排隊論大學7-MM排隊模型

1、2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型1M/M排隊模型綜述排隊模型綜述2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型2排隊模型回顧排隊模型回顧顧客到達排隊系統(tǒng)請求服務如果排隊系統(tǒng)中顧客數(shù)沒有滿，則進入排隊系統(tǒng)如果有空閑的服務窗，則直接到服務機構(gòu)接受服務如果服務窗全部被占用，則排隊等候排隊機構(gòu)服務機構(gòu)2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型3M/M.排隊系統(tǒng)的幾種可能狀態(tài)排隊系統(tǒng)的幾種可能狀態(tài)0= 0= 02= 2= 27= 7= 3假如此系統(tǒng)容量為7 (M/M/3/7)7= 07= 32022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型4排隊模型排隊模型Kendall記號記號A/B/C/D/E

2、顧客到達間隔時間分布顧客到達間隔時間分布服務窗服務時間的分布服務窗服務時間的分布服務窗個數(shù)服務窗個數(shù)系統(tǒng)中允許的最大顧客數(shù)，系統(tǒng)中允許的最大顧客數(shù)，默認無默認無窮窮顧客源中顧客數(shù)，顧客源中顧客數(shù)，默認無窮默認無窮C=DE 損失制隊列最大長度D= 等待制CDm時。,1,11()(0)(1)()()()()(1)(1)()()i ittji ittjptPtPtkteeottotptPtPtkeCteotjtot 內(nèi)到達了1個，離開了 個內(nèi)到達了k個，離開了個,k2內(nèi)到達了0個，離開了 個內(nèi)到達了k個，離開了個,k12022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型9增長率和消亡率的分析增長率和消亡率的

3、分析00()()()()()1 ()()0()()()()1()iittjtptPtPteeotjtotiptPtPteottot 內(nèi)到達了0個，離開了0個內(nèi)到達了k個，離開了k個,k 1當時內(nèi)到達了0個內(nèi)到達了k個，離開了k個,k 12022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型10增長率和消亡率的分析增長率和消亡率的分析 由此，M/M/型排隊模型，在狀態(tài)時的增長率和消亡率為：j=i,im 系統(tǒng)顧客數(shù)少于等于服務窗數(shù)時，所有顧客都在接受服務j=m,im 系統(tǒng)顧客數(shù)大于 服務窗個數(shù)時，所有服務窗都在服務，正在接受服務的顧客數(shù)服務窗個數(shù),100,100()0()limlim()0()limlimi

4、 iitti iittptttttptjttjjtt 是正在忙的服務窗個數(shù)2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型11第三章 單服務窗排隊模型第一節(jié) 損失制M/M/1/1第二節(jié) 等待制M/M/1第三節(jié) 混合制M/M/1/m第四節(jié) 可變服務率的M/M/1第五節(jié) 可變輸入率的M/M/1第六節(jié) 具有不耐煩顧客的M/M/1第七節(jié) 單服務窗閉合式M/M/1/m/m第八節(jié) 有差錯服務的M/M/12022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型12第一節(jié)第一節(jié) 單服務窗損失制排隊模型單服務窗損失制排隊模型M/M/1/12022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型13排隊模型分析排隊模型分析M/M/1/1顧客

5、到達間隔時間為負指數(shù)分布，參數(shù)為 ，服務窗服務時間為負指數(shù)分布，參數(shù)為，系統(tǒng)最大顧客數(shù)1決定了系統(tǒng)狀態(tài)為0,1狀態(tài)0系統(tǒng)中顧客數(shù)為0 服務窗空閑狀態(tài)1 系統(tǒng)中有1個顧客，此顧客正在接受服務 系統(tǒng)顧客滿服務窗忙01 損失的顧客損失的顧客( )ta te( )tb teQ2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型14求解平穩(wěn)分布求解平穩(wěn)分布根據(jù)馬氏鏈、生滅過程求平穩(wěn)分布的公式：列出平衡方程：0Q1001011111pppppp令本書從現(xiàn)在開始用p0,p1,p2,表示平穩(wěn)分布2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型15M/M/1/1的各個目標參量的各個目標參量 單位時間內(nèi)損失的顧客數(shù)單位時間內(nèi)

6、平均進入系統(tǒng)的顧客數(shù)相對通過能力Q（即單位時間內(nèi)被服務完的顧客數(shù)與請求服務顧客數(shù)之比值）絕對通過能力A（單位時間內(nèi)被服務完顧客的均值）1Pp損211Lp01ep01eAp書44頁011eQp2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型16M/M/1/1例題例題設某條電話線，平均每分鐘有0.6次呼喚，若每次通話時間平均為1.25分鐘，求相應的Q，A與P損（電話業(yè)務我們通常采用M/M/排隊模型）2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型17M/M/1/1例題例題設某條電話線，平均每分鐘有0.6次呼喚，若每次通話時間平均為1.25分鐘，求相應的Q，A與P損解：按題意知0130.60.80.751.

7、254110.575711 0.750.60.340.3411 0.7511 0.570.43eQpAQ 損那么即在穩(wěn)態(tài)時有的呼喚得到服務即每條電話線路平均每分鐘有次通話P即約43%的呼喚不能接通2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型18補充：系統(tǒng)負載補充：系統(tǒng)負載業(yè)務強度（traffic intensity）/業(yè)務負載（traffic load）a. 單位時間內(nèi)的業(yè)務到達量（offered load）單位時間內(nèi)到達系統(tǒng)的平均呼叫數(shù)平均通話時間長度b. 單位時間內(nèi)的業(yè)務承載量（carried load）單位時間內(nèi)得到服務的平均呼叫數(shù)平均通話時間長度如果通話時間長度的單位為“小時”的話，則

8、話務量單位為“小時呼”，也叫“愛爾蘭（erl）”。話務量總是針對一段時間而言，如：一天或一小時。 111()QQoffered load服2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型19補充：系統(tǒng)負載舉例補充：系統(tǒng)負載舉例例如：某電話用戶1012點之間共撥打電話5次，總通話時間為30分鐘，求此用戶線平均每小時的業(yè)務量解：5/(260) 5/30承載的業(yè)務量為 a= / = 30/(260)=0.25erl一個服務窗每小時最多提供一個服務窗每小時最多提供 1erl 的業(yè)務承載量的業(yè)務承載量傳統(tǒng)電話網(wǎng)：普通用戶 0.10.2erl集團交換機 0.10.6erl2022-1-12排隊論大學7-MM排

9、隊模型20補充：關(guān)于業(yè)務負載的幾個典型參數(shù)補充：關(guān)于業(yè)務負載的幾個典型參數(shù)分組交換網(wǎng)：考慮兩個路由器之間的一條傳輸線路，假定每秒鐘平均傳輸10個數(shù)據(jù)包，數(shù)據(jù)包平均長度400字節(jié)，線路傳輸速度為64kbps。 =10 =64,000/4008則業(yè)務強度為：=104008/64,000=0.5=50%如果線路速度為150Mbps，則=104008/150,000,000=0.0002=0.02%2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型21服務強度服務強度資源利用率（utilization ratio）、服務強度承載業(yè)務量/線路數(shù)（服務窗個數(shù)） 就是服務窗忙的概率，通信中就是輸出線路有數(shù)據(jù)傳輸?shù)?/p>

10、概率或者通話線路被占用的概率1/1/1111M Mp服在排隊模型中，服務強度2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型22Little公式公式考慮一個能夠達到平穩(wěn)的排隊系統(tǒng)，為到達率，W為每個顧客在系統(tǒng)中耗費的平均時間，L為系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)，則有L= W證明：假設在一段比較長的時間區(qū)間（0,t）內(nèi)，系統(tǒng)一直處于統(tǒng)計平衡狀態(tài)，L，W都存在， 表示單位時間進入到系統(tǒng)中的顧客數(shù)全部顧客一共耗費在系統(tǒng)中的時間 到達的顧客數(shù)平均等待時間tW系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)tLtlim1tt WLWL t2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型23Little公式的直觀理解公式的直觀理解在統(tǒng)計平衡狀態(tài)下，某一顧

11、客離開排隊系統(tǒng)時，回頭看到的隊列長度的平均值（L）應該等于此顧客在排隊等待過程中平均進入排隊系統(tǒng)的顧客數(shù)（ W ）WL排隊系統(tǒng)2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型24Little公式的普遍性公式的普遍性Little公式成立的條件只有一個，那就是排隊系統(tǒng)要達到統(tǒng)計平衡狀態(tài)，在此條件下，它適用于任何排隊系統(tǒng)。它關(guān)心的只是排隊系統(tǒng)的三個統(tǒng)計平均量，對顧客到達的間隔時間和服務時間的分布以及排隊規(guī)則不作任何要求但值得注意的是，Little公式中的三個統(tǒng)計平均量必須是針對同一顧客群而言。Ls=sWsLq=qWqL服=服W服2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型25用用M/M/1/1排隊系統(tǒng)的結(jié)論排隊系統(tǒng)的結(jié)論驗證驗證Little公式公式 0110011sssesssLLpppWWpLWLW 服服服服服服2022-1-12排隊論大學7-MM排隊模型26Little公式的物理意義公式的物理意義L是一個時間（time average）平均的概念，是不同時刻隊列長度在很長一段時間內(nèi)的平均W是顧客平均的概念，是許許多多個不同顧