第10講.構(gòu)造平行四邊形巧解幾何問題II(教師)

1、第十講.構(gòu)造平行四邊形巧解幾何問題II【教學目標】二.鞏固平行四邊形的相關(guān)知識；三.學會添恰當?shù)妮o助線構(gòu)造出平行四邊形;四.掌握平行四邊形中常見的輔助線作法；4.掌握平行四邊形的綜合應用?！局R、方法梳理】1 .平行四邊形是一種極重要的幾何圖形.這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形一一矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含 著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用。2 .由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質(zhì)：(1)平行四邊形對角相等；(2)平行四邊形對邊相等；(3)平行四邊形對角線互相平分.3 .除了定義以外，平行四

2、邊形還有以下幾種判定方法：(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；4 4) 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.【典例精講】例1 .如圖示。在平行四邊形 ABCD中，AE BC , CF AD , DN BM。求證：EF 與MN互相平分?！痉治觥恐灰C明 ENFM1平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角 形下手.【證明】因為 ABC比平行四邊形，所以AD- BC , AB CD , B B=Z D.又AE! BC, C。AD,所以AECF是矩形，從而 AE=CF所以 RtAABERt

3、ACDF(HL,或 AAS), BE=DF 又由已知 BM=DN所以 BEM DFN(SAS), ME=NF 又因為 AF=CE AM=CN / MAF=/ NCE 所以 MA白 NCE(SAS)所以MF=NE 由，四邊形 ENF娓平行四邊形，從而對角線 EF與MN互相平分.例2 .如圖所示。Rt ABC中,BAC 90oAD BC 于 DBG 平分 ABC , EF / BC且交AC于F。求證：AECF 。AG【分析】AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系.若作GHL BC于H,由于BG是/ ABC的平分線，故 AG=GH易知 AB® HBG又連接 EHi可證

4、 AB9 HBE，從而AE=HE這樣，將 AE “轉(zhuǎn)移”至U EH位置.設(shè)法證明 EHC嚨平行四邊形，問題 即可獲解?！咀C明】作 GHL BC于H,連接EH因為BG是/ ABH的平分線，GAL BA,所以GA=GH從而 AB8 HBG（AAS）所以AB=HB.在 ABE及4 HBE中，/ABE=/ CBE BE=BE所以 MB珞 HBE（SAS）, 所以 AE=EH / BEA=Z BEH 下面證明四邊形 EHCF平行四邊形. 因為AD/ GH所以/ AEGh BGH的錯角相等）. 又/ AEGW GEH（!為/ BEA=/ BEH等角的補角相等），/ AGBW BGH位等三角 形對應角相等）

5、，所以/ AGB=/ GEH從而EH/ AC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.由已知EF/ HQ所以EHCF平行四邊形，所以FC=EH=AE【點評】本題添加輔助線 GHdLBC的想法是由BG為/ ABC的平分線的信息萌生的（角平分線 上的點到角的兩邊距離相等 ），從而構(gòu)造出全等三角形 ABG與 HBG繼而發(fā)現(xiàn) AB9 HBE， 完成了 AE的位置到HE位置的過渡.這樣，證明EHC亂平行四邊形就是順理成章的了。例3 .如圖所示。平行四邊形 ABCD中，DE AB于E , BM MC DC。求證： EMC 3 BEM。【分析】由于/ EMBBEM勺外角，因此/EMCW B+/ BEM 從而，應該有/ B

6、=2/ BEM 這個論斷在 BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決.利用平行四邊形及 M為BC中點的條件，延長 EM與DC延長線交于F,這樣 /B=/MCFM / BEM= F,因此， 只要證明/ MCF=2 F即可.不難發(fā)現(xiàn)， EDF為直角三角 形（/EDF=90 ）及“為斜邊中點，我們的證明可從這里展開.【證明】延長 EM交DC的延長線于 F,連接DM由于CM=BM / F=/BEM / MCFh B,所以 MCH MBE（AAS）所以M是EF的中點.由于 AB/ CD及DE!AB,所以，DE! FD,三角形 DEF是直 角三角形，DM為斜邊的

7、中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知/ F=Z MDC又由已知MC=CD所以/ MDC= CMD則/ MCFW MDC+ CMD=2 F.從而/ EMC= F+/ MCF=3 F=3/ BEM例4 .如圖所示.矩形 ABCD中，CE BD于E, AF平分 BAD交EC延長線于F。 求證：CA CF ?！痉治觥恐灰C明 CAF是等腰三角形，即/ CAF4 CFA即可.由于/ CAF=45 -/CAR所以，在添加輔助線時，應設(shè)法產(chǎn)生一個與/CAD相等白角a,使得/ CFA=45 -a.為此，延長DC交AF于H,并設(shè)AF與BC交于G我們不又t證明/ FCH=Z CAD【證明】延長 DC交AF于H,顯然

8、/ FCHW DCE又在RtBCD中，由于 CE±BD,故/ DCE=ZDBC因為矩形對角線相等，所以 DCB4CDA從而/ DBCh CAD因此， / FCHh CAD 又AG平分/ BAD=90 ,所以4 AB%等腰直角三角形，從而易證 HCG&是等 腰直角三角形，所以/ CHG=45 .由于/ CH4CHF的外角，所以/ CHGh CFH吆 FCH=45 ,所以 /CFH=45 -ZFCH 由，/CFH=45 -/CADhCAR于是在三角形CAF中，有：CA=CF例5 .設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點為E , F是CE的中點（如圖）。1求證： DAE BAF 2【分析】

9、作/ BAF的平分線，將角分為/ 1與/ 2相等的兩部分，設(shè)法證明/ DAEW 1或/ 2.【證明】如圖作/ BAF的平分線AH交DC的延長線于 H,則/ 1 = /2=/3,所以FA=FH設(shè)正方形邊長為 a,在RtADF中， 22222 2 325AF AD DF a (-a) a 416所以 AF 5a FH 4從而 _ 51CH FH FC -a 34 45， 所以 BC=GC=CD因此， DC助等腰三角形，且頂角/ DCG=45 ,所以1135CDG -(18045 ) 2-a a, 44所以 Rt ABg Rt HCG(AAS)-1GB GC DE a 2從而Rt ABg RtAAD

10、E(SAS),所以 DAE 2 1 BAF 2例6 .如圖所示。正方形 ABCD中，在AD的延長線上取點 E , F ,使DE AD , DF BD ,連接BF分別交CD , CE于H , G。求證：GHD是等腰三角形?！痉治觥繙蚀_地畫圖可啟示我們證明/GDH=GHD【證明】因為 DER BC,所以四邊形 BCEM平行四邊形，所以/ 1=74.又BD=FD所以1123 45，2GHD 900000 451353 90所以 ZHDG = GHD從而GH=GD ,即 GHD是等腰三角形.【雙基訓練】1 .如圖 2-38 所示.DHAC, BF，AC, DE=BF / ADBW DBC 求證：四邊形

11、 ABCD 是平行四邊形.2 .如圖2-39所示.在平行四邊形 ABCDK AABffP BCF®是等邊三角形.求證： DEF是等邊三角形.3 .如圖2-40所示.ZZ7ABC時, 于F, DEL AF交CB于E.求證：AF平分/ BA或BC BE=CF圖 £一4口【縱向應用】4 .如圖2-41所示.矩形ABCLfr, F在CB延長線上，AE=EF CF=CA求證：BE IDE【橫向拓展】5 .如圖2-42所示.在正方形 ABCDfr, CE垂直于/ CAB的平分線于E, AE交BC于F.求證：CE1 AF2圖 2426.如圖，四邊形ABCD中AB BCCD , ABC78°, BCD 162°。設(shè) AD, BC延長線交于E,則 AEB【課后答案】：1 .先證明 DOE BOF