尺規(guī)作圖的歷史和難題(共4頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上尺規(guī)作圖的歷史和難題中國(guó)篇俗話說(shuō)：“不以規(guī)矩，不成方圓”，究竟什么是“規(guī)”，什么是“矩”？ “規(guī)”就是圓規(guī)，是用來(lái)畫(huà)圓的工具，在我國(guó)古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長(zhǎng)短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長(zhǎng)尺叫股.矩的使用是我國(guó)古代的一個(gè)發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女?huà)z氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫(huà)直線、直角，加上刻度可以測(cè)量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.史記卷二記載大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”.趙爽注周髀算經(jīng)中有“禹治洪水，望山川之形，定高下

2、之勢(shì)，乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測(cè)量地勢(shì)的高低，就必定要用勾股的道理.這也說(shuō)明矩起源于很遠(yuǎn)的中國(guó)古代.春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，墨子卷七中說(shuō)“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”孟子卷四中說(shuō)“離婁(傳說(shuō)中目力非常強(qiáng)的人)之明，公輸子(即魯班，傳說(shuō)木匠的祖師)之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓.”可見(jiàn)，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國(guó)古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實(shí)用性國(guó)際篇古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作用，而忽視規(guī)矩的實(shí)用價(jià)值.因此，在作圖中對(duì)規(guī)、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規(guī)作圖問(wèn)題.所謂尺規(guī)作

3、圖，就是只有限次地使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄，并被處以死刑.在監(jiān)獄里，他思考改圓成方以及其他有關(guān)問(wèn)題，用來(lái)打發(fā)令人苦惱的無(wú)所事事的生活.他不可能有規(guī)范的作圖工具，只能用一根繩子畫(huà)圓，用隨便找來(lái)的破木棍作直尺，當(dāng)然這些尺子上不可能有刻度.另外，對(duì)他來(lái)說(shuō)，時(shí)間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問(wèn)題.后來(lái)以理論形式具體明確這個(gè)規(guī)定的是歐幾里德的幾何原本.由于幾何原本的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來(lái).由于對(duì)尺規(guī)作圖的限制，使得一些貌似簡(jiǎn)單的幾何作圖問(wèn)題無(wú)法解決.最著名的是被稱為幾何

4、三大問(wèn)題的三個(gè)古希臘古典作圖難題：三等分角問(wèn)題：將任一個(gè)給定的角三等分。 立方倍積問(wèn)題：求作一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)，使這個(gè)正方體的體積是已知正方體體積的二倍。 化圓為方問(wèn)題：求作一個(gè)正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。 這就是著名的古代幾何作圖三大難題，它們?cè)趲缀卧締?wèn)世之前就提出了，隨著幾何知識(shí)的傳播，后來(lái)便廣泛留傳于世。 從表面看來(lái)，這三個(gè)問(wèn)題都很簡(jiǎn)單，它們的作圖似乎該是可能的，因此，2000多年來(lái)從事幾何三大難題的研究頗不乏人。也提出過(guò)各種各樣的解決辦法，例如阿基米德、帕普斯等人都發(fā)現(xiàn)過(guò)三等分角的好方法，解決立方倍積問(wèn)題的勃洛特方法等等?？墒?，所有這些方法，不是不符合尺規(guī)作圖法，便是近似解答

5、，都不能算作問(wèn)題的解決。 其間，數(shù)學(xué)家還把問(wèn)題作種種轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)了許多與三大難題密切相關(guān)的一些問(wèn)題，比如求等于圓周的線段、等分圓周、作圓內(nèi)接正多邊形等等?？墒钦l(shuí)也想不出解決問(wèn)題的辦法。三大作圖難題就這樣絞盡了不少人的腦汁，無(wú)數(shù)人做了無(wú)數(shù)次的嘗試，均無(wú)一人成功。后來(lái)有人悟及正面的結(jié)果既然無(wú)望，便轉(zhuǎn)而從反面去懷疑這三個(gè)問(wèn)題是不是根本就不能由尺規(guī)作出？ 數(shù)學(xué)家開(kāi)始考慮哪些圖形是尺規(guī)作圖法能作出來(lái)的，哪些不能？標(biāo)準(zhǔn)是什么？界限在哪里？可這依然是十分困難的問(wèn)題。 高斯的發(fā)現(xiàn) 歷史的車輪轉(zhuǎn)到了17世紀(jì)。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，為判斷尺規(guī)作圖可能性提供了從代數(shù)上進(jìn)行研究的手段，解決三大難題有了新的轉(zhuǎn)機(jī)。

6、 最先突破的是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯。他于1777年4月30日出生于不倫瑞克一個(gè)貧苦的家庭。他的祖父是農(nóng)民，父親是打短工的，母親是泥瓦匠的女兒，都沒(méi)受過(guò)學(xué)校教育。由于家境貧寒，冬天傍晚，為節(jié)約燃料和燈油，父親總是吃過(guò)晚飯就要孩子睡覺(jué)。高斯爬上小閣樓偷偷點(diǎn)亮自制的蕪菁小油燈，在微弱的燈光下讀書(shū)。他幼年的聰慧博得一位公爵的喜愛(ài)，15歲時(shí)被公爵送進(jìn)卡羅琳學(xué)院，1795年又來(lái)到哥庭根大學(xué)學(xué)習(xí)。由于高斯的勤奮，入學(xué)后第二年，他就按尺規(guī)作圖法作出了正17邊形。緊接著高斯又證明了一個(gè)尺規(guī)作圖的重大定理：如果一個(gè)奇素?cái)?shù)P是費(fèi)爾馬數(shù)，那么正P邊形就可以用尺規(guī)作圖法作出，否則不能作出。 由此可以斷定，正3邊、5邊、17邊

7、形都能作出，而正7邊、11邊、13邊形等都不能作出。 高斯一生不僅在數(shù)學(xué)方面做出了許多杰出的成績(jī)，而且在物理學(xué)、天文學(xué)等方面也有重要貢獻(xiàn)。他被人們贊譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。高斯死后，按照他的遺愿，人們?cè)谒哪贡峡躺弦粋€(gè)正17邊形，以紀(jì)念他少年時(shí)代杰出的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。 最后的勝利 解析幾何誕生之后，人們知道直線和圓，分別是一次方程和二次方程的軌跡。而求直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，從代數(shù)上看來(lái)不過(guò)是解一次方程或二次方程組的問(wèn)題，最后的解是可以從方程的系數(shù)（已知量）經(jīng)過(guò)有限次的加、減、乘、除和開(kāi)平方求得。因此，一個(gè)幾何量能否用直尺圓規(guī)作出的問(wèn)題，等價(jià)于它能否由已知量經(jīng)過(guò)加、減、乘、除、開(kāi)方運(yùn)算求

8、得。這樣一來(lái)，在解析幾何和高斯等人已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，人們對(duì)尺規(guī)作圖可能性問(wèn)題，有了更深入的認(rèn)識(shí)，從而得出結(jié)論：尺規(guī)作圖法所能作出的線段或者點(diǎn)，只能是經(jīng)過(guò)有限次加、減、乘、除及開(kāi)平方（指正數(shù)開(kāi)平方，并且取正值）所能作出的線段或者點(diǎn)。1837年，23歲的萬(wàn)芝爾以他的睿智和毅力實(shí)現(xiàn)了自己的夢(mèng)想，證明了立方倍積與三等分任意角不可能用尺規(guī)作圖法解決 實(shí)際上萬(wàn)芝爾還證明了一個(gè)被稱為高斯萬(wàn)芝爾定理：如果邊數(shù)N可以寫(xiě)成如下形式N2t·P1·P2Pn，其中P1、P2、Pn都是各不相同的形如22k1的素?cái)?shù)，則可用尺規(guī)等分圓周N份，且只有當(dāng)N可以表成這種形式時(shí)，才可用尺規(guī)等分圓周N份。根據(jù)這一定理，任意角的三等分就不可能了。1882年，林德曼證明了是無(wú)理數(shù)，化圓為方問(wèn)題不可能用尺規(guī)作圖解決，這才結(jié)束了歷時(shí)兩千年的數(shù)學(xué)難題公案. ，宣布了多年來(lái)，人類征服幾何三大難題取得了重大勝利。正十七邊形步驟一給一圓O，作兩垂直的半徑OA、OB， 在OB上作C點(diǎn)使OC=1/4OB， 在OA上作D點(diǎn)使OCD=1/4OCA 作AO延長(zhǎng)線上E點(diǎn)使得DCE=45度步驟二作AE中點(diǎn)M，并以M為圓心作一圓過(guò)A點(diǎn)， 此圓交OB于F點(diǎn)，再以D為圓心，作一