高等數(shù)學課件：1-8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、11.8 1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點2一、函數(shù)連續(xù)性的定義一、函數(shù)連續(xù)性的定義1 1、函數(shù)的增量、函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y 3 例例1 1 證明函數(shù)證明函數(shù)y x2在給定點在給定點x0處連續(xù)。處連續(xù)。 證證 在在x0處，函數(shù)有定義且其改變量為處，函數(shù)有定義且其改變量為0lim0 yx欲欲證證：那那么么就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點 0 x連連續(xù)續(xù)

2、。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx2020)(xxxy ,)(220 xxx 4 因此因此y x2 在給定點在給定點x0處連續(xù)。處連續(xù)。,)(220 xxxy 積積，是是常常數(shù)數(shù)與與無無窮窮小小量量的的乘乘xx 02是是兩兩個個無無窮窮小小量量的的乘乘積積2)( x 0lim0 yx是是兩兩個個無無窮窮小小量量的的和和，20)(2xxx 5,0 xxx 記記),()(0 xfxfy ,00 xxx 等價于等價于.0 )()(0 yxfxf等等價價于于下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種等價形式等價形式。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx

3、那那么么就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x連連續(xù)續(xù)。 ，)()(lim00 xfxfxx 6（3 3）函函數(shù)數(shù)值值與與極極限限值值相相等等. . （2 2）極極限限)(lim0 xfxx存存在在； )()(lim00 xfxfxx )lim()(lim00 xfxfxxxx 7;)(),()(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)處處在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定

4、定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 3. 3. 單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)8例例2 2.00,10 ,0 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxf解解)1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f )1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f 即不右連續(xù)也不左連續(xù)即不右連續(xù)也不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxfx y-1 1 O9.0, 0, 0,cos)(, 處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa例例3 3解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx ,

5、 a ,)0(af ),0()0()0(fff 要要使使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a10若若)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)每一點處連續(xù)內(nèi)每一點處連續(xù), ,則稱則稱)(xf在在),(ba內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). . 如如果果)(xf在在整整個個定定義義域域上上連連續(xù)續(xù), ,則則稱稱之之為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). . 連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)的定義若若)(xf在在),(ba上上連連續(xù)續(xù), ,且且在在ax 處處右右連連續(xù)續(xù), ,在在bx 處處左左連連續(xù)續(xù), ,則則稱稱)(xf在在 ba,上上連連續(xù)續(xù). . 11例例4 4.),(cos內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間

6、間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),(0 x任取任取00cos)cos(xxxy , )2sin(2sin20 xxx 22sin, 2)2sin(20 xxxx . 0lim0 yx小量的乘積，小量的乘積，是有界變量與無窮是有界變量與無窮所以所以)2sin(2sin20 xxxy .0的任意性知結(jié)論成立的任意性知結(jié)論成立由由x12定義定義 函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的間斷點間斷點. 二二 函數(shù)的間斷點及其分類函數(shù)的間斷點及其分類13.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)處處無無定定義義，則則稱稱點點在在點點或或但但處處的的極極限限存存在

7、在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 1 1. .左右極限都存在的間斷點左右極限都存在的間斷點, ,稱稱第一類間斷點第一類間斷點： (1) (1) 可去間斷點可去間斷點間斷點是按其左右極限是否存在來分類的間斷點是按其左右極限是否存在來分類的.14例例5 5xxxfsin)( .0處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 x討論函數(shù)討論函數(shù)解解)(lim1)(lim00 xfxfxx .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注注 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.15.)(),()( ,)(0000的跳

8、躍間斷點的跳躍間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點但但處左右極限都存在處左右極限都存在在點在點如果如果xfxxfxfxxf (2) (2) 跳躍間斷點跳躍間斷點例例6 6.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff. 0 為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy16.,)()(, 00則稱為無窮間斷點則稱為無窮間斷點有一個是有一個是中至少中至少和和如果如果在第二類間斷點中在第二類間斷點中 xfxf例例7 7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0

9、)0( f,)0( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x2 2、左右極限至少有一個不存在的間斷點、左右極限至少有一個不存在的間斷點, ,稱稱第二類第二類間斷點間斷點。 17例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x這種情況稱為這種情況稱為振蕩型間斷點振蕩型間斷點。18小結(jié)小結(jié)間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)19可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x20故故1 x為為第第一一類類( (可可去去型型) )間間斷斷點點； 求求321)(22 xxxxf的的間間斷斷點點. . 而而 321lim223xxxx, , 故故3 x為為第第二二類類( (無無窮窮型型) )間間斷斷點點. . 解解，)1)(3()1)(1(32122 xxxxxxx321lim221 xxxx，2131lim1 xxx例例9 921討討論論函函數(shù)數(shù))1/(e11)(xxxf 的的間間斷斷點點及及其其類