為（|,22（ 2010天津文數(shù)）（21）（本小題滿分14 分）2 2已知橢圓x_爲a b31 （a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為24.（I）求橢圓的方程；（H）設(shè)直線I與橢圓相交于不同的兩點 A、B,已知點A的坐標為（-a, 0）（i）若| AB|=仝2，求直線|的傾斜角;5uuir uuu（ii）若點Q（ 0, y。）在線段AB的垂直平分線上，且 QA gQB=4 .求y。的值.【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點間的距離公式、直 線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識， 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想,考查綜合分析與運算能力.滿分14分.（I）解：由c e= a3，得 3 a24 c221由題意可知一22a2b 4，即 ab=2.解方程組a2b,得 a=2, b=1.ab2,ooO.再由cab