高等數(shù)學(xué)：7-2+7-3 可分離變量微分方程

1、17.2 7.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程2例例.cos xy 解微分方程解微分方程解解 xdxycosCx sin3例例.sin2yxy 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求由由方方程程xysin2 xyycos2 yxy2cos ? xysin2yxy2cos xyycos24例例.sin2yxy 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求由由方方程程xysin2 xddysin2 yxdxdy2cos xdxydycos2 xdxydycos2 xysin2xdxydycos2 yxdxdy2cos 5例例.)()(所所求求定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求由

2、由方方程程xFyG )()(xFyG )()(ygxfdxdy dxxfdyyg)()( )()(ygxfdxdy )()(xFyG dxxfdyyg)()( dxxfdyyg)()()()(xdFydG 6)()(ygxfdxdy Cxxfygdy d)()(2) 兩邊積分得到通解兩邊積分得到通解的一階微分方程稱為的一階微分方程稱為可分離變量的方程可分離變量的方程. . 形式為形式為(1) 分離變量分離變量 dxxfygdy)()( 7)()(ygxfdxdy Cxxfygdy d)()(注注: :.,d)()()1(不不是是不不定定積積分分而而表表示示的的是是某某一一個個原原函函數(shù)數(shù)和和

3、xxfygdy.,.,)()2(00必必需需予予以以補(bǔ)補(bǔ)上上如如果果它它不不包包含含在在通通解解中中一一個個特特解解也也是是方方程程的的則則的的零零點點是是函函數(shù)數(shù)若若yyygyy 8求求方方程程22ddxyxy 的的通通解解. . 解解分分離離變變量量, ,xxyyd2d2 , , 所以通解為所以通解為 Cxy 21. . 例例1 1. 0 y此外方程還有解此外方程還有解9求求方方程程xyxy2dd 的的通通解解. . 解解分分離離變變量量, , xxyyd2d , , 課堂練習(xí)課堂練習(xí)兩邊積分得兩邊積分得12|lnCxy .21xCeey . 0 y此此外外方方程程有有常常數(shù)數(shù)解解. 0e

4、2 CCyx，則則有有.e2為為任任意意常常數(shù)數(shù)，所所以以方方程程的的通通解解為為CCyx 例例2 2. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意, 有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對方程分離變量, MMd,lnCtM 得得即teCM利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分:td)(已知 t = 0 時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原例例3 3.成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgm

5、k)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,)1 (tmkekgmvmgvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. kmgv t 足夠大時12作業(yè)作業(yè)：P3041: (2)(10)2: (3)4137.3 7.3 齊次方程齊次方程14 dxxx2sin2sin xxy ududysin21 uduxusin2122sin xxdxdy dxxxdy2sin dxxxy2sin15)(ddxyfxy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2.

6、2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式得代入原式得,ddddxuxuxy ,)(1dd)(dduufxxuufxuxu 1.1.定義定義分分離離變變量量得得 xxuufud)(d , , 兩邊積分即得通解兩邊積分即得通解. . 注意注意:.,0)(是是方方程程的的解解則則有有根根若若kxykuuuf 16例例1 1求求方方程程 xyxyxytan3dd 的的通通解解. . 解解作作變變量量代代換換 xyu , , 齊次方程齊次方程, ,uuxuxutan3dd xudxutan3d )()(xuxuyxxuy 把把u看成是未知的看成是未知的抽象函數(shù)，這相當(dāng)抽象函數(shù)，這

7、相當(dāng)于抽象函數(shù)求導(dǎo)。于抽象函數(shù)求導(dǎo)。dxduxudxdy 17例例1 1求求方方程程 xyxyxytan3dd 的的通通解解. . . 0,sin 331 CCxxexyC整整理理得得所所以以方方程程的的通通解解為為另另外外方方程程有有解解：.xky 1|ln3|sin|lnCxu 分離變量得分離變量得 xdxuu3tand.,sin3為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCxxy xudxutan3d 18課堂課堂練習(xí)練習(xí)求求方方程程 0)()( yxyyx 的的通通解解. . 解解原原方方程程變變形形為為 xyxyxy dd 11 xyxy, , 作作變變量量代代換換 xyu , , 代代入入原原方方程程

8、得得 11dd uuxuxu, , 分分離離變變量量得得 xxuuudd112 , , ,xuy ,ddddxuxuxy 是齊次方程是齊次方程, ,19再再將將xyu 代代入入, ,得得通通解解為為 . 0,earctan22 CCyxxy12|ln)1ln(21arctanCxuu 0,ee1|arctanarctan21 CCeuxuuCxxuuudd112 oyx可得 OMA = OAM = 例例2 2. 在制造探照燈反射鏡面時,解解: 設(shè)光源在坐標(biāo)原點,則反射鏡面由曲線 )(xfy 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成 .過曲線上任意點 M (x, y) 作切線 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取x 軸平行于光線反射方向,從而 AO = OMOPAP 要求點光源的光線反 射出去有良好的方向性 , 試求反射鏡面的形狀. 而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx 利用曲線的對稱性, 不妨設(shè) y 0,21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令2