無窮級數(shù)復(fù)習(xí)講義(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章 無窮級數(shù)考試內(nèi)容常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級數(shù)與 級數(shù)及其收斂性正項級數(shù)收斂性的判別法交錯級數(shù)與萊布尼茨定理任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù)狄利克雷（Dirichlet）定理函數(shù)在 上的傅里葉級數(shù)函數(shù)在 上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)考試要求1理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的

2、基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2掌握幾何級數(shù)與 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。4掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。5。 了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。6了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。9了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10掌握 ，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡

3、單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。11了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在 上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達式。一.無窮級數(shù)概論1.無窮級數(shù)定義 設(shè)為一個數(shù)列，稱為無窮級數(shù).注記1：但只是一種形式上的記法.只有討論了收斂性，才有意義.2.無窮級數(shù)收斂的定義(1)部分和、部分和數(shù)列的定義對任意，稱數(shù)列前項和為級數(shù)的部分和.稱數(shù)列為級數(shù)的部分和數(shù)列.(2)無窮級數(shù)收斂的定義若級數(shù)的部分和數(shù)列是收斂的，則稱級數(shù)是收斂的，并且記.3.無窮級數(shù)收斂的性質(zhì)(1)無窮級數(shù)收斂的必要條件I 若無窮級數(shù)收斂，則其部分和數(shù)列有界.反之不然.

4、事實上，由于收斂，因此，其部分和數(shù)列收斂，于是，有界.但有界，卻未必收斂.例如，級數(shù)部分和數(shù)列為，有界，但不收斂.例1.不收斂.事實上，于是，不收斂，即不收斂.(2)無窮級數(shù)收斂的必要條件II 若收斂，則.事實上，假設(shè)部分和為，則收斂，記，于是，. 但反之結(jié)論不成立.例如，雖然，但無窮級數(shù)不收斂.(3)無窮級數(shù)收斂的必要條件III 若無窮級數(shù)收斂，則對其任意加括號都收斂，而且級數(shù)和不變.假設(shè)加括號后的級數(shù)寫為這里，.則其部分和為.由于收斂，于是，收斂，于是，其任意子列收斂，且收斂值與的一樣，即級數(shù)收斂，且.(4)無窮級數(shù)收斂的充分必要條件I 無窮級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)且(或)收斂.必要性是顯然的.至

5、于充分性，我們利用了這樣一個事實：數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng).現(xiàn)在，收斂了，而，而，于是，.故也收斂.若收斂，也是同理的.(5)無窮級數(shù)收斂的充分必要條件II 無窮級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)且收斂.或者說也可以. 必要性是顯然的.至于充分性，若收斂，則其部分和數(shù)列是收斂的，但，因此，收斂.又，因此，由(4)的結(jié)論，無窮級數(shù)收斂.若收斂，則其部分和數(shù)列也收斂.又，因此，也收斂.又由于，因此，由(4)，無窮級數(shù)收斂.4.無窮級數(shù)的運算性質(zhì)(1)若無窮級數(shù)和收斂，則也收斂，且.事實上，假設(shè)的部分和為，的部分和為， 部分和為，則顯然有.由于收斂，因此，存在.于是，存在，且，即收斂，且.(2)設(shè)常數(shù)，則收斂性與相同，且若收

6、斂，則.二.正項級數(shù)1.正項級數(shù)的定義 每一項都非負的級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的基本定理 正項級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)其部分和數(shù)列有界.事實上，若收斂，則其部分和收斂，因此，有界，這是容易知道的。另一方面，是一個單調(diào)不減的數(shù)列，如果有界，則有極限，即是收斂的。3.比較判別法及其極限形式(1)比較判別法設(shè)，都是正項級數(shù).假設(shè)存在一個正常數(shù)以及正整數(shù)，使得當(dāng)，總有.若收斂，則收斂.事實上，我們假設(shè)的部分和為，的部分和為，則對任意，若收斂，則有界，于是，有界。于是，收斂.(2)比較判別法的極限形式 設(shè)和為正項級數(shù).如果.當(dāng)，若收斂，則收斂.當(dāng)，則與的斂散性相同.當(dāng)，若收斂，則收斂.事實上，若，存在

7、一個，當(dāng)，有，即.由比較判別法，若收斂，則收斂.若，則存在一個，使得當(dāng)，由，即.若收斂，由比較判別法，收斂.若收斂，由比較判別法，收斂.若，則.則由收斂，收斂.4.比值判別法及其極限形式(1)假設(shè)為正項級數(shù).若存在一個和，使得當(dāng)，有，則收斂.若存在一個和，使得當(dāng)，有，則發(fā)散. 事實上，若，當(dāng)，有由于，因此，級數(shù)是收斂的.由比較判別法，級數(shù)收斂.若，當(dāng)，類似地，有.由于，因此，級數(shù)是發(fā)散的.由比較判別法，級數(shù)是發(fā)散的.(2)比較判別法的極限形式設(shè)為正項級數(shù).假設(shè).若，則收斂.若，則發(fā)散.若，此法失效.事實上，若，任取(例如)，則存在一個，當(dāng)，有.由于，由比值判別法，收斂.若，任取(例如)，則存在

8、一個，當(dāng)有，有.由比值判別法，發(fā)散.若，取，則，但級數(shù)發(fā)散.又取，則發(fā)散.但，而，因此，是收斂的.這說明當(dāng)，此法失效了.備注：比較判別法及其極限形式也適用于任意項級數(shù).這不難從證明過程中看出.這時候，表述應(yīng)該相應(yīng)敘述如下： 假設(shè)數(shù)列滿足.若，則收斂(事實上，它還絕對收斂).若，則發(fā)散.若，此法失效.事實上，若，按照正項級數(shù)的比較判別法，級數(shù)是收斂的，由于，因此，級數(shù)與收斂.于是，收斂.若，對任意，總有常數(shù)，使得當(dāng)，有.這樣，當(dāng)，有，于是，.這樣，級數(shù)是發(fā)散的.若，道理同上.型7。1 判定數(shù)項級數(shù)的斂散性1。（02,3）設(shè)，且，則級數(shù) (A)發(fā)散； (B)絕對收斂； (C)條件收斂； (D)收斂

9、性不能判定2。（04,4）設(shè)為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (A) 若=0，則級數(shù)收斂。（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散。(C) 若級數(shù)收斂，則。 3。（06,4）若級數(shù)收斂，則級數(shù)（A）收斂。（B）收斂。（C）收斂。（D）收斂。4。（09,4）設(shè)有兩個數(shù)列，若，則（A）當(dāng)收斂時，收斂。 （B）當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散。 (C)當(dāng)收斂時，收斂。 (D)當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散。題型7。2 證明數(shù)項級數(shù)的斂散性5。題型7。3 求冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及收斂域6。（08,4）已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為。題型7。4 求冪級數(shù)的和函數(shù)7。（02,7）驗證函數(shù)（）滿足微分方程；求冪級數(shù)的和函數(shù)8。（05,12）求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)9。（07,10）設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿足(I)證明：(II)求y(x)的表達式。10。（10,10）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。題型7。5 求數(shù)項級數(shù)的和11。（09，9）設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積，記，求與的值。題型7。6