2015高中數(shù)學(xué)必試部分的重要知識(shí)點(diǎn)(30頁(yè))

1、2015高中數(shù)學(xué)重要(必試)(帶號(hào)部分為理解難點(diǎn))基本數(shù)據(jù)和公式：111213141516171819121144169196225256289324361152535455565758595225625122520253025422556257225902523456789108276412521634351272916326412825651210241.4141.73222.2362.4492.6462.82833.162常用勾股數(shù)：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41； 11，60，61e2.71828 (無(wú)理數(shù)) o3.14 (無(wú)理數(shù))lg20.3010

2、lg30.4771黃金分割比：平方差公式：x2y2(xy)(xy)完全平方和（差）公式：(xy)2x22xyy2三數(shù)和平方公式：(xyz)2x2y2z22xy2xz2yz立方和（差）公式： 完全立方和（差）公式： 比例性質(zhì)：(確保分母不為0)常見(jiàn)的角及其范圍：張角(視角)： (0，o)俯角、仰角：水平方向向下或向上與視線成的角， (0，)方位角：正北方向順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)的角，一般用于海面上的測(cè)量與計(jì)算，0，2o)方向角：如北偏東40°(也可說(shuō)是東偏北50°)等坡度：路面或山坡與水平線成的角，(0，) 直線的傾斜角：0，o)異面直線所成的角：(0， 斜線與平面所成的角：(0，)

3、直線與平面所成的角：0， 二面角：0，o直線的傾斜角a0，o) 平面向量夾角的取值范圍：0ho三角形的“心”名稱(chēng)定義（概念）圖形性質(zhì)位置個(gè)數(shù)重心三條中線的交點(diǎn)ABCDEFG內(nèi)部1個(gè)外心外接圓圓心三條中垂線的交點(diǎn)AFBDCEOOAOBOC(到三頂點(diǎn)等距離) 內(nèi)部(銳角三角形)斜邊中點(diǎn)(直角三角形)外部(鈍角三角形)1個(gè)內(nèi)心內(nèi)切圓圓心三條角平分線的交點(diǎn)ABFCDIEIDIEIF(到三邊等距離)內(nèi)部1個(gè)垂心三條高的交點(diǎn)ABCDEHFAHBCBHACCHAB內(nèi)部(銳角三角形)直角頂點(diǎn)(直角三角形)外部(鈍角三角形)1個(gè)旁心旁切圓圓心到三邊(直線)等距離外部3個(gè)當(dāng)ABC為正三角形時(shí)，重心，外心，內(nèi)心，垂

4、心四“心”合一，此時(shí)稱(chēng)為中心，正多邊形都有唯一的中心特殊多邊形：ABCDEFAFBFCFDFABCDEFMNABCDFFE(1)E、F分別是正方形ABCD兩邊BC、AB中點(diǎn)，則AEDF(2)E、F分別是矩形ABCD兩邊BC、AD中點(diǎn)，BCAB (正方體的對(duì)角面就是這樣的矩形)，則AEBD，CFBD且M、N三等分BD(3)由兩個(gè)等邊三角形拼成的菱形：ACAB(4)邊長(zhǎng)為a的正六邊形，則AEAB，AEa，集合：1集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性2注意區(qū)分集合中元素的形式，一定要抓住集合中的代表元素如： xxylgx指函數(shù)ylgx的定義域(0，)； yxylgx指函數(shù)ylgx的值域R；

5、(x，y)xylgx指函數(shù)ylgx圖象上所有點(diǎn)的集合 特別要注意括號(hào)中的附加條件，如xZ，xN等【問(wèn)題】(1)設(shè)集合Mxxy3，集合Nyxy(x1)2，xM，則MN (2)Mx(1，2)(3，4)，R，Nx(2，3)(4，5)，R，則MN (3)設(shè)全集U(x，y)xx、yR，M(x，y)x1，N(x，y)xyx1，則ÚU(MN) 答案：(1) 0，1 (2) (2，2) (3) (2，3)3集合a1，a2，an的子集個(gè)數(shù)為 真子集個(gè)數(shù)為；非空子集個(gè)數(shù)為；非空真子集個(gè)數(shù)為4ABABAABB (AB時(shí)別忘了AÆ 的情況)【問(wèn)題】(1)滿足1，2GMÍ1，2，3，4，5

6、的集合M有 個(gè) (2)Axxx23x40，Bxxax10，ABB，則a (3)Axxax22x10，如果ARÆ，求a的取值范圍 答案： (1) 7 (2) 0，1， (3) a0 5德摩根公式： ÚU(AB)(ÚUA)(ÚUB) ÚU(AB)(ÚUA)(ÚUB)邏輯：原命題：AB 逆命題：BA否命題：¬ A¬B 逆否命題：¬ B¬A1四種命題：注：原命題與其逆否命題是等價(jià)命題 (否命題與逆命題也是等價(jià)命題)， 對(duì)于一個(gè)命題直接研究有困難時(shí)，可轉(zhuǎn)為研究其等價(jià)命題來(lái)得到結(jié)果2若AB，則 A

7、是B的充分條件 B是A的必要條件 B的充分條件是A A的必要條件是B注：1°四種說(shuō)法實(shí)質(zhì)是一回事 2°要回答“甲的充分條件是 ? ”，實(shí)質(zhì)是要考察“?甲”3復(fù)合命題真假的判斷：p與非p 一真一假p且q 同真才真 (有假即假)p或q 同假才假 (有真即真)pq為假，pq為真p與q一真一假3命題的否定(1)全稱(chēng)命題的否定是存在性命題，全稱(chēng)命題“xM，p(x)”的否定形式為“xM，p(x)”存在性命題的否定是全稱(chēng)命題，存在性命題“xM， p(x)”的否定形式為“xM，p(x)”4命題的否定：只否定結(jié)論 原命題的否命題：既否定條件又否定結(jié)論5復(fù)合命題的否定：p且q 的否定： p或q

8、p或q 的否定： p且q 函數(shù)：1求函數(shù)定義域的常用方法：由解析式有意義的條件列不等式 分式分母不為0；偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；對(duì)數(shù)式真數(shù)為正；對(duì)數(shù)式、指數(shù)式底數(shù)為正且不為1 2求函數(shù)值域的常用方法： 直接法(常結(jié)合圖象，利用函數(shù)單調(diào)性求，如求二次函數(shù)值域，對(duì)于三次函數(shù)一般要求導(dǎo)) 逆求法(如求一次分式函數(shù)y，xm，n；y；y；y等的值域) 練習(xí)：求y的值域 法一：cosx，xx1 法二：y2 y，判別式法(主要用于求二次分式函數(shù)y的值域) 換元法 利用單調(diào)性 (必須能作出函數(shù)的草圖)3求函數(shù)解析式的常用方法： 湊配法：如已知f(x)x2，求f(x) f(x)x22 (xxx2) 換元法：如已知

9、f(1)1，求f(x) f(x)x22x (x1) 替換法：如已知f(x)，求f(x) f(x) 待定系數(shù)法：如f(x)為一次函數(shù)，ff(x)9x7，求f(x) f(x)3x或f(x)3x如f(x)為二次函數(shù)，f(x1)f(x1)2x24x，求f(x) f(x)x22x1 圖象法：如f(x)與y2x24x1(x2)關(guān)于x2對(duì)稱(chēng)，求f(x) f(x)2x212x17(x2)注：求函數(shù)解析式時(shí)一般應(yīng)求出其定義域4已知fg(x)，xA，求f(x)的定義域：即求g(x)在xA的值域 已知f(x)，xA，求fg(x)的定義域：即解不等式：g(x)A 練習(xí)：已知f(2x)的定義域?yàn)?1，4，則f(x)的定

10、義域?yàn)?(2，16已知f(x)的定義域?yàn)?，3)，則f()的定義域?yàn)?(，2已知f(1)的定義域?yàn)?，16)，則f(x5)的定義域?yàn)?2，0)5判斷函數(shù)奇偶性的方法：(一)利用定義 (二)利用圖象 (三)利用結(jié)論? 0? 1注：利用定義既可直接考察f(x)與f(x)的關(guān)系，也可考察：f(x)±f(x) 或6 f(x) 任何一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)都可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和7定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則必有f(0)0偶函數(shù)f(x)必有f(x)f(x)f(xxx)奇函數(shù)×奇函數(shù)偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)奇函數(shù)

11、8常見(jiàn)的奇函數(shù)： y， y，y，y， y， y函數(shù)y總是非奇非偶函數(shù)9復(fù)合函數(shù)yfg(x)的性質(zhì)：(1)奇偶性： (f與g中有一個(gè)為偶，則y為偶) 若f奇g奇，則y奇； 若f奇g偶，則y偶； 若f偶g奇，則y偶； 若f偶g偶，則y偶(2)單調(diào)性 (內(nèi)外層單調(diào)性一致則增，相異則減：同增異減)【問(wèn)題】(1)ylog3(x22x3)的增區(qū)間為 (2)y的增區(qū)間為 (3)y的減區(qū)間為 (4)定義在(2，2)上的奇函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且f(m1)f(2m1)0，則m 答案：(1) (3，) (2) 5，2 (3) (ko，ko kZ (4) (，)10函數(shù)的三種基本變換 平移變換左右平移：yf(x)

12、yf(x1)上下平移：yf(x) yf(x)1將直線y3xa先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，還會(huì)回到原來(lái)的位置嗎?不會(huì) 伸縮變換： 左右伸縮：yf(x) yf(2x) 上下伸縮：yf(x) y2f(x)注：水平方向上的變換似乎總與習(xí)慣“相反”，關(guān)鍵是弄清：x? 對(duì)稱(chēng)變換： yf(x)yf(x) (x，y)(x，y) yf(x)yf(x) (x，y)(x，y) yf(x)xf(y) (x，y)(y，x) yf(x)yf(x) (x，y)(x，y) yf(x)xf(y) (x，y)(y，x) 注：對(duì)于曲線的對(duì)稱(chēng)變換，可借助點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換來(lái)理解和掌握11函數(shù)yf(x)向右平移a個(gè)單位，再向上平

13、移b個(gè)單位，則得函數(shù)yf(xa)b方程f(x，y)0表示的圖象向右平移a個(gè)單位，再向上平移b個(gè)單位，則得方程f(xa，yb)012(1)若f(x)f(x)，說(shuō)明一個(gè)函數(shù)yf(x)具有圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)而yf(x)和yf(x)，則說(shuō)明這兩個(gè)函數(shù)具有圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的聯(lián)系(2)若f(1x)f(1x)，說(shuō)明一個(gè)函數(shù)yf(x)具有圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)而yf(1x)和yf(1x)，則說(shuō)明這兩個(gè)函數(shù)具有圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的聯(lián)系13(1) f(x)f(x2a)f(xa)f(xa)f(x)關(guān)于xa對(duì)稱(chēng)f(xa)關(guān)于x0對(duì)稱(chēng)f(xa)是偶函數(shù)f(x)xx0xaf(x+a)左移af(x)x(a,0)f(x

14、+a)左移a(0,0) 若f(xa)f(xb)，則f(x)關(guān)于x對(duì)稱(chēng)【一個(gè)函數(shù)和一半】函數(shù)f(xa)與f(xb)關(guān)于x對(duì)稱(chēng)【兩個(gè)函數(shù)列方程】(2) f(x)f(x2a)f(xa)f(xa)f(x)關(guān)于(a，0)對(duì)稱(chēng)f(xa)關(guān)于(0，0)對(duì)稱(chēng)f(xa)是奇函數(shù) 若f(xa)f(xb)，則f(x)關(guān)于(，0)對(duì)稱(chēng)【一個(gè)函數(shù)和一半】函數(shù)f(xa)與f(xb)關(guān)于(，0)對(duì)稱(chēng)【兩個(gè)函數(shù)列方程】 若f(2ax)f(x)2b，則f(x)關(guān)于(a，b)對(duì)稱(chēng)14若f(xa)f(x)，則f(x)是以|a|為周期的周期函數(shù)；若f(xa)f(xb)，則f(x)是以|ab|為周期的周期函數(shù)；若f(xa)f(x)，則

15、f(x)是以2|a|為周期的周期函數(shù)；若f(xa)，則f(x)是以2|a|為周期的周期函數(shù)；若f(xa)，則f(x)是以2|a|為周期的周期函數(shù)； 若函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa，xb對(duì)稱(chēng)，則f(x)是以2|ab|為周期的周期函數(shù)； 若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)，(b，0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)是以2|ab|為周期的周期函數(shù)；若函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa和點(diǎn)(b，0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)是以4|ab|為周期的周期函數(shù)15能正確、迅速地作出下列重要函數(shù)的草圖： y：是以為頂點(diǎn)，且在x軸上方的半支拋物線(a的符號(hào)決定開(kāi)口方向) y：是x軸上方的半個(gè)圓(將解析式變形可得圓心、半徑)推廣：y (均指在x軸上方的部分

16、) y：是以(，)為中心，x，y為漸近線的雙曲線x2yO1xyO1 對(duì)勾函數(shù)yx：增區(qū)間為：(，1和1，) 減區(qū)間為：1，0)和(0，1 yx：在(，0)和(0，)上均為增函數(shù)一般地：對(duì)勾函數(shù)yax (a、b0)的 增區(qū)間為：(，和，)；減區(qū)間為：，0)和(0，函數(shù)yax (a、b0)只有增區(qū)間：(，0)和(0，) y|axb|：“V”字形圖 y|axb|±|cxd|：用“四點(diǎn)法”作(1)解不等式：x2xxx2x3x410 x y753223.51.5(2)作函數(shù)yx2xxx2x3x的圖象(3)不等式x2xxx2x3xa的解集為R，則a(，)； 不等式x2xxx2x3xa的解集為R，

17、則a(，； 不等式x2xxx2x3xa的解集為Æ，則a(，；O x yO x yO x yyf(x)y|f(x)|yf(|x|)16已知yf(x)的圖象，能作出y|f(x)|和yf(|x|)的圖象17已知ab，能作下列函數(shù)的圖象：y(xa)xxbx yxxax(xb) y yabxabxabxabxxxa>0有極值（b23ac）a>0無(wú)極值（b23ac）xxa0有極值（b23ac）a0無(wú)極值（b23ac）18熟練掌握三次函數(shù)的圖象特征：19 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： (a0，m、nN*，且n1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： (a0，m、nN*，且n1)20對(duì)數(shù)運(yùn)算法則： 換底公式： 特例： 重要

18、恒等式：（N0） （NR）21能判斷同一坐標(biāo)系中幾個(gè)指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)函數(shù))的底數(shù)的大小關(guān)系：只要作直線x1(或y1)即可O x yy11y4y2y31O x yy1y4y2y311如上圖，同一坐標(biāo)系中有：y3x y5x y0.3x y0.7x的圖象，則曲線y1，y2，y3，y4對(duì)應(yīng)的函數(shù)依次是：如上圖，同一坐標(biāo)系中有：y1logax y2logbx y3logcx y4logdx的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系是：b>a>1>d>c>022冪函數(shù)的圖象：必過(guò)(1，1)，在第一象限中， 時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減 偶函數(shù)在第二象限中有圖象，奇函數(shù)在第三象限中有圖象，第

19、四象限中必?zé)o圖象23二次函數(shù)：yax2bxc (a0) (一般式) 對(duì)稱(chēng)軸為x，頂點(diǎn)為(，) ya(xm)2n (頂點(diǎn)式) 對(duì)稱(chēng)軸為xm，頂點(diǎn)為(m，n) ya(xx1)(xx2) (兩點(diǎn)式) 對(duì)稱(chēng)軸為x 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得解二次函數(shù)問(wèn)題的一般思路：轉(zhuǎn)化作圖列式求解研究二次函數(shù)的重要工具：開(kāi)口方向；判別式符號(hào)；對(duì)稱(chēng)軸位置；區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)韋達(dá)定理(x1x2，x1x2)；判別式定理：求根公式：；弦長(zhǎng)公式：|AB|24二次函數(shù)yax2bxc (a0)根與系數(shù)的關(guān)系：(x1，x2為ax2bxc0的兩根)有且只有一根在(k1，k2)中 x y x y x y x y x

20、 ykx1，x2(，k)kkkk2kk2x1，x2(k，)x1kx2k1x1x2k2 f(k)<0 f(k1)f(k2)0注：二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系關(guān)鍵在于理解，這里僅僅就a0的情況作了考慮 對(duì)于區(qū)間是閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間的情況，一般可先考察開(kāi)區(qū)間的情況， 再考察根取區(qū)間端點(diǎn)的情況25關(guān)于一元二次方程根與系數(shù)的有關(guān)結(jié)論： 若a、 b是方程ax2bxc=0 (a c0)的兩根， 則、是方程cx2bxa=0 的兩根， a、b是方程ax2bxc=0 的兩根， 、是方程cx2bxa=0 的兩根26函數(shù)ylog k (ax2bxc)定義域?yàn)镽，則二次函數(shù)f(x)ax2bxc的0且a0 函數(shù)ylog

21、 k (ax2bxc)值域?yàn)镽，則二次函數(shù)f(x)ax2bxc的0且a0 注：這里f(x)ax2bxc可能不是二次函數(shù)，故應(yīng)對(duì)a的取值進(jìn)行討論27求解抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法：(1)借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類(lèi)比探究(抽象函數(shù)具體化，只適合填空題)： f(xy)f(x)f(y) 正比例函數(shù)型：f(x)kx(k0) f(xy)f(x)f(y)，f() 冪函數(shù)型：f(x) f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)÷f(y) 指數(shù)函數(shù)型：f(x)ax f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y) 對(duì)數(shù)函數(shù)型：f(x)logax(2)利用賦值法進(jìn)行邏輯探究(如令x0或1，求出f(0)或f(1

22、)、令yx或yx等)【問(wèn)題】(1)若x、yR時(shí)恒有f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是 (2)若f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x，yR，都有f()f(x)f(y)，且x1時(shí)f(x)0，f()1 求證f(x)在R上是減函數(shù)； 解不等式：f(x)f(5x)2答案：(1)奇函數(shù) (2) (0，1)4，5f(x)af(x)a28不等式恒成立，能成立，恰成立問(wèn)題：(1)恒成立問(wèn)題：af(x)恒成立af(x)max； af(x)恒成立af(x)min；(2)能成立問(wèn)題(有解問(wèn)題)：af(x)有解af(x)min；af(x)有解af(x)max (3)恰成立問(wèn)題：不等式f(x)a在區(qū)間A上恰成立不

23、等式f(x)a的解集為A【問(wèn)題】(1) (a2)x22(a2)x40對(duì)一切xR恒成立，求a的取值范圍(2)已知不等式2x1a23a1對(duì)一切1a2時(shí)恒成立，則x (3)已知不等式2x1a23a1對(duì)一切2x5時(shí)恒成立，則a 答案：(1)2a2 (2)(4，) (3)，29已知函數(shù)，此類(lèi)問(wèn)題的四種類(lèi)型：f(x1)xg(x2) 導(dǎo)數(shù)：1常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：() () () (sinx)cosx (cosx)sinx () (lnx) ()lna (logax) 2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若f(x)、g(x)有導(dǎo)數(shù)，則 f(x)g(x)f(x)g(x) c·f(x)c·f (x) f(x)

24、83;g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) 3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若yf(u)，ug(x)，則·4函數(shù)的單調(diào)性：若0，則yf(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增若0，則yf(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減注：f(x) 0 (特例：f(x)x3) f(x)0不等式：1基本不等式：a、b、cR時(shí)， (a=b時(shí)等號(hào)成立)推廣到三個(gè)數(shù)： (a=b=c時(shí)等號(hào)成立) 注：靈活選用公式：ab， ab2利用基本不等式求最值(取值范圍)的常見(jiàn)題型：(1)已知mxnyp，求最值（1的代換）(2)已知p，求axby最值（1的代換）(3)已知axybxcyd0，求mxny最值（消元）3用圖象法解無(wú)理不等式的常見(jiàn)題型：

25、4絕對(duì)值不等式基本題型及解題思路(脫絕對(duì)值)： |f (x)|g(x)| f 2(x)g2 (x) |f (x)|g(x) g(x)f (x)g(x) |f (x)|g(x) f (x)g (x)或f (x)g(x)g1(x)|f (x)|g2(x) g1(x)f (x)g2(x) 或g2(x)f (x)g1(x) 主要解法：(一)轉(zhuǎn)化法 (二)圖象法 (三)換元法5連不等式：af(x)bf(x)af(x)b06線性規(guī)劃中的問(wèn)題：ykxb表示直線ykxb上方部分c1axbyc2表示兩平行直線之間的部分(a1xb1yc1)( a2xb2yc2)0表示兩條相交直線形成的一組對(duì)頂角的部分(axbyc

26、1)( axbyc2)0表示兩條平行直線之外的部分點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在直線axbyc0異側(cè)，則(ax1by1c)( ax2by2c)0larPOaxy三角函數(shù)：1弧長(zhǎng)公式：la·r扇形面積公式：，其中a為弧度制角P是半徑為r的圓上一點(diǎn)，xOPa，則P(rcosa，rsina)2重要三角公式：同角關(guān)系：誘導(dǎo)公式： sin(oa)sina，sin(oa)sina兩角和與差的三角公式： cos(ab)cosacosbsinasinb sin(ab)sinacosbcosasinb tan(ab)二倍角公式：sin2a2sinacosa cos2acos2asin2a2co

27、s2a112sin2a tan2a降冪公式: cos2a=，sin2a=輔助角公式：asinx±bcosx=sin(x±)(其中a、b>0，是銳角且tan=)注: sinacosasin(a) sinacosa2sin(a) sinacosa2sin(a)sin15°cos75° cos15°sin75°tan15°2 tan75°2 tan 3求函數(shù)f(x)=sin(x)的單調(diào)區(qū)間或解sin(x)a時(shí)只需將x作整體處理(務(wù)必使0)函數(shù)f(x)=sin(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸為，則有函數(shù)f(x)=sin(x)的一個(gè)

28、對(duì)稱(chēng)中心為，則有4求三角函數(shù)最值常見(jiàn)題型及解題思路: (1) y=asinxb 利用sinx的有界性(要分a0和a0考慮) (2) (一)逆求法: |sinx|=|f(y)|1 (二)分離常數(shù)法 練習(xí)：求函數(shù)y的值域(0x) y(1，106 (3) (一)數(shù)形結(jié)合法 (視為兩點(diǎn)連線斜率) (二) 逆求法 (x有限制范圍時(shí)一般不用此法) （4） y=a(sinx±cosx)bsinxcosxc 換元法，令sinx±cosx =t，然后將y表為t的二次函數(shù) 練習(xí)：求函數(shù)y(3sinx)(3cosx)的值域(x) y8，10) (5) y=asin2xbsinxc 換元法，令si

29、nx=t1，1，則y=at2btc，t1，1 練習(xí)：求函數(shù)ycos2x2sinx3的值域(x) y，15三角形中的三邊關(guān)系: |bc|abc 三角關(guān)系: ABC=o， (0A、B、Co) sinAsin(BC)，cosAcos(BC)，tanAtan(BC) 面積公式: SabsinCah(abc)r (r為內(nèi)切圓半徑) 正弦定理 (外接圓直徑)余弦定理 a2b2c22bccosA cosARt的性質(zhì): 1°勾股定理 2°內(nèi)切圓半徑 r =6ABC中的常見(jiàn)結(jié)論:(1) 若A為最小角，則0°<A60° 若A為最大角，則60°A180

30、6;(2) 若A、B、C成等差數(shù)列，則B=60°(3) AB是sinAsinB的充要條件A=B是sin2A=sin2B的充分不必要條件(sin2A=sin2BA=B或AB90°，即C90°)ABcosAcosB ABcos2Acos2B (4) 若ABC是Rt，a，b，c成等差數(shù)列，則a:b:c=5:4:3或3:4:5(5)tanAtanBtanCtanAtanBtanC，tantantantantantan17射影定理（1）直角三角形中的射影定理BACDab（2）一般三角形中的射影定理BACD 8角平分線定理內(nèi)角平分線定理外角平分線定理ABDCAD平分BAC，則

31、AD平分BAC的外角，則ABCD9ABC中，已知A和對(duì)邊BC，則點(diǎn)A的軌跡是圓弧， 當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)D時(shí)，ABC的面積最大，周長(zhǎng)也最大10ABC中，已知A和一條夾邊AC，則當(dāng)absinA或ab時(shí)，三角形恰有一解；當(dāng)bsinAab時(shí)，三角形有兩解平面向量：1平面向量的平行定理：與共線()存在唯一實(shí)數(shù)k使k x1y2x2y10 (坐標(biāo)表示)平面向量基本定理：、不共線，則任意向量mn (、為一組基底)2向量的數(shù)量積：·xxxxcoshx1x2y1y2 (平面向量夾角的取值范圍：0ho)注：1° cosh 2° 2·xx2 3° ·0x1x2y1

32、y20 4° xxxx xxxx()·()0向量成銳角 向量成鈍角 單位向量：模為1的向量 為單位向量與BAC的平分線平行，若P在BAC的平分線上，則3已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)(x1，y1)按向量(m，n)平移后為點(diǎn)(x2，y2)，則x2x1m，y2y1n 函數(shù)yf(x)按向量(m，n)平移后為函數(shù)yf(xm)n4重要結(jié)論： 1° D 為BC中點(diǎn)，則D、E分別為BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，ABCGA0B0C0OCBAABCDEABCDABCG 2° 若、不共線，mn，則mn1A、B、C三點(diǎn)共線3° G為ABC重心， 234 G為

33、A0B0C0重心，其中2，3，4數(shù)列：1Ap有關(guān)概念和性質(zhì)：判定方法：(一)(常數(shù)) (n2，nN*) (二)(n3，nN*)通項(xiàng)公式：a na1(n1)dam(nm)d 變形應(yīng)用：d求和公式：Snna1dn若nmpq，則a na ma pa q 特例：1°若mm2p，則a na m2a p； 2°a1a2 n12a nAp中依次每k項(xiàng)之和仍成Ap，且其公差為k2d (d為原Ap的公差)S2n1(2n1)a n 變形：a n (公差為k) (公差為2A) 成等差數(shù)列n為偶數(shù)時(shí) S偶S奇·d n為奇數(shù)時(shí) (其中a中 即 )2Gp有關(guān)概念和性質(zhì)：判定方法：(一)(常數(shù)

34、) (n2，nN*) (二) (n3，nN*)通項(xiàng)公式：a na1·qn1am·qnm 變形應(yīng)用：q求和公式：Sn 運(yùn)用Gp求和公式時(shí)千萬(wàn)要注意是否q=1若nmpq，則a n·a ma p·a q 特例：1°若mm2p，則a n·a ma p2； 2°a1·a2 n1a n2依次每k項(xiàng)之和仍成Gp，且其公比為q k (q為原Gp的公比)a nk·q n (q為公比) Snk·ank (a為公比，a1) Snk·a nb (k0，1)3a n 注：若a1適合a n (n2)，則分段式可合

35、并成統(tǒng)一表達(dá)式 練習(xí)：數(shù)列a n前n項(xiàng)和Sn3n25n4，則a n數(shù)列a n前n項(xiàng)和Sn2，則a n注：若數(shù)列a n前n項(xiàng)和，C0，則數(shù)列a n從第2項(xiàng)起成AP若數(shù)列a n前n項(xiàng)和，BA，則數(shù)列a n從第2項(xiàng)起成GP4利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的常見(jiàn)題型和方法： (1) a n1a nf(n) 累加法 (2) a n1a n·f(n) 累積法 (3) a n1c·a nd 待定系數(shù)法：a n1c(a n) 練習(xí)：已知數(shù)列a n滿足：a11，an12an3，則an3已知數(shù)列a n滿足：a12，an2an130，則an3·1 (4) a n1c·a nd

36、83;pn 兩邊同除以pn后可轉(zhuǎn)化為題型(3) 5數(shù)列求和常用方法：(1) 拆項(xiàng)求和：拆成Ap或Gp求和或利用基本公式求和(2) 裂項(xiàng)相消：裂成正負(fù)兩項(xiàng)，使其能前后相消(多用于分式求和)(3) 錯(cuò)位相減：用于等差比數(shù)列求和 (4) 分類(lèi)討論：用于通項(xiàng)按奇偶分類(lèi)表達(dá)的情況6月息為p%，則年息為(1p%)121 本金a元存入銀行n年后(年息為p%)，則本息共計(jì)(按復(fù)利計(jì))：a(1p%)n每年年初向銀行存入相同款額a元，則到第n年年底本息(按年息p%的復(fù)利計(jì))共： a(1p%)na(1p%)n1a (1p%)立體幾何：1證明線面平行的方法：（一）判定定理 （二）面面平行的基本性質(zhì)證明面面平行的方法：

37、（一）判定定理 （二）同垂直于一直線的兩平面互相平行面面平行的性質(zhì)：(1)ab，aaab (基本性質(zhì)) (2)性質(zhì)定理 (3)ab，la lb (4)夾在平行平面之間的平行線段相等面面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理： 線線平行判定定理3線面平行面面平行性質(zhì)定理3判定定理5性質(zhì)定理32平行關(guān)系圖：( 中數(shù)字為條件個(gè)數(shù))a，b異面，aa，ab，ba，bbaba，b異面，ab，ba，aa，bbab線線垂直線面垂直面面垂直線線平行判定定理5定義性質(zhì)定理2定理3判定定理2性質(zhì)定理4定理3直二面角定義定理33垂直關(guān)系圖：( 中數(shù)字為條件個(gè)數(shù))ahbPOABhbPOABa4重要模型及結(jié)論：（1） cosa·

38、cosbcosh直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)任一直線所成的角中的最小值POHABaEFP為AOB所在平面a外一點(diǎn)，H為P在a上的射影，POAPOBOH為AOB的平分線P到OA、OB的距離相等OH為AOB的平分線面POA、面POB與底面成等角OH為AOB的平分線5棱柱：將一個(gè)平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體 性質(zhì)：兩個(gè)底面平行且全等，側(cè)面是平行四邊形 直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱正棱柱直棱柱棱柱正方體正四棱柱長(zhǎng)方體直平行六面體平行六面體四棱柱棱錐：棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)而得到的幾何體性質(zhì)：側(cè)面為有公共頂點(diǎn)的三角形 正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面

39、的射影是底面正多邊形中心的棱錐棱臺(tái)：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面與棱錐底面之間的幾何體正棱臺(tái)：用平行于正棱錐底面的平面截正棱錐，截面與正棱錐底面之間的幾何體6長(zhǎng)方體的性質(zhì)及結(jié)論：(1)一條對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為a、b、c，則cos2a cos2bcos2c1(2)一條對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三個(gè)面所成的角分別為a、b、c，則cos2a cos2bcos2c2(3)若長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑(4)若長(zhǎng)方體的三度a、b、c滿足abc，則在長(zhǎng)方體表面從A到C1的最短距離為7圓柱：將矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體圓錐：將直角三角形繞一條直角邊所在直線旋

40、轉(zhuǎn)一周形成的幾何體圓臺(tái)：將直角梯形繞垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體球：將半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體8 (大圓面積的4倍) 9求點(diǎn)P到平面ABC的距離的方法：(一) 直接法：找到P在平面ABC上的射影H，求PH的長(zhǎng)度；(二)轉(zhuǎn)移法：PQ平面ABC，求Q到平面ABC的距離Q是PD的中點(diǎn)，D平面ABC，則Q到平面ABC的距離的兩倍即為所求(二) 體積轉(zhuǎn)化法：10求三棱錐ABCD體積的方法：(一) 直接法：(二)體積轉(zhuǎn)化法： (其中D，E，F(xiàn)，G為三棱柱六個(gè)頂點(diǎn)中不共面的四個(gè))11有關(guān)圓錐的一組結(jié)論（1） 軸截面頂角是圓錐兩母線間夾角的最大值 （注：這里兩母線間的夾角也包括

41、鈍角）（2） 設(shè)圓錐軸截面頂角為a，母線長(zhǎng)為l，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積為S，則：當(dāng)a時(shí)， 此時(shí)的截面三角形的兩腰(是兩條母線)互相垂直當(dāng)a時(shí)，sina 此時(shí)的截面即軸截面 （3） 圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角h等邊圓錐(軸截面為正三角形的圓錐)的側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角為o12三棱錐PABC頂點(diǎn)P在底面ABC的射影為O，O是ABC的 “心”圖形條件名稱(chēng)備注ABDCPFOEABCOPPAPBPC(頂點(diǎn)到底面三頂點(diǎn)等距離)PAOPBOPCO(三側(cè)棱與底面成等角)外心兩個(gè)條件實(shí)質(zhì)一樣用到：線面角P到ABC三邊距離相等，且O在ABC內(nèi)部三側(cè)面與底面所成二面角相等，且O在ABC內(nèi)部?jī)?nèi)心兩個(gè)條件實(shí)質(zhì)一樣必須強(qiáng)調(diào)O在

42、ABC內(nèi)部，否則可能為旁心用到：線面垂直、二面角ABCOPPABC，PBACPA、PB、PC兩兩垂直垂心兩個(gè)條件實(shí)質(zhì)不一樣條件進(jìn)一步可推得PCAB 用到：線面垂直13正三角形和正四面體中的結(jié)論：邊長(zhǎng)為a的正三角形的高為h，內(nèi)切圓半徑為h，外接圓半徑為h棱長(zhǎng)為a的正四面體高h(yuǎn)，體積為，內(nèi)切球半徑為h，外接球半徑為h解析幾何：akOo1直線的傾斜角a0，o)與斜率k的關(guān)系：ktana 斜率公式：k直線l的方向向量為，則2若l1 ：a1 xb1yc1 0（或yk1xb1 ）， l2：a2 xb2yc20（或yk2xb2 ） 則 l1 與l2相交 l1 l2 l1 與l2重合 注：l1 l2的充要條件是k1 k21或l1 、l2中一個(gè)為0，一個(gè)不存在k1 k21是 l1 l2的充分條件3已知兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：xABx AB中點(diǎn)為點(diǎn)P到直線AxByC0的距離公式為兩平行直線AxByC10和AxByC20間的距離公式為4對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(1)點(diǎn)A(x1，y1) 關(guān)于點(diǎn)B(x2，y2)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C 的坐標(biāo)為(2x2x1，2y2y1)(2)點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為B，則 點(diǎn)A(x0，y0) 關(guān)于直線l：y