第三章矩陣初等變換與線性方程組

1、章節(jié)Ch3課題矩陣的初等變換與線性方程組計劃課時數(shù)10授課班級04級計算機系專升本10-13教學目的能熟練進行初等變換；掌握初等矩陣、初等矩陣與初等變換的聯(lián)系；理解矩陣等價的概念；熟練掌握用初等變換求逆矩陣的方法；理解矩陣秩的概念；掌握其求法；掌握秩的一些基本性質(zhì)；理解線性方程組的有解判別定理；掌握求通解的第一種方法。教學重點用初等變換求逆矩陣的方法；理解矩陣等價的概念；秩的概念及求法；線性方程組的有解判別定理；求通解的第一種方法。教學難點初等矩陣與初等變換的聯(lián)系；秩的性質(zhì)及其證明方法；計算準確性的保證。教學方法和手段 講授、習題課、答疑備注教 學 內(nèi) 容批注第三章 矩陣的初等變換與線性方程組

2、 本章先引進矩陣的初等變換和初等矩陣，建立矩陣的秩的概念，并利用初等變換討論矩陣的秩的性質(zhì)討論線性方程組無解、有惟一解或有無窮多解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法。§1矩陣的初等變換矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求解逆矩陣以及矩陣理論的探討中都可起重要的作用。為引進矩陣的初等變換，先來分析用消元法解線性方程組的例子。1、 引例求解線性方程組 （1）2、 初等變換（行、列）定義 設是矩陣，下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1） 交換的第行和第行的位置，記為；（2） 用非零常數(shù)乘以的第行各元素，記為；（3） 將的第行各元素的倍加到第行對應

3、元素，記為。若把定義中的行改為列，便得到三種對應的初等列變換，記號分別為；。矩陣的初等行（列）變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。例如：教 學 內(nèi) 容批注 值得注意的是，初等變換將一個矩陣變成了另一個矩陣，在一般情況下 ，變換前后的兩個矩陣并不相等，因此進行初等變換只能用來表示，而不能用等號。另外，矩陣的初等變換可以逆向操作，即若矩陣經(jīng)過、變換成了矩陣，那么對施以及，就可以將矩陣復原為矩陣。3、矩陣的等價定義 如果矩陣經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣，則稱與矩陣行等價，簡記為。如果矩陣經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣，則稱與矩陣列等價，簡記為。如果矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣，則稱等價于矩陣，簡記為。由定義可

4、以得到以下關于矩陣等價的一些簡單性質(zhì)： (1) 反身性：；(2) 對稱性：則；(3) 傳遞性：且，則。應用初等變換來求解引例，對照以下過程4、階梯形矩陣、行最簡矩陣、等價標準形（1）階梯形矩陣（2）行最簡矩陣：非零行的第一個非零元素為1，并且這寫非零元所在列的其他元素為0（3）等價標準形定理任意矩陣都與形如的矩陣教 學 內(nèi) 容批注 等價。矩陣稱為矩陣的標準形。（數(shù)滿足）證分兩種情況討論：（） 若則，結論顯然成立；（） 若則總可以通過第一種初等變換將變換成左上角位于第一行第一列的元素不為零的矩陣。故不失一般性，不妨假設，對施行初等變換如下：令若則已經(jīng)是標準形了。若同樣不妨可以假設，繼續(xù)對進行初等

5、變換，得教 學 內(nèi) 容批注再令重復以上步驟，必可得到矩陣的標準形。特別，當時，的標準形為 當時，的標準形為當時，的標準形為例：把化成行最簡形，其中教 學 內(nèi) 容批注§2 初等矩陣一、初等矩陣定義 單位矩陣經(jīng)過一次初等變換后所得矩陣稱為初等矩陣。 三種初等變換對應著三種初等矩陣，它們分別為：1、對調(diào)兩行或者兩列把單位矩陣中第，兩行對調(diào)（），得到初等矩陣：用階初等矩陣左乘矩陣，得=教 學 內(nèi) 容批注很顯然，其結果相當于對矩陣施行第一種初等行變換。類似上述做法，以階初等矩陣右乘矩陣，其結果相當于對矩陣施行第一種初等列變換。2、 以數(shù)乘某行或者某列 以數(shù)乘單位矩陣的第行（得到初等行矩陣： =

6、由矩陣的乘法，容易驗證：以左乘矩陣，結果相當于以數(shù)乘的第行，同理可證，右乘矩陣相當于數(shù)乘的第列。 3、以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去。 以數(shù)乘單位矩陣的第行加到第行上（）（或以數(shù)乘單位矩陣的第列加到第列上（），得到初等矩陣：教 學 內(nèi) 容批注不難驗證：以左乘矩陣，結果相當于把的第行乘數(shù)加到的第行上，右乘矩陣相當于把的第列乘數(shù)加到的第列上。綜上所述，得到矩陣的初等變換和初等矩陣之間的關系如下：二、初等矩陣的應用定理對矩陣，施行一次初等行變換，相當于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在的右邊乘以相應的階初等矩陣。顯然，初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣仍是初等矩陣，容易驗

7、證：，。定理 矩陣A可逆A可分解成若干個初等矩陣之積 （證明過程要講一下）推論 矩陣A可逆A與單位陣等價； 推論 設和都是矩陣，則等價于的充分必要條件為存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得教 學 內(nèi) 容批注 三、求逆方法設矩陣可逆，則由推論知存在有限個初等矩陣，使得 =則 成立此式表明可經(jīng)一系列初等行變換變成；另外 也成立此式表明可經(jīng)這同一系列初等行變換變成。若構造一個矩陣，則有 =即對矩陣作初等行變換，當變成時，原來的就是了。當為可逆矩陣時，用初等行變換求逆矩陣的方法可簡記為 例 用初等行變換法求矩陣=的逆矩陣。 教 學 內(nèi) 容批注在矩陣方程中，如果是可逆陣，則有唯一解： 若構造矩陣，同上述討論

8、可得：當對其進行初等行變換時，化其中的為時，就變?yōu)榱?。即?用初等行變換解矩陣方程，其中 ， 。 另外，如果求，則可對矩陣作初等列變換，使 即可得到，不過通常都習慣作行變換，那么可該為對作初等行變換，使得 即可得到，從而求得教 學 內(nèi) 容批注§3、矩陣的秩 矩陣的秩是矩陣的一個重要數(shù)字特征，它反映出該矩陣所代表的線性變換某種特性的不變量。利用它，可以證明矩陣標準形的唯一性，在線性方程組的理論研究中也有很重要的作用。 1、階子式、最高階非零子式 （1）階子式 定義 在矩陣中，任取行和列，由這些行和列交點上的個元素按原有順序構成的一個階行列式，稱為矩陣的一個階子式。 顯然，矩陣的階子式有

9、個。 （2）最高階非零子式定義 矩陣中，有一個階子式不為零，而任意階子式均為零，稱為矩陣的最高階非零子式，稱數(shù)為矩陣的秩，記為并規(guī)定零矩陣的秩為0。 2、矩陣的秩的有關結論 （1）有一個階非零子式；（2）的所有子式均為零。 由行列式的性質(zhì)可知，當矩陣中所有階子式都為零時，所有高于階的子式也全為零，因此的秩就是中不為零的子式的最高階數(shù)。（3）滿秩矩陣和降秩矩陣（對于方陣的分類） 3、矩陣的秩的求法（1）子式判別法即用定義判別：求最高階非零子式。適用于低階矩陣或特殊矩陣。教 學 內(nèi) 容批注 例1：求A、B的秩，其中，2。3（2）利用初等變換化為階梯形矩陣常用方法例2：求A的秩，并求A的一個最高階非

10、零子式，其中。3 （3）利用三秩相等定理轉為向量組的秩下一章介紹 4、秩的一些基本性質(zhì)及證明a、；b、c、 證明提要：等價矩陣具有相同的標準形注：其逆不真，加上條件為同型矩陣，則逆命題為真 d、可逆初等變換不改變矩陣的秩 e 、分別對中的作列變換化為，可得中僅有個列非零，中僅有個列非零，故中仞有個列非零，所以第二個不等式成立教 學 內(nèi) 容批注f、g、下節(jié)證明h、下章證明§4、線性方程組的解設線性方程組為 其中，當時，稱為非齊次線性方程組；當時，稱為齊次線性方程組若線性方程組有解，則稱該線性方程組相容，否則稱為不相容本節(jié)我們要研究非齊次線性方程組相容的充要條件，以及相容時，方程組有唯一

11、解還是有無窮多解 1、有解判別定理及證明定理 元線性方程組 （1）無解的充分必要條件是 （2）有惟一解的充分必要條件是； （3）有無限多解的充分必要條件是。證明：先用初等行變換把與化簡設，則中必有一個不等于零的階子式，可通過改變方程位置以及未知量重新編號，將它調(diào)至的左上角，顯然這樣的變換不改變方程組的相容性所以，可不妨假設的左上角的階子式不等于零，它所對應的階矩陣是可逆矩陣從而可僅僅利用初等行變換將該階子陣變?yōu)殡A單位矩陣對增廣矩陣的前行施行相應的初等行變換可得教 學 內(nèi) 容批注再繼續(xù)做適當?shù)某醯刃凶儞Q可得矩陣其中C為矩陣，D為矩陣，顯然由于，則cij=0 (i=r+1，m；j=r+1，n)若不

12、然，則有某個(，)，則C中有階子式教 學 內(nèi) 容批注這與矛盾于是C中右下角的(mr)×(nr)子陣為零矩陣，進而對的后行施行適當?shù)某醯刃凶儞Q，有 其中當dr+1，dm全為零時，d=0；當dr+1， dm不全為零時，d0而且有 矩陣對應的線性方程組為 方程組*與原方程組同解由此，我們可給出充要條件的證明必要性：設方程組相容，于是方程組×也相容，則必須d=0易得 充分性：設，于是d=0，則方程組*有解所以原方程組也有解，且解可表示為 教 學 內(nèi) 容批注 *（1）當時，線性方程組無解；（2）當=時，由*式得，方程組有唯一解 x1=d1，x2=d2，xn=dn； (3)當時，在*式中xr+1，xn作為自由未知量，當任意給定一組數(shù)時，由*可相應得到未知量的值，從而得到方程組的一個解因此，這時方程組有無窮多解，這些解的全體，即方程組的通解可表示為其中為任意常數(shù)定理給出了線性方程組的定性理論，而其證明則提供了求解相容線性方程組的方法即對增廣矩陣施行適當?shù)某醯刃凶儞Q，若， 教 學 內(nèi) 容批注則找出不等于零的階子式，并使對