勾股定理逆定理八種證明方法

1、證法1作四個全等的直角三角形，把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上（設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c.）。過點C作AC的延長線交DF于點P. D、E、F在一條直線上， 且RtGEF RtEBD， EGF = BED， EGF + GEF = 90°， BED + GEF = 90°， BEG =180°90°= 90°又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個邊長為c的正方形。 ABC + CBE = 90° RtABC RtEBD， ABC = EBD. EBD + CBE =

2、 90° 即 CBD= 90°又 BDE = 90°，BCP = 90°， BC = BD = a. BDPC是一個邊長為a的正方形。同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則 證法2作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，做一個邊長為c的正方形。斜邊長為c. 再把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QPBC，交AC于點P. 過點B作BMPQ，垂足為M；再過點 F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90°，QPBC， MPC = 90°，

3、BMPQ， BMP = 90°， BCPM是一個矩形，即MBC = 90°。 QBM + MBA = QBA = 90°， ABC + MBA = MBC = 90°， ，又 BMP = 90°，BCA = 90°，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可證RtQNF RtAEF.即 證法3作兩個全等的直角三角形，同證法2，再作一個邊長為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，EF=DF-DE=b-a，EI=b，F(xiàn)I=a，G,I,J在同一直線上，CJ=CF=a，CB

4、=CD=c， CJB = CFD = 90°，RtCJB RtCFD ， 同理，RtABG RtADE，RtCJB RtCFD RtABG RtADEABG = BCJ，BCJ +CBJ= 90°，ABG +CBJ= 90°，ABC= 90°，G,B,I,J在同一直線上， 。證法4作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié) BF、CD. 過C作CLDE， 交AB于點M，交DE于點L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于， GAD的面積等于矩形ADL

5、M 的面積的一半， 矩形ADLM的面積 =. 同理可證，矩形MLEB的面積 =. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 即 證法5幾何原本中的證明 在歐幾里得的幾何原本一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設(shè)ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。任

6、意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉(zhuǎn)換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個同等面積的長方形。其證明如下：設(shè)ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。CAB和BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應(yīng)的，同理可證B、A和H。CBD和FBA皆為直角，所以ABD等于FBC。因為 AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以ABD 必須相等于

7、FBC。因為 A 與 K 和 L是線性對應(yīng)的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于ABD。因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于FBC。因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB&sup2；。同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC2；。把這兩個結(jié)果相加， AB2;+ AC2; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此證明是于歐幾里得幾

8、何原本一書第1.47節(jié)所提出的證法6（歐幾里得（Euclid）射影定理證法）如圖1，RtABC中，ABC=90°，BD是斜邊AC上的高 通過證明三角形相似則有射影定理如下：（BD）2;=AD·DC，（AB）2;=AD·AC ，（BC）2;=CD·AC。由公式+得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；， 圖1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，這就是勾股定理的結(jié)論。 圖1證法6在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個

9、小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2;=c2； 化簡后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他學科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數(shù)學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱

10、為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩?！币虼?，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神

11、靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理” 前任美國第二十屆總統(tǒng)伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。1 周髀算經(jīng)， 文物出版社，1980年3月， 據(jù)宋代嘉定六年本影印，1-5頁。2. 陳良佐：周髀算經(jīng)勾股定理的證明與出入相補原理的關(guān)系?？稘h學研究， 1989年第7卷第1期，255-281頁。3. 李國偉： 論周髀算經(jīng)“商高曰數(shù)之法出于圓方”章?？兜诙每茖W史研討會匯刊， 臺灣，1991年7月， 227-234頁。4. 李繼閔：商高定理辨證。刊於自然科學史研究，1993年第12卷第1期，29-41頁。5. 曲安京： 商高、趙爽與劉徽關(guān)於勾股定理的證明?？稊?shù)學傳播20卷， 臺灣，199

12、6年9月第3期， 20-27頁證法7達芬奇的證法三張紙片其實是同一張紙，把它撕開重新拼湊之后，中間那個“洞”的面積前后仍然是一樣的，但是面積的表達式卻不再相同，讓這兩個形式不同的表達式相等，就能得出一個新的關(guān)系式勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個共同點。觀察紙片一，因為要證的是勾股定理，那么容易知道EBCF，又因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結(jié)AD，因為對稱的緣故，所以BAD=FAD=CDA=EDA=45°，那么很明顯，圖三中角A'和角D'都

13、是直角。證明：第一張中多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2SBCO=OF2+OE2+OF·OE 第三張中多邊形A'B'C'D'E'F'的面積S2=S正方形B'C'E'F'+2C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因為S1=S2所以O(shè)F2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'又因為C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以O(shè)F2+OE2=E'F'2因為E'F'=EF所以O(shè)F2+OE2=EF2