工程力學(xué)(天津大學(xué))第13章答案

1、習(xí)題解答13- 1木制構(gòu)件中的單元體應(yīng)力狀態(tài) 如圖所示，其中所示的角度為木紋方向與 鉛垂線的夾角。試求：(1)平行于木紋方向的切應(yīng)力；(2)解：垂直于木紋方向的正應(yīng)力。由圖a可知2.0MPa,y 1.6MPa,1.25(b)(a)x 0MPa(1)1515(2)75752 1.62 1.622 1.6cos2 ( 15 )1.97MPasin2 ( 15 ) 0.1MPa垂直于木紋方向的正應(yīng)力2 1.62 1.622 1.6sin(2 75cos2 75 1.527MPa) 0.1MPa由圖b可知0,y0, x1.25MPayx習(xí)題13 - 1圖平行于木紋方向的切應(yīng)力：則由公式可直接得到該斜截

2、面上的應(yīng)力(1)平行于木紋方向的切應(yīng)力：則由公式可直接得到該斜截面上的應(yīng)力15xsin2 1.25 sin2(15 )0.625MPa15x cos21.25 cos2(15 )1.08MPa(2)垂直于木紋方向的正應(yīng)力75xsin2 1.25 sin(275 ) 0.625MPa75xcos21.25 cos(275 ) 1.08MPaMPa),試用解析法計(jì)算圖中指定截面13- 2已知應(yīng)力狀態(tài)如圖一所示(應(yīng)力單位為 的正應(yīng)力與切應(yīng)力解：(a)已知 x 30MPa ,v 10MPa, x20 MPayx則由公式可直接得到該斜截面上的應(yīng)力(a)(b)圖習(xí)題13 - 2(b)則:x y230 10

3、已知230 10y -一 cos2x sin 2cos(2一)204sin(2 ) 40MPa 4230 10（c）已知?jiǎng)t:210 202x y210 20sin 2x cos 230 10sin(2 ) 20 cos(2 -) 10MPa 4430MPa ,10MPa, x 20 MPa230 10y -一 cos2x sin 2sin 2cos(2cos222.5 ) 2030 10sin(2 22.5 ) 12.93MPasin(2 22.5 ) 20cos(2 22.5 ) 21.21MPa10MPa,20MPa,x 15MPa60x ycos2210 20x sin 2sin 2si

4、n2cos2x cos260 )1560 ) 15cos2 (sin2 ( 60 )30.49MPa60)3.17MPa13-3已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位為 MPa）,試用圖解法（應(yīng)力圓）計(jì)算圖中指定截面 的正應(yīng)力與切應(yīng)力。13- 4 已知應(yīng)力狀態(tài)如習(xí)題 13 - 2圖所示 （應(yīng)力單位為MPa）,計(jì)算圖示應(yīng)力狀態(tài)中的主 應(yīng)力及方位。T(a)(b)習(xí)題13- 3圖解：（a）已知 x 30MPa ,y 10MPa,x 20 MPa則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力。+、+3。+ 10-2±3。一！。；一J +C-2O尸42,36二 T*主應(yīng)力為：一%ta 口 2% =-叼匚 4236

5、MPaf="%=-2.36MPa-2 x (-20) 30-10 -31.72"-58.29=因?yàn)槿?叼，主應(yīng)力內(nèi)對(duì)應(yīng)的方位角為 .三3172c。13- 5試確定圖示應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力及方位、最大切應(yīng)力（按三向應(yīng)力狀態(tài)考慮）。圖中應(yīng)力的單位為解：MPa。習(xí)題13- 5圖(a)已知x 40MPa,y 20MPa,20 MPa則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力產(chǎn)i % 電40 + 20iD +嘮=士40 2 Oy52 365 +(如* =竊峭£t rr 1 口事主應(yīng)力為：一%抬口2 口口 =-七一叫/ = 52.36MP& ®=7 54Mp= 0-2

6、 X (20)4Q-20=-2TL7不 15828c勺 _ f-63 44p*廂 一 tll6.56D因?yàn)?,主應(yīng)力內(nèi)對(duì)應(yīng)的方位角為 /工-31-72CO(b)已知 x 40MPa, y 20MPa, x 40 MPa則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力主應(yīng)力為：一%ta 口 2% =-叼-60MPa,(r2 =- -4(JMPa-2 X1一40) 45313C-126.87 s=1 26.56° 曲仁6344=40+20 =3因?yàn)?力 主應(yīng)力 內(nèi)對(duì)應(yīng)的方位角為 /三26.56c。(c)已知 x 20MPa , y 30MPa, x 20MPa則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力主應(yīng)力為

7、：-23 + 30-28-302I +儂”卻常產(chǎn)3一tan2«n =% f牝=37QI6M電二0= 27-016MPa-2 X (20) 4-20 - 30 5_< l?.33pr<l - 'v-70.67-因?yàn)閍x<0y ,主應(yīng)力為對(duì)應(yīng)的方位角為 西=-70.67ao13-6已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示(應(yīng)力單位為MPa),試畫三向應(yīng)力圓，求最大切應(yīng)力。習(xí)題13 - 6圖解：圖a為單向應(yīng)力狀態(tài)，圖 b為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，圖 c為平面應(yīng)力狀態(tài)，其應(yīng)力圓如圖。最大切應(yīng)力分別為:13-7已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試畫三向應(yīng)力圓，并求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力(應(yīng)力單習(xí)題13 - 8圖

8、位為MPa)。(a)(b)習(xí)題13- 7圖解：圖a為三向主應(yīng)力狀態(tài)% = &OMP8/三 50MP4叫三一70MPa, 1m11r =55MP* 應(yīng)力圓如圖（a）。圖b一方向?yàn)橹鲬?yīng)力，另兩方向?yàn)榧兗羟袘?yīng)力狀態(tài)，則根據(jù)公式可直接得出另兩主應(yīng) 力。于是有5=40MP&j -工（JMPaa = -40MPa* %也=40MPa 其應(yīng)力圓如圖（b）。13- 8圖示懸臂梁，承受荷載F = 10KN作用，試求固定端截面上A、B、C三點(diǎn)最大切應(yīng)力值及作用面的方位。解：固定端截面的彎矩 一 M =加kK kl ,剪 |_力F = 10RM。 If-。二萼三我喑底方三2.731 x 10一與法截

9、面a點(diǎn)的應(yīng)力:7 =空=理處也嗒 =5.359* 10-pa=58.59MPar7 = 0,其應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，即1s 11.7111(10 年 1 = 5&59M% 啊=啊=0口 中旺= z= 2929Mpm，最大切應(yīng)力作 用面的 方位為%二15 °截面b點(diǎn)的應(yīng)力:2CXlSI?t4nMlD-alCX9iX49KBQa0Xlfi4a O2.'.2.-31X1D應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，即+靦尸一黑MP3主應(yīng)力:網(wǎng)=4336MF 切費(fèi)=。，ffB= -l*62MFm,=字=2929MPm。求最大切應(yīng)力作用面的方位先求主應(yīng)力的方位，即tan2aD =譚29.19f-

10、3.43B_liT&sk 吟一%=-L72" a /二 + 45, = 43.2印截面c點(diǎn)的應(yīng)力："0'】三署"二或=1"如WPg L162Mp然其應(yīng)力狀態(tài)為純剪切應(yīng)力狀態(tài),13- 9空心圓桿受力如圖所示。已知F=20kN , D=120mm , d = 80mm ,在圓軸表面A點(diǎn)處測(cè)得與軸線成30。方向的線應(yīng)變 30。= 1.022 X 10-5,彈性模量 E=210GPa,nyzMPa, %3二宵，最大切應(yīng)力作用面的方位為 % =試求泊松比解：1、習(xí)題13- 9圖斤=盎A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫截面上只有正應(yīng)力，即7（«oJ-aQ2）x

11、ws=3,185 x 工口擊Ri = 3.1855；Pc2、取A點(diǎn)的單元體3、由斜截面應(yīng)力計(jì)算公式有asa= - 0c0sh 3,185 x - = 25S9AJ P afro- = cosa = 3.185X 3.53 = 0.79625103、根據(jù)廣義胡克定律有丁1 二 FOlTflflKltf13-10 在其本身平面內(nèi)承受荷載的鋁平扳，巳知在板平面內(nèi)的主應(yīng)變?yōu)閝 = 3.5X104, 3=-5.4X10-4 其方向如圖 13- 1 0 所示。鋁的E =70 GPa, v= 0.33,試求應(yīng)力分量 ex、g及x。解：由題意可知該應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)， 根據(jù)廣義胡克定律有叼=：（嗎-V/）

12、珈=1叼一髭無）代入3 5X 1 070xBP =啊-5.4 黑 107 K 70 *=嗎- 0.3'%得一一- . - - - -利用斜截面應(yīng)力公式-2t»taml20D =-小一吟及 十 5=丐 + 嗎得力 =-21JMPat % = L7MF/ = -203AfPa13-11 已知各向同性材料的一主應(yīng)力單元體的d = 30MPa , （2 = 15MPa , c3 =-5MPa ,材料的彈性模量 E = 200GPa,泊松比v 0.25。試求該點(diǎn)得主應(yīng)變。解：直接應(yīng)用廣義胡克定律即可求出。1-4-5-51 m（vv（02C3） 1.375 10 ; 2 4.375 10

13、 ; 3 -8.125 1013- 12圖示矩形板，承受正應(yīng)力 a與q作用，試求板厚的改變量AB與板件的體積改變AV。已知板件厚度 B= 10mm,寬度b = 800mm ,高度h = 600mm ,正應(yīng)力 a = 80MPa , cy= -40MPa ,材料為鋁，彈性模量 E = 70GPa,泊松比 v= 0.33。解：由廣義胡克定律即可求出習(xí)題13 - 12圖111仿70卬)-70存 0.33(80 40)1.886 10 4 10 1.886 10 3mm體應(yīng)變1-2-Ep( x y)1 2 0.33丁 (80 40) 1.94370 103板件的體積改變量_ _4 一 一V V 1.9

14、43 10800 600 1013- 13 如圖所示，邊長(zhǎng)為20cm均質(zhì)材料的立方體，放入剛性凹座內(nèi)。頂部受軸向力 F = 400kN作用。已知材料的 E = 2.6 x 104MPa, v= 0.18。試求下列兩種情況下立方體中產(chǎn)生的應(yīng)力。(1)凹座的寬度正好是 20cm；(2)凹座的寬度均為 20.001cm。x y 0為變形條件，由廣義解：(1)根據(jù)題意立方體兩水平方向的變形為零，即胡克定律得1 r , 一ox- M eE1 r , E °y- M °Z%)0)上式解出式中y 1400 1030.2 0.210MPaO代入數(shù)據(jù),0.18 s 101 0.182.195

15、MPa(2)根據(jù)題意立方體兩水平方向的變形為0.001cm,應(yīng)變式中0.001-55.0 1020400 1030.20.2,由廣義胡克定律得1rx 曰以-M戔 卬)0)10MPa 。上式解出5.05.010-510-55.010 5zE。代入數(shù)據(jù)，得50.184x y 5.0 10 5-10 2.6 1042.854MPay1 0.1813- 14已知如圖所示受力圓軸的直徑d = 20mm ,若測(cè)得圓軸表面 A點(diǎn)處與軸線 45°方向的線應(yīng)變 45。= 5.20X 10-4,材料的彈性模量 E = 200GPa ,泊松比 產(chǎn)0.3。試求外 力偶矩Meo解：A點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)為純剪切狀態(tài)，故

16、45°方向?yàn)橹鲬?yīng)力方向，且有 1,20,3- 。由得 80MPa。對(duì)于扭轉(zhuǎn)是Me3)(15.20 10 4A點(diǎn)的切應(yīng)力WP 80 106 D316125.6kN m13 - 15 一直徑為 25mm的實(shí)心鋼球承受靜水壓力，壓強(qiáng)為14MPa。設(shè)鋼球的E=210GPa ,尸0.3。試問其體積減少多少?解：根據(jù)題意有3 -14MPa體應(yīng)變1-23)1 2 0.3210 1033 14 -8.0 10 5體積改變量V V 8.0 10 5 d3 0.65417mm3613- 16 試對(duì)圖示三個(gè)單元體寫出第一、二、三、四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力值，設(shè) 廠0.3。302020(a)(b)(c)則r1r

17、2r3r4習(xí)題13- 16圖解：（a）由題圖可知1 20MPa, 2 10MPa, 3 30MPa1 20MPa;1( 23) 20 0.3(10 30) 26MPa;1320 30 50MPa;J；( 12)2 ( 23)2 ( 31)2 45.83MPa(b)已知 30MPa ,6y20MPa, q 10 MParir2r3r4(c)r1r2r3r431.93MPa, 231.93MPa;23)31.93；(12)22由題圖可知20MPa;0MPa, 321.93MPa31.93 0.3(0 21.93) 38.51MPa;21.93 53.86MPa;(23)2z 15MPa,20MPa

18、, 22(31)2 46.91MPaVX 0MPa, XV20MPayxxy15MPa, 3 20MPa3) 20 0.3(15 20) 21.5MPa;20 20 40MPa;柳 12)2( 23)2( 31)237.75MPa則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力13-17有一鑄鐵制成的零件。已知危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。設(shè)材料的許用拉應(yīng)力同=30MPa ,許用壓應(yīng)力 其強(qiáng)度。cc= 90MPa,泊松比產(chǎn) 0.25。試用第一和第二強(qiáng)度理論校核40單位：MPa840T20.240 Bz10(b)習(xí)題13- 17圖習(xí)題13- 1813-18 工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁，受力如圖a所示。其截面尺寸見圖bo

19、材料的并按第四強(qiáng)度理論校d= 170MPa,亍=100MPa,試校核梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力, 核危險(xiǎn)截面上 A點(diǎn)的強(qiáng)度。解：(1)橫截面的幾何性質(zhì)132413434Iz 2 (240 203 240 20 4102)mm48003 10mm4 2.04 10 3m41212Szmax 240 20 410mm3 400 10 200mm3 2.77 10 3 m3 z,max(2)作簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。Fsmax 710kN, Mmax870kN ms,max, max(3)梁內(nèi)跨中截面上下邊緣有最大正應(yīng)力為maxmax y max870 103 0.422.04 10 3179MP

20、a(4)梁內(nèi)支座處截面的中性軸上有最大切應(yīng)力為maxFs，maxSz，maxIzb710 103 2.77 10 32.04 10 3 10 10 396.4MPa (5)梁內(nèi)集中力作用處左側(cè)截面上的剪力和彎矩為Fsc左 670kN, M c 690kN m該截面上A點(diǎn)的應(yīng)力為M C yCIz3690 10 0.42.04 10 3135MPaFSC SzIzb670 103 240 20 410 10 92.04 10 3 10 10 364.6MPaA點(diǎn)的主應(yīng)力為1352264.62161MPa25.9MPa由第四強(qiáng)度理論.21612一 一 2 一 一 一 2(25.9) (161 25.

21、9)175MPa因此，梁是安全的。13- 19圖所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。電阻應(yīng)變片測(cè)得環(huán)向應(yīng)變& = 350 X 10,為測(cè)量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用。若已知容器平均直徑D = 500 mm,壁厚d = 10mm,容器材料的E = 210 GPa,v= 0.25。試:13-1(a) %1.932MPa, 7 0.1MPa(1)導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式;(2)計(jì)算容器所受的內(nèi)壓力。13-1。= -1.773 MPa，笈=0 .1 MP13-2(a) g產(chǎn) 40.3 MPa ,妥=14 MPa。(b)5=-38.2 MPa, q = 0。(c) 品=0.49 MP

22、a , q = -20.5 MPa 。(d)加=35.8 MPa , q = -8.66 MPa。13- 3(a) g= 10 MPa , 7 = 15 MPa。(b)加=47.3 MPa ,q = -7.3 MPa 。13- 5(a) 5= 52.4 MPa , ®= 7.64 MPa , (3= 0,偽=-31.8(b) a= 11.23 MPa , (2= 0 , (3=-71.2 MPa ,=52.2(c) 產(chǎn) 37 MPa , (2= 0 , (b=-27 MPa 0 , a =70.513- 7(a) a= 60 MPa , 3= 50 MPa , (b= -70MPa , max =65MPa(b) gt= 40 MPa , (2= 20 MP