2011年高考數(shù)學(xué) 立體幾何中的射影、截面和展折教案 新人教A版

1、立體幾何中的射影、截面和展折 近幾年，高考立體幾何試題緊緊圍繞空間想象能力和邏輯思維能力進(jìn)行考查，在控制難度的基礎(chǔ)上，加大了空間想象能力的考查，主要是考查學(xué)生的識圖、構(gòu)圖能力，空間概念和空間想象能力，這類題目立意形式多樣，但多數(shù)是以空間圖形的射影、截面和展折為知識和能力的結(jié)合點，考查學(xué)生的空間想象能力、動手操作能力、探究能力和靈活運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。下面結(jié)合近幾年各地高考和?？贾械慕?jīng)典例題予以分類解析，以饗讀者。一、射影例1 如圖1，一間民房的屋頂有三種不同的蓋法：單向傾斜；雙向傾斜；四向傾斜。記三種蓋法的屋頂面積分別為P1、P2、P3，若屋頂斜面與水平面所成的角都是,則（ ）A

2、P3P2P1BP3P2P1CP3P2P1DP3P2P1 圖1分析 設(shè)這間民房的地面面積為S0，則有，所以 P3P2P1，故選D。本題要從屋頂?shù)膶嶋H情景中透過日常生活中常見的現(xiàn)象，抽象出斜面在水平面上的射影的本質(zhì)特征，反映了數(shù)學(xué)來源于社會現(xiàn)實，又為社會實踐服務(wù)的基本事實。圖2例2 如圖2，E、F分別為正方體的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是_。（要求：把可能的圖的序號都填上）分析 從俯視、正視和側(cè)視三種方式觀察平行四邊形BFD1E在正方體各個面上的投影，可知圖正確。例3 正四面體ABCD的棱長為1，棱AB/平面，則正四面體上的所有點在平面內(nèi)的射

3、影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是_。ABCD圖3分析 如圖3，設(shè)正四面體ABCD在平面上的射影構(gòu)成的圖形面積為S，因為AB/平面，從運動的觀點看，當(dāng)CD/平面時，射影面積最大，此時射影圖形為對角線長是1的正方形，面積最大值為；若CD或其延長線與平面相交時，則當(dāng)CD平面時，射影面積為最小，最小值為（證明略），所以.ABGBCHCA圖4DM例4 如圖4，在一面南北方向的長方形墻ABHG上用AC=3m，BC=4m，AB=5m的角鋼焊接成一個簡易的遮陽棚（將AB放在墻上）。一般認(rèn)為，從正西方向射出的太陽光線與地面成75°角時氣溫最高。要使此時遮陽棚的遮陰面積最大，應(yīng)將遮陽棚ABC面與水平面成多大

4、角度？分析 墻面ABHG在太陽光照射下的射影為 ，由題意可知光線與地面所成的角為750，設(shè)遮陽棚ABC面與地面所成的角為（00900），ABC在地面上的射影為，要使此時遮陽棚的遮陰面積最大，即的面積最大，在上取一點D，使/AC，則易證明面ABC/面，且ABC，在平面內(nèi)作DM，垂足為M，連C/M，ABCC/，C/M，則平面與地面所成的二面角的大小為DMC/=,又由已知條件可得為直角三角形，DM=m，在DMC/中，由正弦定理得MC/= ，當(dāng)=1，即=150時，MC/最大，為定值，所以此時的面積最大。二、截面例5 一個正方體內(nèi)接于一個球，過這個球的球心作一平面，則截面圖形不可能是（ ）ACBD 分析

5、 考慮過球心的平面在轉(zhuǎn)動過中，平面在球的內(nèi)接正方體上截得的截面不可能是大圓的內(nèi)接正方形，故選D。ABCHA1B1C1D1EFGDABCDA1B1C1D1EFGH圖5（2）圖5（1）例6 如圖5，在透明的塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下列四個命題： 水的部分始終呈棱柱狀； 水面EFGH的面積不改變； 棱A1D1始終與水面EFGH平行； 當(dāng)容器傾斜到如圖5（2）時，BE·BF是定值；其中正確的命題序號是_分析 當(dāng)長方體容器繞BC邊轉(zhuǎn)動時，盛水部分的幾何體始終滿足棱柱定義，故正確；在轉(zhuǎn)動過程中E

6、H/FG，但EH與FG的距離EF在變，所以水面EFGH的面積在改變，故錯誤；在轉(zhuǎn)動過程中，始終有BC/FG/A1D1，所以A1D1/面EFGH，正確；當(dāng)容器轉(zhuǎn)動到水部分呈直三棱柱時如圖5（2），因為是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即正確。所以正確的序號為.C1ABCDA1D1B1EGF圖6（1）例7 有一容積為1 立方單位的正方體容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及對角線B1C的中點各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，則該容器可裝水的最大容積是（ ）A B C DC1ABCDA1D1B1EGF圖6（2） 分析 本題很容易認(rèn)為當(dāng)水面是過E、F、G三點的

7、截面時容器可裝水的容積最大圖6（1），最大值為立方單位,這是一種錯誤的解法，錯誤原因是對題中“容器是可以任意放置”的理解不夠，其實，當(dāng)水平面調(diào)整為圖6（2）EB1C時容器的容積最大，最大容積為，故選C。三、折與展例8在下面四個平面圖形中，哪幾個是正四面體的展開圖，其序號是_. (1) (2) (3) (4) 分析 這是一道考查空間想象能力和動手操作能力的問題，把展開圖形折起后，只有（1）（2）是正四面體。故選?。?）（2）HICGFDBAE圖7（1）例9 如圖7（1），在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊中點，G、H、I分別為DE、FC、EF的中點，將ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐后，BG與IH所成角的弧度數(shù)是（ ）FBDEHGI圖7（2）MA B C D分析 把ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐為B-DEF，圖7（2），取GF的中點M。連結(jié)IM，則HM/BG，所以BG、IH所成的角即為HM、IH所成的角，在MIH中易求得MHI=，即選A。例10 如圖8（1），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形。ABCA1B1C1P圖8（1）ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一動點，則CP+PA1的最小值為_。分析 由已知條件可知，A1BC1和BCC1都是直角三角形，又BC=CC1=，所以CC1B=450，把二面角A1