懸掛系統(tǒng)Lie方法

1、基于Lie對(duì)稱性方法的車輛非線性懸掛系統(tǒng)振動(dòng)特性研究傅景禮1 鄭明亮2 (1. 浙江理工大學(xué)理學(xué)院 杭州 310018） （2.浙江理工大學(xué)機(jī)械與控制學(xué)院 杭州 310018）摘要：本文主要基于Lie對(duì)稱性方法精確求解了車輛懸掛系統(tǒng)的非線性結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題?？紤]懸掛系統(tǒng)中空氣彈簧和液壓阻尼器的非線性特性，依據(jù)分析力學(xué)方法建立了單自由度懸掛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型，運(yùn)用微分方程Lie群變換理論求解了系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量，以車輛乘客舒適度為系統(tǒng)振動(dòng)性能指標(biāo)，進(jìn)行了系統(tǒng)振動(dòng)特性對(duì)剛度、阻尼、非線性系數(shù)、路面不平度等懸掛參數(shù)的全局靈敏度分析。實(shí)際算例表明用Lie對(duì)稱性理論研究機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)力學(xué)特性，方法

2、新穎，適用范圍廣，結(jié)果可靠準(zhǔn)確。關(guān)鍵字：車輛懸掛系統(tǒng)；非線性特性；Lie對(duì)稱性；振動(dòng)靈敏度中圖分類號(hào)：0322 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：引言： 懸架系統(tǒng)是現(xiàn)代車輛的重要總成之一，其主要任務(wù)是傳遞作用在車輪與車身之間的一切力和力矩，并緩和由不平路面?zhèn)鹘o車身的沖擊載荷，衰減由此引起的承載系統(tǒng)振動(dòng)，它對(duì)車輛的運(yùn)動(dòng)乘坐舒適性、穩(wěn)定性等有很大的影響1?，F(xiàn)代車輛懸掛系統(tǒng)非線性因素在一定的載荷和頻率域內(nèi)對(duì)其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響十分突出，因此，建立非線性懸架模型并利用現(xiàn)代動(dòng)力學(xué)理論開(kāi)展研究，對(duì)于改善車輛動(dòng)力學(xué)性能有重要意義。 目前，對(duì)于車輛懸架非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)系統(tǒng)的研究，多以數(shù)值仿真為主，即采用數(shù)值積分方法，計(jì)算

3、系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，從而分析系統(tǒng)中存在的分岔、混沌現(xiàn)象2-5。而在非線性微分方程解析精確解求研究方面，大多基于攝動(dòng)法、多尺度法等傳統(tǒng)的解析方法開(kāi)展6-7，其共同特點(diǎn)是引入小參數(shù)，將原系統(tǒng)處理為弱非線性系統(tǒng)再研究；橢圓函數(shù)攝動(dòng)法、廣義諧波函數(shù)攝動(dòng)法、增量諧波平衡方法8-10等雖適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，但計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。Lie對(duì)稱性理論在處理線性和非線性、常系數(shù)和變系數(shù)微分方程的問(wèn)題都是等同的，它和其他的現(xiàn)代分析方法一起，是求常/偏微分方程的解析解的最可能統(tǒng)一的工具，可以用來(lái)進(jìn)行大范圍的參數(shù)研究，且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)介和易于程序化特點(diǎn)11。國(guó)內(nèi)外關(guān)于利用Lie對(duì)稱性方法研究車輛懸架系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)還少有報(bào)道。本

4、文基于Lie對(duì)稱性方法對(duì)車輛懸掛系統(tǒng)非線性響應(yīng)進(jìn)行研究，進(jìn)而指出懸掛系統(tǒng)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，為實(shí)現(xiàn)懸架的優(yōu)化設(shè)計(jì)和合理控制策略提供理論依據(jù)。1動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱解法 設(shè)完整約束非奇異力學(xué)Lagrange系統(tǒng)以廣義加速度形式的微分方程為： （1-1）引進(jìn)時(shí)間和坐標(biāo)的特殊無(wú)限小變換： （1-2）其中為無(wú)限小參數(shù)，為無(wú)限小生成元。 微分運(yùn)動(dòng)方程的Lie對(duì)稱性是指方程(1-1)在上述無(wú)限小變換（1-2）下形式不變12，即： （1-3）上式也可以表述成Lie對(duì)稱性確定方程： （1-4） 其中：，。Lie確定方程（1-4）展開(kāi)形式為： (1-5) 微分方程群分析是用來(lái)尋找微分方程的對(duì)稱性，連續(xù)變

5、換的對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)著一條守恒定律，一個(gè)守恒量對(duì)應(yīng)一個(gè)首次積分，進(jìn)而系統(tǒng)微分方程達(dá)到降階和約化，守恒律在微分方程的可積性、線性化、運(yùn)動(dòng)常數(shù)方面有重要作用。Lie對(duì)稱性可直接導(dǎo)致新型守恒量，再結(jié)合初始條件，從而很容易解出原高階系統(tǒng)的精確響應(yīng)解。 系統(tǒng)的能量Lagrange函數(shù)，如果存在某規(guī)范函數(shù)使結(jié)構(gòu)方程： (1-6)成立，則系統(tǒng)Lie對(duì)稱性對(duì)應(yīng)的守恒量表達(dá)式為12： (1-7)直接對(duì)上式左邊積分并結(jié)合(1-1)、(1-6)式可得到：。2車輛懸掛系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型 車輛懸掛系統(tǒng)主有彈性元件、減振器和導(dǎo)向機(jī)構(gòu)三個(gè)基本部分組成。此外還包括一些特殊功能的部件，如穩(wěn)定桿和緩沖塊等13 ，如圖1所示?？諝鈴?/p>

6、簧作為一款性能優(yōu)異的彈性元件，具有很多優(yōu)點(diǎn)，主要由上下蓋板、橡膠墊、附加空氣室、高度控制閥與橡膠囊等部件組成，可緩和由道路不平順引起的沖擊。液壓減振器主要由活塞、上下聯(lián)件、液缸、和活塞桿等零件組成，液體阻尼的作用是使系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行能量耗散，從而達(dá)到減振。 圖2 車輛懸架系統(tǒng)組成 由于實(shí)際結(jié)構(gòu)復(fù)雜、動(dòng)力學(xué)影響因素較多，所以要想建立精確的懸掛系統(tǒng)模型是很困難的。為分析問(wèn)題方便且所得到的結(jié)果又比較合理可靠，不失一般性，本文以1/4車體為研究對(duì)象，建立了單自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。 圖2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)力學(xué)模型其中為車體質(zhì)量，為軌道不平順激勵(lì)，為彈簧恢復(fù)力，為減振器阻尼力，為車體的位移，懸掛

7、的空氣彈簧與阻尼器均為非線性，其特征可描述為14： （2-1） （2-2）其中，為剛度和阻尼的非線性小系數(shù)。 下面我們利用分析力學(xué)的方法推導(dǎo)出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，取系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和Lagrange函數(shù)為： （2-3）系統(tǒng)粘性阻尼耗散函數(shù)為： （2-4）任何振動(dòng)或運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，根據(jù)分析力學(xué)中第二類Lagrange方程12 系統(tǒng)廣義激振力，展開(kāi)得到懸掛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程為： (2-5)位移激勵(lì)采用余弦函數(shù)波譜：，為道路不平度幅值，為激勵(lì)角頻率，令，上式簡(jiǎn)化為： （2-6）3懸掛系統(tǒng)振動(dòng)特性靈敏度分析 微分方程(2-6)式代入Lie對(duì)稱無(wú)限小變換確定方程(1-5)式，得到： （3

8、-1）顯然它有解，代入到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程(1-6)和守恒量方程(1-7)得到： （3-2） 對(duì)車輛結(jié)構(gòu)振動(dòng)舒適性的評(píng)價(jià)，主要是通過(guò)車身垂直振動(dòng)加速度的均方根植來(lái)計(jì)算。令： （3-3）其中，T為合理的時(shí)間測(cè)試常數(shù)，一般可取3080。一般越小，表示振動(dòng)越舒服。取系統(tǒng)的懸掛參數(shù)為剛度、阻尼、非線性系數(shù)、路面不平度,則振動(dòng)舒適度全局靈敏度向量為： (3-4)對(duì)于具體的車輛系統(tǒng)模型，可以進(jìn)一步計(jì)算舒適度對(duì)懸掛參數(shù)的靈敏度數(shù)值大小。4. 算列說(shuō)明 以普通某型客車為例進(jìn)行懸架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析，車輛參數(shù)示于表1中：表1 汽車懸架系統(tǒng)的基本參數(shù)車體質(zhì)量(kg)激勵(lì)幅值(m)彈簧剛度（kN/m)剛度非線性系數(shù)

9、液壓阻尼（kN*s/m)阻尼非線性系數(shù)系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的Lie對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量為：系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)解析解與數(shù)值解對(duì)比如圖： 圖3 車體振動(dòng)響應(yīng)曲線圖中可以看出，曲線趨勢(shì)基本吻合，Lie對(duì)稱性法結(jié)果是比較合理可靠的。改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)剛度、阻尼、非線性系數(shù)以及激勵(lì)幅值得到振動(dòng)舒適度隨之的變化影響： 圖4振動(dòng)舒適度與剛度關(guān)系圖 圖5振動(dòng)舒適度與阻尼關(guān)系圖 圖6振動(dòng)舒適度與激勵(lì)幅值關(guān)系圖 圖7 振動(dòng)舒適度與非線性系數(shù)關(guān)系圖由上述圖我們可知，激勵(lì)幅值變化對(duì)懸掛振動(dòng)舒適度影響非常明顯，對(duì)振動(dòng)舒適度影響比較明顯，而對(duì)其影響卻不明顯，改變非線性系數(shù)，同樣以影響舒適度，但當(dāng)系數(shù)趨于一定數(shù)值時(shí)不產(chǎn)生巨大變化

10、。同時(shí)，當(dāng)激振力頻率在懸架固有頻率附近4.5變化時(shí)，系統(tǒng)有可能發(fā)生共振，舒適度最差。綜上所述，由解析計(jì)算結(jié)果看出，合理選取各懸掛參數(shù)值，使懸架系統(tǒng)的變形量降到最小，對(duì)汽車振動(dòng)舒適度問(wèn)題具有重要的作用。 總結(jié)語(yǔ)： 本文應(yīng)用Lie對(duì)稱分析方法研究了車輛懸架系統(tǒng)兩自由度受迫振動(dòng)系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)的精確的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，并將結(jié)果與數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，Lie分析方法對(duì)于求解非線性方程是高效、準(zhǔn)確的。其次，研究了車輛振動(dòng)舒適度關(guān)于剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、路面激勵(lì)幅值以及非線性系數(shù)等的全局靈敏度分析，實(shí)際算例表明，激勵(lì)幅值對(duì)車輛懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)影響很大，系統(tǒng)參數(shù)剛度即立方非線性項(xiàng)對(duì)其振動(dòng)特性較大，阻尼即

11、平方非線性項(xiàng)對(duì)其振動(dòng)特性沒(méi)有明顯的影響，振動(dòng)舒適度隨非線性系數(shù)增大而變化，結(jié)果指明了車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)懸掛參數(shù)的修改方向。本文的研究?jī)?nèi)容也為車輛懸掛系統(tǒng)的先進(jìn)控制方法和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提高奠定了基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)1 郭孔輝.汽車操縱動(dòng)力學(xué)原理M.南京:江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社,2011.2 Borowiec M ,Litak G,Friswelll M I.Nonlinear response of an oscillator with magneto-rheological damper subjected to external forcingJ.Applied M echanics and M ate

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