柏拉圖的多面體(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上并不是由柏拉圖所發(fā)明，但是卻是由柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名，由于它們具有高度的對稱性及次序感，因而通常被稱為正多面體，但是，在這里，我們?nèi)砸园乩瓐D多面體稱之，以免與其它有規(guī)則的多面體產(chǎn)生混淆。柏拉圖多面體所有的面都是不自交、以直線段為邊長的正凸多邊形平面，每一種多面體都只有一種正多邊形的表面，而且在每一個頂點(diǎn)處都有相同數(shù)目的面交會。不僅在每一個頂點(diǎn)處都有相同數(shù)目的面交會，而且在每一個頂點(diǎn)處所有交會的面的內(nèi)角之總和會相等。 簡介熟悉柏拉圖多面體的最佳方法莫過于經(jīng)由構(gòu)造模型并透過模型研究它們。下圖表示一種稱之為”展開圖”的個別柏拉圖多面體平面排列圖示。為了構(gòu)造

2、柏拉圖多面體的模型，一組類似的展開圖必須被描繪在適當(dāng)?shù)牟牧仙?。同學(xué)可以將本資料所附之多面體的展開圖直接剪下或經(jīng)放大、縮小影印在合適的漂亮紙張上。如果材料不方便影印，您也可以依樣繪制或把影印展開圖并貼在所用材料上。Albrecht Durei早在1525年，于他所著的Unterweisung der Messung Mit dem Zirkel und Richtsheit一書中，給出了幾個多面體的展開圖。為什么只有五個柏拉圖多面體很容易看出柏拉圖多面體每一個都是凸的，并且在每一個頂點(diǎn)處交會著相同數(shù)目、相似、正的凸多邊形。要理解為什么只有五個柏拉圖多面體是相當(dāng)簡單的，這是因?yàn)樵诿恳粋€頂點(diǎn)處交會著

3、至少三個面才能構(gòu)造出一個立體圖形，而且圍繞每一個頂點(diǎn)的面的角度和不能等于或超過360°，否則所得的面將是平的或是凹的。具有最少邊數(shù)的正多邊形是正三角形，三個如此的多邊形可以使它們交會在一個頂點(diǎn)上，接下來，加入第四個面，如此，每三個面就會交會在圖形的四個頂點(diǎn)處之一。由于這個圖形有四個全等的面，故稱之為(TETRAHEDRON)。四個正三角形可以使它們交會在一個頂點(diǎn)上，而且加入四個面之后，在圖形的六個頂點(diǎn)處都會有四個面交會在這里。由于這個圖形有八個面，故稱之為(OCTAHEDRON)。另外，我們可以構(gòu)造出五個正三角形可以交會在它的12個頂點(diǎn)處的圖形。由于這樣的圖形有20個面。故稱之為。假

4、如六個正三角形交會在一頂點(diǎn)處，那么交會在這頂點(diǎn)的面的角之總和為360°，于是這些三角形將構(gòu)成一平面或是凹面。所以表面是正三角形的柏拉圖多面體只能有三種。接下來要考慮的多邊形是正方形，我們可以構(gòu)造成三個正方形交會在它的八個頂點(diǎn)處的多面體，它是另一種柏拉圖多面體，一般稱之為正方立體（CUBE），由于它有六個面，故亦稱之為正六面體（HEXAHEDRON）。 一個凸多面體不能由每個頂點(diǎn)處都有四個正方形交會，這是由于交會在每個頂點(diǎn)處的面的角之總和將會是360°接下來考慮的是有五個等邊及五個內(nèi)角均是108°的正五邊形。一個多面體可以由三個交會在它的20個頂點(diǎn)處的正五邊形所構(gòu)成

5、所得的圖形稱之為正十二面體（DODECAHEDRON），這是由于它有12個面的緣故。通常我們也將其稱之為正五角十二面體。四個五邊形將不能交會在一頂點(diǎn)而構(gòu)成一凸多面體，這是由于這些交會在一頂點(diǎn)的面的角之總和將超過360°接下來考慮的是正六邊形，但是假如三個正六邊形交會在一頂點(diǎn)處那么這些面的角之總和將是360°，于是構(gòu)成一平面。從這里也可以看出多邊形的面數(shù)愈多，它們的內(nèi)角就愈大，多于六邊的正多邊形其三個內(nèi)角之總和將超過360°，于是，無法將它們連接在一起而構(gòu)成一正的凸多面體。只有五種正多面體的證明假設(shè)一個正多面體共有 V 個頂點(diǎn)、F 塊面及 E 條邊；每一塊面均為正

6、n 邊形，且每一個頂點(diǎn)共有 m 塊面的頂點(diǎn)相連。由于共有 F 塊面，且每塊面均為正 n 邊形，所以將該正多面體拆開為 F 個正 n 邊形后，應(yīng)有 nF 條邊；由于一個頂點(diǎn)與其他 m 個頂點(diǎn)相連，所以將該正多面體拆開為 F 個正 n 邊形后，應(yīng)有 mV 個頂點(diǎn)，因多邊形頂點(diǎn)數(shù)目和邊的數(shù)目相等，即共有 mV 條邊；同樣地，當(dāng)多個正 n 邊形合成為一個正多面體時，兩個正 n 邊形的各一條邊便會合并成正多面體的一條邊，所以將該正多面體拆開后，應(yīng)有 2E 條邊；因此，可得 nF = mV = 2E 利用歐拉公式 V + F - E = 2 代入 V 及 F 得 重整后得 因 E 須為正整數(shù) (m - 2

7、)(n - 2) < 4 因著基本立體幾何及平面幾何，m > 2 及 n > 2，所以 (m, n) 只可能為 (3, 3)、(3, 4)、(4, 3)、(3, 5) 及 (5, 3)；即 (V, F, E) 只可能為 (4, 4, 6)、(8, 6, 12)、(6, 8, 12)、(20, 12, 30) 及 (12, 20, 30)。柏拉圖多面體與宇宙萬物的關(guān)系火=四面體水=二十面體土=六面體空氣=八面體宇宙=十二面體1.說明柏拉圖體即為正多面體。 2.定義定義：如果一個多面體的所有面都是全等正多邊形，所有多面角也全等，我們就說它是正多面體（柏拉圖體）。有無限多種正多邊形

8、，而正多面體只有五種。正多面體根據(jù)面的數(shù)目來命名，也就是：4個正三角形的正4面體；6個正方形的正6面體（立方體）；8個正三角形的正8面體；12個正五邊形的正12面體；20個正三角形的正20面體。3.發(fā)展史正多面體發(fā)源史已消失在過去的煙云里。歐幾里德原本第八卷才開始用數(shù)學(xué)的眼光看它們。第一卷的第一個注釋指出，本卷“將處理所謂的柏拉圖體，那名稱實(shí)在是錯了。因?yàn)槠渲械娜N，正4面體，立方體，正12面體來自畢達(dá)格拉斯學(xué)派，而正8面體和正20面體來自泰阿泰德（Theaeteus）?！笔聦?shí)也許真是這樣。不管怎么說，柏拉圖描繪了5種正多面體。他在蒂邁歐篇里講了如何拿正三角形，正方形和正五邊形來構(gòu)造正多面體的

9、面。柏拉圖的蒂邁歐（Timaeus），就是畢達(dá)格拉斯門下的洛克里的蒂邁歐。柏拉圖大概在訪問意大利時見過他。在柏拉圖的作品里，蒂邁歐神秘地將4種易構(gòu)造的多面體：正4面體，正6面體，正8面體，正20面體，配給恩培多克勒（Empedocles）的一切物質(zhì)的四種基本“元素”：火氣水土。剩下的正20面體，就特意拿它來聯(lián)系包圍我們的宇宙。4.柏拉圖體的特性1）內(nèi)接于同一個球的正12面體的體積大于正20面體的體積，立方體的體積大于正八面體的體積。2）內(nèi)接于同一個球的正12面體和正20面體具有這共同的內(nèi)接球，立方體和正八面體也有共同的內(nèi)接球。3）如果正12面體，正20面體和立方體內(nèi)接于同一個球，那么正12面體

10、的體積與正20面體的體積之比，等于立方體邊長與正20面體的邊長之比。4）如果正12面體與正20面體內(nèi)接于同一個球，那么二者體積之比等于表面積之比。5）內(nèi)接于同一個球的正12面體和正20面體具有相等的表面周長。5.柏拉圖體只有5種的證明頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E設(shè)正多面體的每個面是正n邊形，每個頂點(diǎn)有m條棱。棱數(shù)E應(yīng)是面數(shù)F與n的積的一半（每兩面共用一條棱），即nF=2E - 同時，E應(yīng)是頂點(diǎn)數(shù)V與m的積的一半，即mV=2E - 由、，得F=2E/n, V=2E/m,代入歐拉公式V+F-E=2，有2E/m+2E/n-E=2整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.由于E是正整數(shù)，所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2 - 說明m,n不能同時大于3，否則不成立。另一方面，由于m和n的意義（正多面體一個頂點(diǎn)處的棱數(shù)與多邊形的邊數(shù)）知，m3且n3。因此m和n至少有一個等于3當(dāng)m=3時，因?yàn)?/n>